Wiedza wspólna jako punkt sta³y: propozycja Barwise’a

P

rzedstawiê obecnie, w sposób w miarê przystêpny, g³ówne idee koncepcji J. Barwise’a²⁴. Jej zalet¹ jest to, ¿e oferuje analizê wspólnej wiedzy grupy, która – jak s¹dzê – jest bli¿sza rzeczywistoœci ni¿ analiza iteracyjna, a zarazem pozwala odtworzyæ analizê iteracyjn¹. Przede wszystkim przedmiotem wspólnej wiedzy grupy s¹ informacje, rozumiane jako pewne twory pozajêzykowe.

23Zob. na przyk³ad: P. Gochet, P. Gribomont, Epistemic Logic, w: D.M. Gabbay, J. Woods (eds.), Hadbook of the History of Logic, vol. 7: Logic and the Modalities in the Twentieth Century, Amsterdam 2006; R. Fagin, J.Y. Halpern, Y. Moses, M. Vardi, Reasoning About Knowledge…, op. cit.

24J. Barwise, On the Model Theory…, op. cit.

Ontologiczne podstawy teorii Barwise’a tworz¹ – oprócz indywiduów, w³asno-œci i relacji – dwie klasy obiektów:

• klasa infonów, któr¹ oznaczamy przez INF;

• klasa sytuacji, któr¹ oznaczamy przez SIT.

Generalnie, infon to zawartoœæ informacyjna wypowiedzi. Wypowiadaj¹c pro-ste zdanie:

Alfa kocha Betê,

odnosimy siê do dwóch osób o imieniu Alfa i Beta oraz stwierdzamy, ¿e zachodzi miêdzy nimi pewna relacja. St¹d zawartoœæ informacyjn¹ owej wypowiedzi mo¿na uto¿samiæ z odpowiednim stanem rzeczy. Oczywiœcie, wypowiedzi nie dokonuje siê w „pró¿ni”. Towarzyszy im zawsze okreœlona sytuacja (kontekst). Jeœli wypo-wiedŸ jest prawdziwa, to doszukujemy siê w towarzysz¹cej jej sytuacji stosownego stanu rzeczy potwierdzaj¹cego jej prawdziwoœæ. Sytuacje mo¿emy rozumieæ jako pewne fragmenty œwiata.

Do (re)konstrukcji infonów i sytuacji Barwise u¿ywa teorii hiperzbiorów (AFA), to jest zbiorów nieufundowanych, zaproponowanej przez Petera Aczela w pracy Non-well-founded Sets²⁵. W du¿ym uproszczeniu idee owej teorii mo¿na przedstawiæ nastêpuj¹co. AFA zawiera wszystkie aksjomaty teorii mnogoœci Zermela-Fraenkla (ZFC) z wyj¹tkiem aksjomatu ufundowania (regularnoœci), który zostaje zast¹piony tzw. aksjomatem antyufundowania. Do³¹czenie tego no-wego aksjomatu doœæ radykalnie rozszerza uniwersum zbiorów, mianowicie do-puszczone zostaj¹ zbiory, które nie s¹ dobrze ufundowane, bo s¹ na przyk³ad „za-pêtlone”. Zmienia siê ponadto sposób rozumienia zbioru jako „pude³ka”, w którym znajduj¹ siê pewne przedmioty (niektóre z nich same mog¹ byæ „pude³kami” za-wieraj¹cymi jakieœ przedmioty), na rzecz zbioru jako struktury obrazowanej przez stosowny graf. Mówi¹c swobodnie, aksjomat antyufundowania g³osi, ¿e ka¿dy ozna-czony graf punktowy obrazuje dok³adnie jeden zbiór²⁶. Alternatywny sposób kon-stytuowania hiperzbiorów wykorzystuje tzw. Lemat rozwi¹zañ²⁷. Ograniczê siê do zilustrowanie jego idei. Niech A bêdzie danym zbiorem atomów, zaœ VA– uniwer-sum hiperzbiorów z atomami. Niech X bêdzie zbiorem niewiadomych (parame-trów), które traktujemy jako „ekstra atomy”. Zbiory nale¿¹ce do klasy VAÈ Xnazywa siê X-zbiorami – s¹ to „zbiory z niewiadomymi”. VA(tzw. czyste uniwersum) jest

25P. Aczel, Non-well-founded Sets, CSLI Lecture Notes no. 14, Stanford 1988. Przypom-nijmy, zbiór x okreœlamy jako dobrze ufundowany, jeœli nie istnieje ¿aden nieskoñczony ci¹g zbiorów taki, ¿e ...Î xnÎ xn – 1Î ... Î x1Î x0= x; w przeciwnym razie jest on nieufundo-wany. Zbiory te posiadaj¹ nastêpuj¹ce dwie w³asnoœci: (i) maj¹ elementy „ostateczne” (in-dywidua lub zbiór pusty), które je buduj¹, (ii) nie s¹ „zapêtlone” ze wzglêdu na relacjêÎ (tj. nie s¹ w³asnymi elementami).

26Intuicyjnie, graf punktowy to graf posiadaj¹cy wêze³, od którego mo¿na dojœæ – kieruj¹c siê strza³kami oznaczaj¹cymi krawêdzie grafu – do ka¿dego innego wêz³a.

27Zob. P. Aczel, Non-well-founded Sets…, op. cit.; Barwise, Etchemendy 1987, s. 48-53;

J. Barwise, L. Moss, Vicious Circles. On the Mathematics of Non-Wellfounded Phenomena, CSLI Lecture Notes no. 60, Stanford 1996, s. 67-76.

podklas¹ V_{AÈ X}. Równaniem (w X) nazywamy dowoln¹ równoœæ x = a_x, gdzie xÎ X i axÎ VAÈ X(czyli axjest X-zbiorem). Lemat rozwi¹zañ (SL) g³osi, ¿e ka¿dy uk³ad tego typu równañ posiada dok³adnie jedno rozwi¹zanie w czystym uniwersum, to jest w V_A. Tak wiêc ka¿dy uk³ad równañ (1) jest spe³niony przez pewn¹ kolek-cjê zbiorów z VA, bêd¹c¹ jego rozwi¹zaniem oraz (2) istnieje dok³adnie jedna taka kolekcja. Punkt (1) pozwala wprowadziæ zbiory nieufundowane. Na mocy SL ist-nieje wiêc zbiór, oznaczany przezW, spe³niaj¹cy równanie x = {x}. Mo¿na go sobie przedstawiæ jako wynik nieskoñczonej liczby podstawieñ zbioru {x} za x po pra-wej stronie rozwa¿anego równania: {{…{…}…}}. Równie¿ uk³ad równañ: x =á0, yñ, y =á1, xñ ma rozwi¹zanie w postaci nastêpuj¹cych (nieufundowanych) zbiorów:

s = á0, tñ i t = á1, sñ (które reprezentuj¹ dwa nieskoñczone ci¹gi)²⁸. Natomiast punkt (2) pozwala uto¿samiæ zbiory, które spe³niaj¹ ten sam uk³ad równañ.

Rozwa¿my ponownie zbiory a = {a} i b = {b}. Z SL mo¿emy wydedukowaæ, ¿e s¹ one identyczne, gdy¿ oba s¹ rozwi¹zaniem równania: x = {x} i oba maj¹ postaæ {{…{…}…}}.

Generalnie, ka¿dy infons jest (n + 2)-elementow¹ sekwencj¹ z³o¿on¹ z n-cz³o-nowej relacji r, pewnych obiektów a1, …, anjako jej argumentów oraz parametru iÎ {0,1}:

s = ár; a1, …, an; iñ.

Argumentami relacji r mog¹ byæ zarówno indywidua, jak i sytuacje. Parametr i – zwany statusem – okreœla, czy relacja r zachodzi pomiêdzy obiektami a1, …, an

(gdy i = 1), czy nie zachodzi (gdy i = 0). Infon postaciár; a1, …, a_n; 1ñ nazywamy pozytywnym, zaœ postaciár; a1, …, a_n; 0ñ nazywamy negatywnym. O infonach ró¿-ni¹cych siê wy³¹cznie statusem mówimy, ¿e s¹ wzglêdem siebie dualne. Infon dualny dos oznaczamy przez „–s”. Sytuacje natomiast s¹ zbiorami infonów.

PRZYK£AD 1. Uk³ad:

áspotka³; Alfa, Beta; 1ñ

reprezentuje infon, ¿e Alfa spotka³ Betê. Dualny do niego jest uk³ad:

áspotka³; Alfa, Beta; 0ñ,

reprezentuj¹cy infon, ¿e Alfa nie spotka³ Bety. Nieco bardziej z³o¿ony jest uk³ad:

áwie, ¿e; Gamma, {áspotka³; Alfa, Beta; 0ñ}; 1ñ,

28Przypomnijmy, dowoln¹ parê postaciáa, bñ rozumiemy – zgodnie z definicj¹ Kura-towskiego – jako zbiór postaci: {{a},{a, b}}. Na podstawie pojêcia pary uporz¹dkowanej mo¿emy – przez indukcjê wzglêdem n – zdefiniowaæ ogólne pojêcie n-tki uporz¹dkowa-nej (n³ 2).

reprezentuj¹cy infon, ¿e Gamma wie o tym, i¿ Alfa nie spotka³ Bety (innymi s³owy, Gamma zna sytuacjê, w której Alfa nie spotka³ Bety). Zauwa¿my, ¿e mo¿na go uznaæ za rozwi¹zanie nastêpuj¹cego uk³adu równañ:

x = áwie, ¿e; Gamma, y; 1ñ, y = {z}, z = áspotka³; Alfa, Beta; 0ñ.

Jedn¹ z konsekwencji u¿ycia teorii hiperzbiorów jest to, ¿e dopuszcza siê istnienie infonów (i sytuacji) nieufundowanych, to jest takich, które nie s¹ reprezentowane przez zbiory dobrze ufundowane. Na przyk³ad istnieje infon spe³niaj¹cy równoœæ:

x = áwie, ¿e; Alfa, {x}; 1ñ.

Wyra¿a on informacjê, powiedzmyl, ¿e owa informacja l jest Alfie znana (odpo-wiada mu samoodnoœna wypowiedŸ Alfy, na przyk³ad „Wiem, ¿e to wiem”):

áwie, ¿e; Alfa, {áwie, ¿e; Alfa, {áwie, ¿e; Alfa, {…}; 1ñ}; 1ñ}; 1ñ. <

Niech A bêdzie ustalonym zbiorem indywiduów. Upraszczaj¹c, przyjmijmy, ¿e:

• INF jest najwiêksz¹ klas¹ tak¹, ¿es Î INF wtw s = áD; a; 1ñ lub s = áK; a, s; 1ñ, gdzie a Î A i s Í INF²⁹;

• SIT jest najwiêksz¹ klas¹ tak¹, ¿e s Î SIT wtw s Í INF.

Infony i sytuacje dobrze ufundowane tworz¹, odpowiednio, najmniejsz¹ klasê Wf-INF i Wf-SIT³⁰. InfonáD; a; 1ñ mo¿e wyra¿aæ informacjê, i¿ a jest ubrudzony,

29Uproszczenie dotyczy nie tylko rodzajów infonów branych pod uwagê, ale tak¿e pomi-niêcia infonów negatywnych i z³o¿onych. Jest to uzasadnione d¹¿eniem do podania teorio-mnogoœciowego modelu wspólnej wiedzy grupy dotycz¹cej okreœlonej informacji. O infonach negatywnych wspomnia³em wczeœniej. O infonach z³o¿onych bêdzie mowa póŸniej.

30Definicje klas INF i SIT nie s¹ dobrze znanymi (choæby z wyk³adów logiki) definicjami indukcyjnymi, lecz tzw. definicjami koindukcyjnymi. S¹ to konstrukcje dualne w stosunku do definicji indukcyjnych. Przypomnijmy, zdefiniowany indukcyjnie zbiór (bêd¹cy eks-tansj¹ interesuj¹cego nas predykatu) uto¿samia siê z najmniejszym punktem sta³ym pew-nej operacji monotoniczpew-nej (wzorcowy przyk³ad stanowi definicja zbioru formu³ danego jêzyka sformalizowanego). Natomiast zdefiniowany koindukcyjnie zbiór uto¿samia siê z najwiêkszym punktem sta³ym pewnej operacji monotonicznej. NiechF: VA® VAbêdzie operacj¹ monotoniczn¹, tj. je¿eli xÍ y, to F(x) Í F(y). Zbiór x nazywamy punktem sta³ym operacjiF wtw F(x) = x; nazywamy najwiêkszym (najmniejszym) punktem sta³ym wtw x jest punktem sta³ym i dla ka¿dego punktu sta³ego y operacjiF, y Í x (x Í y). Rozwa¿my ope-racjêG, która dowolnej parze F, K przypisuje parê F’, K’, gdzie

F’ = {áD; a; 1ñ: a Î A} È {áK; a, s; 1ñ: a Î A, s Î K’}, K’ = 2^F= zbiór potêgowy zbioru F.

Poniewa¿ operacjaG jest (rosn¹co) monotoniczna, ma wiêc najmniejszy i najwiêkszy punkt sta³y. Najwiêkszy punkt sta³y tworzy klasy INF i SIT, zaœ najmniejszy punkt sta³y tworzy klasy Wf-INF i Wf-SIT. U¿ycie definicji koindukcyjnych zwi¹zane jest z natur¹ niektórych infonów i sytuacji jako zbiorów nieufundowanych.

zaœáK; a, s; 1ñ mo¿e wyra¿aæ informacjê, i¿ a wie, ¿e (widzi) s. Infony typu áD; a; 1ñ nazywamy bazowymi.

Relacja spe³nianiaG4 wi¹¿e infony z sytuacjami. Jest ona najwiêksz¹ podklas¹ produktu SIT´ INF spe³niaj¹c¹ nastêpuj¹ce dwa warunki:

• sG4 áD; a; 1ñ wtw áD; a; 1ñ Î s;

• sG4 áK; a, s0; 1ñ wtw istnieje s1Î SIT taka, ¿e áK; a, s1; 1ñ Î s oraz dla ka¿dego s Î s0, s1G4 s.

Wzór sG4 s mo¿emy czytaæ:

sytuacja s potwierdza stan rzeczys, stan rzeczy s wystêpuje w sytuacji s, stan rzeczy s jest faktem w sytuacji s.

Mo¿na powiedzieæ, ¿e wyra¿a on informacjê strukturaln¹ na temat sytuacji (œwiata). Wzór s1G4 s2zastêpuje: s1G4 s, dla ka¿dego s Î s2.

Mo¿emy teraz przejœæ do podania modelu wspólnej wiedzy grupy. Niech s0 bê-dzie jak¹kolwiek dobrze ufundowan¹ sytuacj¹. Wspóln¹ wiedzê grupy G (gbê-dzie GÍ A) dotycz¹c¹ sytuacji s0modeluje sytuacja scbêd¹ca punktem sta³ym, to jest spe³niaj¹ca warunek:

sc = {áK; a, sc È s0; 1ñ: a Î G}.

Jej istnienie i jedynoœæ gwarantuje SL. To, ¿e w sytuacji s zachodzi sytuacja s0

bêd¹ca przedmiotem wspólnej wiedzy, wyra¿a wzór: sG4 sc(s0).

PRZYK£AD 2. Wróæmy do przedstawionej we wstêpie ³amig³ówki. Niech s0 bê-dzie sytuacj¹ ukonstytuowan¹ przez infon, ¿e co najmniej jedno bê-dziecko jest brud-ne. Przy podejœciu iteracyjnym fakt, ¿e s0jest wspóln¹ wiedz¹ dzieci, reprezentuje nieskoñczony ci¹g (ró¿nych) dobrze ufundowanych infonów:

áK; Alfa, s0; 1ñ, áK; Beta, s0; 1ñ,

áK; Alfa, {áK; Beta, s0; 1ñ}; 1ñ, áK; Beta, {áK; Alfa, s0; 1ñ}; 1ñ itd.

Taka wiedza mo¿e mieæ co najwy¿ej charakter potencjalny (dyspozycyjny), a nie aktualny. Innym mankamentem tego podejœcia jest to, ¿e nieskoñczenie wiele z owych infonów ma ogromnie skomplikowan¹ budowê. Ze wzglêdu na nasze ograniczenia umys³owe ich ewentualna œwiadomoœæ oraz werbalizacja staj¹ siê iluzoryczne³¹. Odtwórzmy jeszcze okreœlenie Lewisa: s0jest wspóln¹ wiedz¹ dzieci wtw zachodzi sytuacja s taka ¿e: (1) sG4 s0, (2) sG4 áK, Alfa, s; 1ñ, (3) sG4 áK, Beta, s; 1ñ.

31Aby odeprzeæ ten zarzut, nale¿a³oby pokazaæ, ¿e warunkiem koniecznym i wystar-czaj¹cym wiedzy wspólnej jest jakiœ stosunkowo krótki odcinek pocz¹tkowy owej nieskoñ-czonej sekwencji. Przypuszczalnie potrzebne by³oby wówczas za³o¿enie, ¿e w umys³ach podmiotów wystêpuje jakiœ wspólny mechanizm umo¿liwiaj¹cy tworzenie iteracji (np.

wspólne standardy wnioskowania).

Zauwa¿my, ¿e warunki (2) i (3) s¹ koliste. Oznacza to, ¿e wymagaj¹ one u¿ycia hiperzbiorów. Natomiast przy omawianym obecnie podejœciu fakt, ¿e s0 jest wspóln¹ wiedz¹ dzieci, uzyskuje reprezentacjê w postaci sytuacji z³o¿onej z tylko dwóch – stosunkowo prostych – infonów, a mianowicie:

sc= {áK; Alfa, s0È sc; 1ñ, áK; Beta, s0È sc; 1ñ}.

Widaæ, ¿e sytuacja scjest kolista, co oznacza, ¿e nie jest ona dobrze ufundowana.

Oczywiœcie, kolistoœæ poci¹ga nieskoñczonoœæ, ale o nieco innym charakterze (mo¿na to sobie wyobraziæ na przyk³adzie dwóch ustawionych naprzeciw siebie luster, z których jedno ma namalowane kó³ko, a drugie krzy¿yk: w lustrze pierw-szym odbija siê lustro drugie z namalowanym na nim krzy¿ykiem, w którym odbija siê lustro pierwsze z namalowanym na nim kó³kiem, w którym odbija siê…; analo-gicznie w przypadku lustra drugiego).<

Infony mog¹ byæ ³¹czone. Niechs Ù t oznacza koniunkcjê, a s Ú t alternatywê infonóws i t. Wówczas:

sG4 s Ù t wtw sG4 s oraz sG4 t, sG4 s Ú t wtw sG4 s lub sG4 t.

Intuicyjnie, infons Ù t reprezentuje informacjê bêd¹c¹ z³o¿eniem s i t; eliminu-je on wszystkie sytuaceliminu-je, które nie potwierdzaj¹ (niezale¿nie) obu tworz¹cych go infonóws i t. Z infonem s Ú t sprawa jest bardziej skomplikowana. Mo¿na powie-dzieæ, ¿e jego rola jest ograniczaj¹ca: od sytuacji potwierdzaj¹cej infons Ú t wyma-ga siê, by potwierdza³a co najmniej jeden z tworz¹cych go infonów, ale nie jakiœ po-szczególny.

Jeden infon mo¿e poci¹gaæ drugi, co symbolicznie wyra¿amy przezs Þ t: s Þ t wtw ka¿da sytuacja potwierdzaj¹cas potwierdza te¿ t. Przyjmuje siê, ¿e relacja Þ jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia.

PRZYK£AD 3. Zachodzi miêdzy innymi:

áK; Alfa, {áD; Beta; 1ñ}; 1ñ Þ áK; Alfa, {áD; Alfa; 1ñ Ú áD; Beta; 1ñ}; 1ñ.

Jednym z warunków klasycznej koncepcji wiedzy jest prawdziwoœæ tego, co przyj-muje siê jako komuœ znane. Oznacza to, ¿e na przyk³ad:

áK; Alfa, {áD; Beta; 1ñ}; 1ñ Þ áD; Beta; 1ñ,

to jest ka¿da sytuacja potwierdzaj¹ca pierwszy infon potwierdza te¿ drugi.<

Z relacj¹ spe³niania œciœle zwi¹zana jest relacja bycia podsytuacj¹, oznaczona przez£: s1£ s2wtw

• ^je¿eli áD; a; 1ñ Î s1, toáD; a; 1ñ Î s2,

• je¿eliáK; a, s; 1ñ Î s1, to istnieje sytuacja s’ taka, ¿e s£ s’ i áK; a, s’; 1ñ Î s2.

Relacja£ ma nastêpuj¹ce w³asnoœci:

• ^{Je¿eli s}1Í s2, to s1£ s2.

• ^{Je¿eli s}1£ s2i s2£ s3, to s1£ s3.

• ^s1£ s2wtw dla ka¿dej sytuacji s, je¿eli s2£ s, to s1£ s.

• ^{Je¿eli s}1G4 s i s1£ s2, to s2G4 s.

• Dla dowolnych sytuacji s₁i s₂nastêpuj¹ce zale¿noœci s¹ ekwiwalentne: s₁£ s2

i s1G4 s2.

Sytuacje s1i s2s¹ informacyjnie ekwiwalentne wtw s1£ s2i s2£ s1(lub równowa¿-nie: wtw potwierdzaj¹ te same stany rzeczy).

Aby pokazaæ zwi¹zek omawianej propozycji z iteracyjnym podejœciem do wspólnej wiedzy, Barwise definiuje indukcyjnie pozaskoñczon¹ sekwencjê dobrze ufundowanych infonówq^a, gdzie a jest liczb¹ porz¹dkow¹ (to jest a Î Ord):

dlaa = 0 mamy:

áD; a; 1ñ⁰ =áD; a; 1ñ,

áK; a, s; 1ñ⁰=áK; a, 1-ord(s); 1ñ, gdzie 1-ord(s) jest podsytuacj¹ s z³o¿on¹ wy³¹cznie z infonów bazowych, dlaa > 0 mamy:

áD; a; 1ñ^a =áD; a; 1ñ,

áK; a, s; 1ñ^a =áK; a, s^<a; 1ñ, gdzie s^<a = {s^b:s Î s i b < a}.

Ka¿dy z poziomówa powy¿szej hierarchii stanowi pewn¹ aproksymacjê infonu:

áK; a, s0È sc; 1ñ, gdzie a Î A i sc= {áK; a, s0È sc; 1ñ: a Î A}.

Infon ów jest kolisty, gdy¿ jest elementem sytuacji sc, której dotyczy. Podobnie w przypadku sytuacji.

PRZYK£AD 4. Kontynuuj¹c przyk³ad 2, niechs1is2bêd¹ infonami tworz¹cymi sytuacjê sc, to jests1=áK; Alfa, s0È sc; 1ñ oraz s2=áK; Beta, s0È sc; 1ñ. Wówczas:

s₁⁰ =áK; Alfa, s0; 1ñ, s₂⁰ =áK; Beta, s0; 1ñ, s₁¹ =áK; Alfa, s0È {s1

0,s₂⁰}; 1ñ

=áK; Alfa, s0 È {áK; Alfa, s0; 1ñ, áK; Beta, s0; 1ñ}; 1ñ, s¹₂ =áK; Beta, s0È {s₁⁰, s₂⁰}; 1ñ

=áK; Beta, s0È {áK; Alfa, s0; 1ñ, áK; Beta, s0; 1ñ}; 1ñ, s₁² =áK; Alfa, s0È {s1

0, s₂⁰, s₁¹, s¹₂}; 1ñ, s₂² =áK; Beta, s0È {s1

0,s₂⁰, s₁¹,s¹₂}; 1ñ itd.

Ka¿dy z powy¿szych infonów jest dobrze ufundowany. <

Niech q bêdzie jakimœ infonem. Wówczas³²:

• Dla dowolnegoa Î Ord, q poci¹ga q^a, tzn. ka¿da sytuacja, która potwierdza in-fon wyjœciowy, potwierdza te¿ dowoln¹ jego iteracjê (w efekcie proste sytuacje koliste poci¹gaj¹ wszystkie swoje aproksymacje).

• Dla dowolnegob < a, q^apoci¹gaq^b, tzn. ka¿da sytuacja, która potwierdza apro-ksymacjê z poziomu wy¿szego (dok³adniejsz¹), potwierdza zarazem aproksy-macje z poziomu ni¿szego.

• Dla dowolnej sytuacji s ia Î Ord, s^a£ s, to znaczy, ¿e ka¿dy zbiór aproksymacji sytuacji wyjœciowej jest jej podsytuacj¹.

• Je¿eli sytuacja s jest dobrze ufundowana i sG4 q, to q jest dobrze ufundowany.

• Je¿eli infonq jest nieufundowany, to hierarchia áq^a:a Î Ordñ nie ma koñca (to jest na ka¿dym etapie generowane s¹ nowe infony); ponadto dla dowolnego a < b, q^anie poci¹gaq^b.

• Dla dowolnych sytuacji s1i s2, je¿eli s1£ s2, to s₁^α £ s₂^α.

• Niech s bêdzie dowoln¹, lecz ustalon¹ sytuacj¹. Je¿eli sG4 q^a, dla dowolnego a Î Ord, to sG4 q.

Idea ostatniego twierdzenia jest nastêpuj¹ca: je¿eli dana sytuacja potwierdza wszystkie aproksymacje jakiegoœ kolistego infonu, to potwierdza równie¿ ów in-fon. Oznacza to, ¿e ogó³ aproksymacji jakiegoœ infonu kolistego w pewnym sensie

„chwyta” ów infon.

Przedstawiona wy¿ej aparatura pojêciowa powala wyjaœniæ ³amig³ówkê brud-nych dzieci poprzez pokazanie zmian sytuacji wywo³abrud-nych uwag¹ taty i kolejnymi pytañ. Jednak chc¹c j¹ dok³adnie zrekonstruowaæ, trzeba wprowadziæ odpowied-ni jêzyk drugiego rzêdu, który umo¿liwi formu³owaodpowied-nie twierdzeñ egzystencjalnych dotycz¹cych sytuacji. Kwestia jest czysto techniczna. S¹dzê, ¿e podane tu ustale-nia pozwalaj¹ siê zorientowaæ, w jaki sposób ewentualnie mo¿na to zrobiæ.

4. Zakoñczenie

P

aradoks Conwaya jest jedn¹ z licznych ³amig³ówek, w których w subtelny ssób powi¹zane s¹ komunikacja, wiedza i dzia³anie. Kluczow¹ rolê pe³ni w nim po-jêcie wspólnej wiedzy grupy. Jest ono jednym z centralnych pojêæ nie tylko nauk o komunikacji (przyk³adowo, stanowi wa¿ny element teorii implikatury H.P. Grice’a), ale tak¿e na przyk³ad ekonomii lub computer science. Ogólnie mo¿na powiedzieæ,

¿e pojawia siê w ka¿dej dyscyplinie, która zajmuje siê analiz¹ dzia³añ zespo³owych (niekoniecznie ludzkich, ale na przyk³ad procesorów). Przedstawi³em dwa ujêcia pojêcia wspólnej wiedzy grupy i dwie bardzo ró¿ne aparatury pojêciowe umo¿li-wiaj¹ce jego formaln¹ analizê. Obie aparatury maj¹ pewne zalety, ale te¿ i wady.

Przede wszystkim obie s¹ „statyczne”. W literaturze przedmiotu mo¿na spotkaæ siê równie¿ z aparaturami „dynamicznymi”.

32J. Barwise, On the Model Theory…, op. cit., s. 210-211.

Poznañ

Systemowy model

W dokumencie przez homo symbolicus do homo universus (Stron 127-135)