Cząstki o niezerowym spinie posiadają również „wewnętrzny” moment magnetyczny. Ładunek e, poruszający się po zamkniętej orbicie z momentem pędu (orbitalnym ) l , oddziałuje z polem magnetycznym i charakteryzuje się efektywnym momentem magnetycznym, równym :
µ = (e/2m) l (2.152)
( wzór ten jest słuszny w układzie jednostek SI. Jest on również słuszny w układzie CGS, jeśli podstawimy c = 1 ) Jeśli przyroda byłaby zbudowana w sposób prosty, to współczynnik proporcjonalności między spinem elektronu S = ½ ħσ I jego momentem magnetycznym byłby również równy e/2m I wtedy jego wewnętrzny moment magnetyczny byłby równy ( e/2m ) | S | = eħ/ 4m. Wynikająca z tego wartość przesunięcia częstości linii spektralnych odpowiadałaby
„normalnemu” efektowi Zeemana. Doświadczalnie jednak obserwuje się „anomalny” efekt Zeemana, który można wyjaśnić jeżeli przyjmiemy stałą proporcjonalności dla spinu dwa razy większą niż dla ruchu orbitalnego. Zatem moment magnetyczny jest równy – µ, przy czym :
µ = (2e/2m)S =(e/m)S = (eħ/2m)σ (2.153)
( ładunek elektronu przyjęliśmy tu równy – e )
Czynnik 2 niekiedy nazywa się g-faktorem Landego, gs = 2. Jednym z sukcesów teorii elektronu, zaproponowanej przez Diraca było to, że dała ona prawidłową wartość wielkości gs. Aby ją wyprowadzić powinniśmy rozpatrzyć równanie nie dla elektronu swobodnego, a dla elektronu w polu EM. Istnieje pewna recepta, w jaki sposób to zrobić, nazywa się on procedurą „minimalną”, dokładniej omówimy ją w następnym rozdziale. Teraz podamy tylko pewne ogólne jej cechy.
Polega ona na zamianie pędu :
pµ → pµ – eAµ (2.154)
lub, ponieważ pµ = ( E, p ), Aµ = (φ, A ) :
E → E – eφ , p → p – eA (2.155)
Po takiej zamianie równanie Diraca (2.94) przyjmuje postać :
γ0 ( E – eφ )ψ – γ( p – eA) ψ = mψ (2.156)
W standardowej reprezentacji macierzy gamma [ wzory (2.130) i (2.131) ] :
γ0 = ( 1 0 ) , γ = ( 0 σ ) , ψ = ( u ) (2.157) ( 0 −1 ) ( -σ 0 ) ( v )
równanie (2.156) przyjmuje postać :
( E – eφ ) ( u ) – ( p – eA ) ( 0 σ ) ( u ) = m( u ) ( -v ) ( -σ 0 ) ( v ) ( v ) Zapiszemy go teraz w postaci dwóch równań :
( E – eφ )u – σ ( p – eA )v = mu (2.158)
i widać, że dwa dolne składowe spinora ψ są wiele mniejsze od dwóch górnych. Podstawienie wyrażenia (2.160) do (2.158) daje : Jedyny różny od zera człon w iloczynie wektorowym stojącym po prawej stronie powyższej zależności jest równy :
p × A + A × p (2.164) Biorąc zależność operatorową :
[ pi , Aj ] = - iħ ∂iAj
i biorąc taką zależność ale z przestawionymi indeksami i ↔ j, otrzymujemy : ( pi Aj − pjAi ) + ( Ai pj − Ajpi ) = − iħ ( ∂i Aj − ∂jAi )
Mnożąc obie strony tego równania przez εijk , a następnie sumując po i, j, otrzymujemy składową k wielkości : p × A + A × p = - iħ∇ × A = - iħB
tj. wartość członu (2.164). Podstawiając ten wynik do (2.161), mamy Wu = Hu , gdzie :
H = (1/2m) (p – eA )2 + eφ – (eħ/2m ) σ •B (2.165)
Pierwsze dwa człony dają klasyczny hamiltonian, a ostatni człon jest energią oddziaływania momentu magnetycznego (2.153) w polem magnetycznym. Zatem, równanie Diraca przewiduje prawidłowo moment magnetyczny elektronu o gs = 2. Inne człony, które pominęliśmy [ zobacz uwagę przed wzorem (2.160) ], dają oddziaływanie spin-orbita o prawidłowym współczynnikiem precesji Thomasa, równym 2.
§ 2.7 Rola grupy Poincarego: operatory spinu i przedział zerowej masy.
Wielokrotnie podkreślaliśmy, że równanie Diraca jest słuszne dla cząstek o spinie ½, a sposób w jaki go otrzymaliśmy, jak się wydaje potwierdza to, ponieważ wychodziliśmy z spinorowej reprezentacji grupy SU(2). Jednakże aby obraz był pełny, musimy znaleźć operator spinu Si ( i = 1, 2, 3 ) o prawidłowymi zależnościami komutacyjnymi :
[ Si , Sj ] = iεijk Sk (2.166)
którego kwadrat powinien być inwariantem grupy, tj. powinien komutować ze wszystkimi generatorami :
S •S = S2 = s( s + 1 ) (2.167)
Gdzie : s – jest spinem cząstki.
Oprócz tego, ponieważ istnieją dwa rozwiązania równania γ •pu = mu, operator S powinien komutować z γ •p :
[ S , γ •p ] = 0 (2.168)
Definicja operatora S okazuje się trudnym zagadnieniem i nie będziemy dowodzili go do końca, ale i tak dowiemy się wystarczająco dużo, aby w pewnych ważnych zależnościach lepiej zrozumieć naturę spinu. Na początku założymy, że :
S = ½ ΣΣΣΣ≡≡≡≡ ½ ( σ 0 ) (2.169)
( 0 σ )
Ten operator oczywiście posiada prawidłowe wartości własne ± ½ przy dodatnich i ujemnych wartościach energii i spełniają zależności komutacyjne (2.166). Jednak nie spełniają zależności (2.168), ponieważ :
[ ΣΣΣΣ , γµ ] ≠ 0
Można się o tym przekonać bezpośrednio obliczając jeden lub dwa komutatory lub jeśli zauważymy, że jeśli zdefiniować operator :
σµν = ½i [ γµ , γν ] (2.170)
to w reprezentacji standardowej (2.157) będzie słuszna następująca równość :
σij = εijk ( σk 0 ) = εijk Σk (2.171)
( 0 σk ) skąd wynika, że :
[ Σi , γµ ] = iεijk ( γjgkµ – γkgjµ )
Zatem, wielkość ½ ΣΣΣΣ nie może służyć jako relatywistyczny operator spinu. [ Tym niemniej dla cząstki w stanie spoczynku γ •p = Eγ0 i odpowiednio operator ½ ΣΣΣΣ można przyjąć jako dobry operator spinu ] Oczywiście ΣΣΣΣ jest macierzą przedstawiającą operator J skąd wnioskujemy, że relatywistyczny operator spinu nie pokrywa się z ½ J Potwierdzamy to tym, że operator J •J = J2 [ wzór (2.167) ] nie komutuje ze wszystkimi generatorami grupy Lorentza Przykładowo :
Spin jest „kinematyczną” charakterystyką cząstek elementarnych. Drugą ich oczywistą kinematyczną charakterystyką jest masa. Obie te własności powinny być opisywane operatorami, inwariantnymi względem przekształceń
relatywistycznych. Masa dana jest zależnością :
M2 = PµPµ (2.173) Gdzie : Pµ – jest operatorem pędu, który nie występował przy badaniu ( jednorodnej ) grupy Lorentza, w ogólnym szkicu przedstawionym powyżej. Jest to związane z tym, że jak to pokażemy dalej operatory Pµ są generatorami translacji czaso-przesztrzennych :
xµ → x’ = xµ + aµ (2.174)
których nie rozpatrywaliśmy do tej pory.
W jaki sposób powinniśmy postępować, aby połączyć zadane translacje z przekształceniami grupy Lorentza ? Takie połączenie realizuje się w niejednorodnej grupie Lorentza, którą ta przyjęto nazywać grupą Poincarego.
Po raz pierwszy badaniem tej grupy zajmował się Wigner [ praca [13] , która stała się obecnie klasyczna ]
Pokazał on, że masa i spin – są w istocie charakterystykami układów inwariantnych względem grupy Poincarego oraz, że spin odpowiada również rotacyjnej grupie symetrii SU(2), ale tylko w przypadku, kiedy M2 > 0 , tj. kiedy pęd jest
„czasopodobny”. Przy M2 = 0 spin już nie jest opisywany przez grupę SU(2) i w tym tkwi przyczyna tego, że stanami polaryzacji cząstki bezmasowej o spinie J są tylko stany z Jz = ± J. Przykładowo nie istnieją fotony fizyczne, znajdujące się w stanie o Jz = 0, podczas gdy cząstki masywne o spinie 1 mogą znajdować się w takim stanie. W przypadku pędów przestrzennopodobnych M2 < 0 „spin” posiada również inna naturę i może mu nawet odpowiadać parametr ciągły.
Nie jest naszym celem dokładne wyłożenie tej teorii, chcemy jedynie pokazać czytelnikowi w jak sposób pojawia się pojęcie spinu.
Rozpoczniemy od analizy struktury grupy Poincarego. Jeśli dokonamy translacji o wektor aµ , tj. dokonamy przekształcenia etP • a , a następnie dokonamy pchnięcia w układzie odniesienia poruszającym się z prędkością v = tgh(φ), tj. przekształcenie etk • φ ,następnie translacje w odwrotnym kierunku o wektor – aµ , a na konie pchniecie odpowiadające prędkości – v , to co otrzymamy w wyniku takich przekształceń ?
Odchylenie od punktu wyjściowego, jest oczywiście charakterystyką struktury grupy. W praktyce zazwyczaj rozpatruje się przekształcenia infinitezymalne ( z pomocą których generowane są przekształcenia skończone ), tj. :
e-iK • φ e-iP • a eiK • φ eiP • a = ( 1 – i K •φ ) ( 1 – i P •a ) ( 1 + i K •φ ) ( 1 + i P •a ) = 1 + [ Pµ , Pν ]aµ aν + + 2[ Pµ , Ki ]aµ φi + [ Ki , Kj ] φi φj
Zatem, struktura grupy jest znana jeśli znane są zależności komutacyjne między jej generatorami. Niejednorodna grupa Lorentza posiada 10 generatorów : trzy generatory J odpowiadające obrotom , trzy generatory K – odpowiadające pchnięciom , oraz cztery generatory P – translacje czasoprzestrzenne. Zależności komutacyjne między J i K zostały już znalezione [ wzór (2.68) ] jednak zostały one wyprowadzone z pomocą macierzowej formy J i K.
Użytecznie będzie teraz wyprowadzić wyrażenia dla J i K w postaci operatorów różniczkowych, a nie macierzy.
Oczywiście będą one również spełniały zależności komutacyjne (2.68). W dalszej kolejności otrzymamy bezpośrednio wyrażenie dla Pµ i w ten sposób będziemy mieli pełny zbiór zależności komutacyjnych między generatorami grupy Poincarego [ zależności komutacyjne generatorów grupy tworzą algebrę Liego danej grupy, zatem wzór (2.68) zadaje algebrę Liego grupy Lorentza ].
Rozpoczniemy od wyprowadzenia wyrażenia dla operatora Jz. Generuje on obroty wokół osi z : { x’ = x cos(θ) + ysin(θ)
{ y’ = -xsin(θ) + ycos(θ) { z’ = z
Generator Jz określony jest poprzez swoje działanie na funkcję f(x, y, z ) :
Jzf(x, y, z ) = i lim { [ f(x’, y’, z’ ) – f(x, y, z )] / θ } = i lim { [ f(x + yθ, y – xθ , z ) – f(x, y, z )] / θ } =
Wyrażenia (2.176) i (2.177) dają oczywiście operatory kwantowo-mechaniczne momentu pędu
( zawierają one jeszcze czynnik ħ ). Innymi słowy, poprzez operatory momentu pędu generujemy obroty. Wzory (2.175) można przepisać zgodnie z następującą definicją. Generator odpowiadający parametrowi aµ , określamy jako :
Xα = i [ (∂x’/∂aα ) |a=0 ∂/∂x + (∂y’/∂aα ) |a=0 ∂/∂y + (∂z’/∂aα ) |a=0 ∂/∂z + (∂t’/∂aα ) |a=0 ∂/∂t ] = i (∂x’µ /∂aα ) ∂/∂xµ
( α = 1, ..., r ) (2.179)
Powyższa definicja odnosi się do r- parametrowej grupy przekształceń. Czytelnik może łatwo się przekonać, ze przy aα = θ taka definicja daje Jz. Zastosujemy teraz wzór (2.179) do przekształceń czysto lorentzowskich :
x’ = γ( x + vt ) , y’ = y, z’ = z , t’ = γ(t + vx) , γ = ( 1- v2 )1/2
Znajdujemy, że generator Kx zadany jest poprzez wyrażenie :
co dokładnie pokrywa się z (2.68). Widzimy ponownie, że pchnięcia nie tworzą podgrupy grupy Lorentza, podczas gdy obroty tworzą taką podgrupę. Zależności (2.178) i (2.182) tworzą algebrą Liego grupy Lorentza, co możemy zapisać w postaci ogólnej, jeśli wprowadzimy następujące oznaczenie :
Jµν ( µ, ν = 0, ..., 3 ) { Jij = - Jji ≡ εijk Jk ( i, j, k = 1, 2, 3 ) (2.183) { Ji0 = - J0i ≡ - Ki
Mamy zatem :
[ Jµν , Jρσ ] = i ( gνρJµσ – gµρJνσ + gµσJνρ – gνσ Jµρ ) (2.184) Aby otrzymać algebrę Liego grupy Poincarego powinniśmy dodać generatory translacji (2.174), które zgodnie ze
wzorem (2.179) mają teraz postać : Px = i ∂/∂x itd.
Lub :
Pµ = i ∂/∂xµ (2.185)
Jak widać mamy potwierdzenie tego, że prawidłowo oznaczyliśmy dany generator przez Pµ , ponieważ z dokładnością do czynnika ħ generatory translacji pokrywają się z operatorami energii-pędu. Teraz możemy bezpośrednio dowieść następujących zależności komutacyjnych :
[ Pµ , Pν ] = 0 (2.186) [ Pµ , Jρσ ] ≡ i ( gµρPσ – gµσPρ ) (2.187) Zależność (2.186) pokazuje, że translacje w różnych kierunkach komutują ze sobą ( intuicyjnie wydaje się to oczywiste ).
Zależności (2.186) i (2.187) pokazują, że zarówno J jak i P komutują z hamiltonianem P0 = H, jednak generatory K nie komutują z hamiltonianem, a to znaczy że nie są związane z żadną wielkością zachowaną. Zależności (2.184) , (2.186) i (2.187) pokazują, że algebra Liego o dziesięciu generatorach jest istotnie zamknięta – operatory stojące po prawej stronie równań wchodzą do układu. Zatem, odpowiednie przekształcenia tworzą grupę. Łatwo to sprawdzić bezpośrednio i dla pełności wykładu zapiszemy prawa przekształceń.
Ogólne przekształcenia należące do niejednorodnej grupy Lorentza ( tj. zawierające pchnięcia , obroty i translacje ) mają postać :
xµ = Λµ
ν xν + aµ (2.188)
Macierz Λ [ uogólnienie macierzy (2.64) na przypadek kiedy mamy również obroty ] powinna zachowywać „długość”
4-wektora x : x’µ x’µ = xµ xµ , zatem :
Dokonajmy teraz drugiego przekształcenia Λ− nad 4- wektorem x’µ o postaci jakie podano powyżej : x’µ = Λ−µ
ν ( x’ν ) + a−µ = Λ−µ
ν Λνκ xκ + Λµ
ν aν + a−µ (2.192)
Jest to przekształcenie o tej postaci co (2.188) możemy zatem zapisać prawo grupowe w postaci :
{ Λ− , a− } { Λ , a } = { Λ−Λ , Λa + a− } (2.193)
Element jednostkowy ma oczywiście postać{ 1, 0 }
Dochodzimy tym sposobem do metody Wignera. Opiera się ona o to, ze jeśli zastosować przekształcenie Lorentza do stanu o pędzie pµ , to w wyniku 4- wektor pµ zmieni się , a wielkość pµpµ pozostanie taka sama. W istocie bowiem , stan
| p > dla którego :
Pµ | p > = pµ | p > (2.194)
Przy przekształceniu {Λ , a } przechodzi w stan :
U(Λ, a ) | p > = |Λp > (2.195)
Dla którego :
Pµ | Λp > = (Λp)µ | Λp > (2.196) Jednakże na mocy (2.190) słuszna jest równość :
(Λp)2 = (Λp)µ (Λp)µ = Pµ Pµ = P2 (2.197)
Zatem, przekształcenie Lorentza pozostawia wielkość Pµ Pµ inwariantną. Faktycznie jest to związane z tym, ze wielkość ta komutuje ze wszystkimi generatorami grupy [ zakładamy, że czytelnik przekonał się o tym analizując metodę
wykorzystaną przy wyprowadzeniu zależności (2.172) ] musi zatem być inwariantem tej grupy.
Wielkość Pµ Pµ nazywamy pierwszym operatorem Casimira i oznaczamy przez C1 :
C1 = Pµ Pµ (2.198)
Stąd wynika, że wszystkim stanom otrzymanym za pomocą przekształceń Lorentza z pewnego stanu pierwotnego odpowiada jedna i ta sama wartość p2. A, dzięki temu, że znak p0 nie zmienia się przy przekształceniach Lorentza, pełny zbiór stanów tworzących bazę dla reprezantacji grupy Lorentza rozpada się na sześć różnych klas :
I. p2 = m2 > 0 , p0 > 0 (2.199)
Pierwszej i trzeciej klasie odpowiadają fizyczne cząstki masywne i bezmasywne, klasa piąta to próżnia, szósta – odpowiada cząstką wirtualnym ( które mogą posiadać pęd przestrzennopodobny ). Pozostałe klasy są prawdopodobnie nie fizyczne.
Wybierzmy teraz pewną wartość pµ należącą do jednaj z klas { pµ }. Ważna uwaga, którą dowiedziemy dalej mówi, że podgrupa grupy Poincarego, która pozostawia pµ inwariantnym ( nazywamy ją „małą grupą” odpowiadającą 4 – wektorowi pµ ) posiada taką samą strukturę dla wszystkich pędów należących do klasy {pµ }.
Rozpatrzmy klasę I. ( p2 = m2 ). Wartość pµ odpowiadająca układowi spoczynkowemu cząstki, oznaczymy przez kµ :
kµ = ( m, 0, 0, 0 ) (2.200)
Co przedstawia sobą w takim przypadku mała grupa ?
Jest to oczywiście grupa obrotów, ponieważ nie przekształca ona 4- wektora kµ.
Małą grupą odpowiadającą 4- wektorowi kµ jest grupa SU(2) (2.201) Zatem, w przypadku pędu czasopodobnego, aby poznać wynik dowolnego przekształcenia Lorentza, należy znać tylko reprezentacje grupy obrotów. A wszystkie takie reprezentacje są nam znane !
Taki jest wniosek w pracy Wignera i aby pojąć go lepiej powinniśmy poznać go dokładniej.
Rozpatrzmy dowolny czasopodobny 4- pęd pµ. Oczywiście istnieje przekształcenie Lorentza, przekształcające kµ ( 4- pęd wprowadzony wzorem (2.200) ) w pµ. Takie przekształcenie oznaczymy jako L(p) :
pµ = Lµν (p) kν (2.202)
[ ogólnie mówiąc. L przedstawia sobą iloczyn o postaci R-1BR, gdzie R – jest obrotem przeprowadzającym p^ na kierunek osi x, B – jest pchnięciem o postaci (2.64) ].
Stany w przestrzeni Hilberta oznaczymy przez | p, σ > i | k, σ >, gdzie σ – jest indeksem „spinowym”.
Przekształceniu (2.202) w czasoprzestrzeni odpowiada zależność :
| p, σ > = U( L(p) ) | k, σ > (2.203)
w przestrzeni Hilberta. W tej zależności U( L(p) ) – jest operatorem unitarnym (macierz), która reprezentuje przekształcenie L(p). Rozpatrzymy teraz dowolne przekształcenie Lorentza Λ :
pµ → p’µ = Λµ
ν pν (2.204)
oraz odpowiadające mu przekształcenie unitarne :
| p, σ > → U(Λ) | p, σ > (2.205)
Musimy zdefiniować wielkość U(Λ) | p, σ >. Postąpimy w następujący sposób. Wyjdziemy z zależności (2.203) : U(Λ) | p, σ > = U(Λ) U( L(p) ) | k, σ > =
i pomnożymy obie jej strony przez operator równy jednostkowemu :
= U( L(Λp)) U-1( L (Λp)) U(Λ) U( L(p) ) | k, σ > = (2.206)
następnie wykorzystamy prawo grupowe U-1(A) = U(A-1 ) :
= U( L(Λp)) U (L-1(Λp)) U(Λ) U( L(p) ) | k, σ > =
następnie ponownie prawem grupowym w postaci : U(A) U(B) U(C) = U(ABC) :
= U( L(Λp) ) U( L-1(Λp) ΛL(p)) | k, σ >
I dalej : macierz L-1(Λp) ΛL(p) jest macierzą, która działając na kµ daje ponownie kµ , ponieważ macierz L(p) przekształca k w p [ wzór (2.202) ], macierz Λ przekształca p w Λp, a macierz L-1(Λp) przekształca wektor Λp odwrotnie w wektor k. Zatem przekształcenie L-1(Λp) ΛL(p) jest obrotem [ wzór (2.201) ], a operator
U(L-1(Λp)ΛL(p) ) – jest macierzą postaci exp( i Jθ ), której elementy oznaczymy przez Dσσ’ (R) , gdzie R = L-1(Λp)Λ L(p). Zatem :
U(Λ) | p, σ > = U( L(Λp) )
ΣΣΣΣ
Dσσ’ (R ) | k, σ’ > =ΣΣΣΣ
Dσσ’ (R ) U( L(Λp) ) | k, σ’ > =ΣΣΣΣ
Dσσ’ (R ) | Λp, σ’ > (2.207) σ’ σ’ σ’przy czym ostatnia równość stanowi następstwo zależności (2.203). Wnioskujemy, że dla zbudowania reprezentacji grupy Lorentza w przypadku stanu czasopodobnego należy znać tylko reprezentacje grupy obrotów !.
Zatem, spin zdefiniowany jest niezależnie od innych zmiennych, od których może zależeć i przekształca się przy przekształceniach Lorentza zadanych przez grupę obrotów. Dowiedliśmy również, że stwierdzenie (2.201) jest słuszne dla wszystkich pędów czasopodobnych. Czytelnik powinien sam ocenić na ile zadziwiający jest ten wynik.
Jeszcze z wykładu MQ wiemy, że spin jest odmianą momentu pędu , a zatem ( chociaż, być może nie myślimy w taki sposób ) zadany jest przez reprezentacje grupy obrotów. Jednak dopiero po ukazaniu się pracy Wignera stało się jasne dlaczego tak jest w rzeczywistości. Jednakże kiedy rozpatrywaliśmy klasę III – stanów o pędach izotropowych doszliśmy do wniosku, ze jest to niesłuszne bowiem w tym akurat przypadku spin nie jest określony przez grupę obrotów.
Do tej pory nie odpowiedzieliśmy jeszcze na pytanie : jeśli masie odpowiada operator Casimira (2.198), to jaki inwariantny operator odpowiada spinowi ?
Zależność (2.172) pokazuje, że J2 nie jest takim operatorem. Na początku zdefiniujemy pseudowektor Pauliego-Lubańskiego Wµ :
Wµ = - ½ εµνρσ Jνρ Pσ (2.208)
Gdzie : εµνρσ - jest tensorem całkowicie antysymetrycznym w czterech wymiarach.
Oczywiście , że 4- wektor Wµ jest ortogonalny do 4- wektora Pµ :
Wµ Pµ = 0 (2.209)
Tak że w układzie spoczynkowym cząstki 4- wektor Wµ jest przestrzennopodobny, tj. Wµ = ( 0 ,W ), przy czym : Wi = - ½ εiνρσ Jνρ Pσ = - ½ m εijk0 Jjk = -m Σi
Widzimy, że w układzie spoczynkowym Wi w istocie sprowadza się do Σi. Można pokazać, że drugi inwariant Casimira jest równy :
C1 = Wµ Wµ = -m2 s( s + 1 ) (2.210)
Gdzie : s – jest spinem cząstki.
Grupa Poincarego posiada rząd 2 , tak że istnieją tylko dwa inwarianty Casimira, które zdefiniowaliśmy powyżej.
Jednakże póki co nie znaleźliśmy jeszcze samych operatorów spinu. Nie mogą one pokrywać się z Wi ( i = 1, 2, 3 ), ponieważ są to tylko trzy składowe 4- wektora i w każdym przypadku Wi nie spełnia wymaganych zależności komutacji (2.166) grupy SU(2). Prawidłowe operatory spinu mają bardziej złożoną postać. Zainteresowany czytelnik powinien zajrzeć do [15].
Na zakończenie, rozpatrzymy przypadek cząstek izotropowych p2 = 0. W charakterze analogu układu spoczynkowego dla przypadku czasopodobnego wybierzemy teraz układ w którym :
kµ = ( k, 0, 0, k ) (2.211)
Układ ten jest związany z bezmasową cząstką poruszającą się wzdłuż osi z. Ponownie oprzemy się na metodzie małej grupy Wignera, zatem musimy wziąć najogólniejszą postać przekształcenia Lorentza, pozostawiającą inwariantnym 4 –wektor kµ. Okazuje się, że takie przekształcenie przedstawia sobą określoną kombinację pchnięć
( z parametrami u i v ) i obrotów [ z parametrami θ i ( chociaż na pierwszy wzgląd wygląda to dziwnie ) u, v ] W miejsce przekształcenie U( L-1(Λp) ΛL(p)) we wzorze (2.206) otrzymujemy :
U = 1 + iθ J3 + iu ( K1 – J2 ) + iv ( K2 + J1 ) ≡ 1 + iθ J3 + iu L1 + iv L2 (2.212) Łatwo zauważyć, ze generatory L1, L2 i J3 tworzą algebrę Liego :
[ L1 , L2 ] = 0 (2.213)
[ J3 , L1 ] = iL2 (2.213)
[ L2 , J3 ] = iL1 (2.213)
Oczywiście, że nie jest to algebra Liego grupy obrotów SU(2) ponieważ w pierwszej z powyższej zależności po prawej występuje zero. W rzeczywistości ta algebra odpowiada grupie obrotów ( generowanych przez operator J3 ) i translacji ( generowanych przez operatory L1, L2 ) na płaszczyźnie - tzw. grupa Euklidesa E(2). Fizyczny sens tego wyniku nie jest jasny, jednakże widzimy, że „spin” w przypadku cząstki bezmasowej nie jest tym samym co spin w przypadku cząstek masywnych. Można jednakże wyprowadzić pewne wnioski, jeśli zauważymy, że na mocy równości m2 = 0 i
(2.210) słuszne są zależności :
W • W | k > = 0 , P • P | k > = 0 (2.214)
Oprócz tego, z (2.209) wynika, że : W • P | k > = 0
Zatem, oba czterowektory Wµ i Pµ są izotropowe i wzajemnie ortogonalne. To oznacza, że powinny one być do siebie proporcjonalne , tj. :
( Wµ – λPµ ) | k > = 0 (2.215)
i dochodzimy do wniosku, że stan cząstki bezmasowej charakteryzuje się jedną liczbą λ, która przedstawia sobą współczynnik proporcjonalności między Wµ i Pµ i dlatego ma ona wymiar momentu pędu. Nazywa się go skrętnością.
( hiralnością , ang. helicity ). Jeśli włączymy odbicia przestrzenne, to skrętność przyjmuje wartości λ i –λ. Zagadką jest dlaczego λ przyjmuje wartości całkowite lub połówkowe.
Obraz ten odtwarza to co wiemy o neutrinach i fotonie ( przy założeniu, że choćby jedno z neutrin jest bezmasowe ) Lewe bezmasowe neutrino spełnia równanie Weyla i charakteryzuje się wartością λ = - ½. Fotony istnieją w dwóch stanach ( z prawą lub lewą polaryzacją kołową ), którym odpowiadają wartości λ = ±1, ale nie może wystąpić w stanie λ = 0, która była by jego wartością gdyby foton posiadał masę.
(*
Dodatek własny 2.1 Przekształcenia Lorentza i Poincarego. Algebra grupy Poincarego.
Przypomnienie podstawowych wiadomości z tekstów :
Podstawy Szczególnej Teorii Względności” , oraz dodatek „Grupa i algebra Lorentza i Poincarego” w tłumaczeniu książki „Wprowadzenie do supersymetrii i supergrawitacji” – P.West
Wprowadzenie dalszych pojęć.
Jak wiemy dowolne liniowe przekształcenie Λ działające w przestrzeni Minkowskiego M, pozostawiające inwariantnym iloczyn skalarny dwóch wektorów x, y ∈ M , xµ = ( x0, x1, x2 , x3 ) , yµ = ( y0, y1, y2 , y3 ) :
x • y = x0y0 – x • y = gµν pµqν = pµqµ (D2.1.1)
gµν = diag ( 1, -1, -1, -1 ) (D2.1.2)
nazywa się przekształceniem Lorentza L. Dowolne przekształcenie Λ ∈ L może być zadane przez macierz : ( Λ00 , Λ0
Warunek inwariantności formy (D2.1.1) możemy zapisać w postaci macierzowej :
ΛTgΛ = g tj. Λ-1gΛTg (D2.1.5)
Zbiór ogólnych transformacji Lorentza dla których det L = +1 nazywa się „zbiorem dodatnich transformacji Lorentza”
Zbiór te oznaczamy następująco : L+(M) ( zbiór ten tworzy grupę )
Transformacje należące do tego zbioru zachowują orientacje czterowektorów.
Zbiór ogólnych transformacji Lorentza dla których det L = -1 nazywa się „zbiorem ujemnych transformacji Lorentza”
Zbiór te oznaczamy następująco : L-(M) ( zbiór ten nie tworzy grupy )
Transformacje należące do tego zbioru nie zachowują orientacji czterowektorów ( zawierają odbicia czasoprzestrzenne ).
Oczywiście mamy : L(M) = L+(M) ∪ L-(M)
Jeśli : Λ00 ≥ + 1 mówimy o zbiorze ortochronicznych transformacji Lorentza, który oznaczamy : L↑ (M)
Jeśli : Λ00 ≤ - 1 mówimy o zbiorze antychronicznych transformacji Lorentza, który oznaczamy : L↓ (M)
Pod wpływem transformacji ortochronicznych znak współrzędnej zerowej ( czasowej ) wektorów czasowych nie ulega zmianie tj. transformacje te zachowują orientacje czasu – przeprowadzają wektory skierowane ku przyszłości ( czasowe i zerowe ) na wektory skierowane ku przyszłości ( czasowe i zerowe )
Grupa Lorentza jest więc sumą czterech składowych : L↑
Jak widać, tylko przekształcenie L↑+ zawiera w sobie przekształcenie jednostkowe , nazywamy je „przekształceniem właściwym Lorentza”. Do tego zbioru przekształceń, jak łatwo zauważyć, należy również wprowadzone wcześniej szczególne przekształcenie Lorentza, do którego odnoszą się również zwykłe trójwymiarowe ortogonalne obroty.
Przekształcenia L tworzą grupę ( grupę Lorentza ) jest ona grupą niespójną składającą się z czterech spójnych składowych , przy czym tylko L↑
+ jest jej podgrupą ( zawiera jedność grupową ). Jest to tzw. grupa obrotów
lorentzowskich, stanowi ona podstawę teorii relatywistycznych jak grupa symetrii kwantowej teorii pola i teorii cząstek elementarnych.
Grupa Lorentza jest grupą Liego, oznaczamy ją standardowo jako O(1, 3) ( lub dla sygnatury ( +++-) jako O(3, 1) ) Grupa L↑
+ jest też grupą Liego, oznaczamy ją zazwyczaj jako SO(1, 3)↑
( lub, jeśli stosujemy sygnaturę ( +++ -) SO(3,1)↑ ). Zatem dekompozycja grupy O(3, 1 ) jest następująca : O(3,1 ) = { SO(1, 3)↑, ΛP SO(1, 3)↑, ΛT SO(1, 3)↑, ΛP ΛT SO(1, 3)↑ }
Grupa SO(3, 1) składa się z dwóch niespójnych składowych : SO(3,1 ) = { SO(1, 3)↑, ΛPΛT SO(1, 3)↑ }
Dokładniej grupa Lorentza jest sześcio parametrową grupa Liego, na której możemy wprowadzić współrzędne lokalne za pomocą macierzy antysymetrycznych 4 × 4 θ ≡ ( θλµ ) = ( -θµλ ) według wzoru :
( tak na marginesie grupa Lorentza jest niezwartą grupą Liego, ponieważ nie ma transformacji odpowiadającej granicznej wartości prędkości c. Należy rozróżniać pojęcia spójności i zwartości grupy. Są to pojęcia analogiczne do pojęć
stosowanych w teorii rozmaitości różniczkowych )
Λ = exp( ½ Lλµ θλµ ) (D2.1.9)
Gdzie : Lλµ = - Lµλ – operatory liniowe działające w przestrzeni M ( operatory infinitezymalnych obrotów lorentzowskich ) :
( Lλµ )αβ = - gλα δµβ + gµα δλβ (D2.1.10)
Można się przekonać, że operatory te spełniają następujące zależności komutacyjne :
[ Lλµ , Lρσ ] = gλρ Lµσ − gµρ Lλσ + gµσ Lλσ − gλσ Lµρ (D2.1.11) Reprezentacje ( skończenie wymiarowe i liniowe ) spójnych grup Liego możemy badać metodami algebraicznymi. Jeśli T jest reprezentacją L↑
+ ( a grupa ta jest spójna, ale nie zwarta ) w przestrzeni ℵ ( w KTP będzie to przestrzeń Hilberta ) to w pewnym otoczeniu jedności grupowej ( gdzie elementy grupy mają postać (D2.1.9) ) T(Λ) zapisuje się w postaci :
T(Λ) = exp( ½Xλµ θλµ ) (D2.1.12)
Gdzie : Xλµ = - Xµλ – operatory liniowe działające w przestrzeni ℵ, nazywane generatorami reprezentacji T.
Wielkości Xλµ spełniają zależności komutacyjne algebry Liego :
[ Xλµ , Xρσ ] = - i( gλρ Xµσ − gµρXλσ + gµσXλσ − gλσ Xµρ ) (D2.1.13) Zazwyczaj jeśli mowa o reprezentacji grupy Lorentza mamy na myśli reprezentacje unitarną. W tym kontekście warto zauważyć , ze grupa Lorentza nie posiada skończenie wymiarowych reprezentacji unitarnych ( oprócz reprezentacji trywialnej jednostkowej T(Λ) ≡ 1 )
Każda reprezentacja grupy L↑
+ określa reprezentacje jej algebry Liego £. Tym samym zbudowanie reprezentacji grupy L↑
+ mogłoby być całkowicie sprowadzone do zagadnienia algebraicznego, jeśli tylko każdej reprezentacji algebry Liego
£ odpowiadałaby reprezentacja grupy L↑
+ . Jednakże sytuacja jest bardziej skomplikowana. Problem polega na tym, że jeśli według zadanych operatorów Xαβ ( spełniających zależność (D2.1.13) ) zbudujemy ( według wzoru (D2.1.12) ) operatory T(Λ) dla Λ w otoczeniu jedności, to otrzymalibyśmy tzw. lokalną reprezentacje grupy L↑
+. Naturalnym jest spróbować rozszerzyć taką reprezentacje na całą grupę, wykorzystując wzór T( Λ1Λ2 ) = T(Λ1) T(Λ2) w charakterze
definicji takiego rozszerzenia. W niektórych przypadkach rzeczywiście otrzymujemy w wyniku takiej procedury reprezentacje grupy L↑
+. W innych przypadkach T(Λ) okazuje się zdefiniowana niejednoznacznie ( takie nieprzywiedlne reprezentacje algebry Liego nazywają się niecałkowalnymi do reprezentacji całej grupy ).
W tych przypadkach otrzymujemy tzw. dwuznaczną reprezentacje grupy L↑
+. ( dla grupy obrotów w trójwymiarowej przestrzeni sytuacja jest całkowicie analogiczna ). Reprezentacje dwuznaczne odgrywają jednak ważną rolę w KTP, dlatego też warto dokładnie się im przyjrzeć.
Okazuje się, że przyczyną takiej sytuacji dla grupy L↑
+ jest jej nie jednospójność, dokładniej jej dwuspójność.
Wspomniana trudność nie pojawiłaby się, jeśliby od samego początku zamienić grupę L↑
+ na grupę jednospójną, zbudowaną w otoczeniu jedności tak samo jak grupa L↑
+ tj. lokalnie izomorficzną do niej. Okazuje się dalej, że dla dowolnej spójnej grupy Liego G istnieje ( jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu ) jednospójna grupa G^, lokalnie izomorficzna grupie G. Taka grupa nazywa się uniwersalną grupą nakrywającą grupę G.
Uniwersalną grupę nakrywającą L↑
+ możemy zbudować w następujący sposób. Grupa L↑
+ posiada dwuwymiarową zespoloną reprezentacje. Macierze takiej „reprezentacji” tworzą grupę SL(2, C) ( grupę macierzy zespolonych 2 × 2 o wyznaczniku równym 1 )
Opracowano na podstawie : „Ogólne zasady kwantowej teorii pola” – N. N. Bogolubow, A. A. Logunow, A. I. Oksak,
Opracowano na podstawie : „Ogólne zasady kwantowej teorii pola” – N. N. Bogolubow, A. A. Logunow, A. I. Oksak,