6.8 Macierz S i wzór redukcyjny

Widzieliśmy już jak obliczana jest funkcja Greena w teorii z oddziaływaniem, teraz zajmiemy się obliczeniem wielkości, które są mierzone bezpośrednio w eksperymentach. Najczęściej fizycy zajmujący się cząstkami elementarnymi, badają

po pierwsze procesy rozpraszania, kiedy mierzymy przekroje określonych reakcji i po drugie rozpady jednej cząstki na dwie lub więcej cząstek, kiedy mierzone są czasy życia.

Pierwszym etapem obliczania tych dwóch wielkości, jest przeliczenie kwantowo-mechanicznej amplitudy danego procesu. Po tym jak już znamy taką amplitudę, pozostała część obliczeń przebiega stosunkowo łatwo. W niniejszym paragrafie pokażemy jak obliczać amplitudę, którą nazywa się „amplitudą rozpraszania” i jak taka amplituda związana jest poprzez określony wzór z odpowiednią funkcją Greena.

Otrzymane wzory zastosujemy do przypadku rozpraszania pion-nukleon, a w następnym paragrafie pokażemy, jak otrzymać przekrój rozpraszania.

Rozpatrzmy w ogólnej postaci proces w którym pierwotna konfiguracja cząstek α przechodzi w konfiguracje końcową β.

Amplitudę rozpraszania takiego procesu oznaczymy przez Sβα i nazwiemy ją (βα)-macierzowym elementem macierzy rozpraszania lub macierzy S. Macierz S jest zbiorem wszystkich Sβα. Stany α i β określane są w sposób asymptotyczny przy t →−∞ i t →∞ odpowiednio, zatem zgodnie z definicją :

Sβα = < β, t →∞ | α t → −∞ > (6.139)

W przypadku nie występowania sił dalekiego zasięgu takie zależności asymptotyczne opisują cząstki swobodne, co stanowi duże uproszczenie. Siły dalekiego działania, podobne do sił EM powodują pewne komplikacje, ich omówienie na razie pozostawiamy na boku.

Można przyjąć alternatywne oznaczenia, wprowadzając stany „in-„ i „out-„ :

| α >in = | α, t →−∞ > ; | β >out = | β, t →−∞ >

Załóżmy, że stan in- tworzony jest przez dwie cząstki skalarne o pędach p1 i p2. Wtedy :

| α >in = ain†( p1) ain†( p2 ) | 0 >

przy czym operatory kreacji ain†spełniają standardową zależność komutacyjną (4.16a).

Definicja :

Sβα = out< β | α >in

Jest oczywiście równoważna parze zależności : aout( p ) = S† ain(p)S

aout†( p ) = S† ain†(p)S

które na swój sposób są równoważne zależności między operatorami pól swobodnych :

φout(x ) = S†φin(x )S (6.140)

Chcemy teraz znaleźć wyrażenie dla operatora S. Na początku zrobimy pewien krok, który jak może się wydawać nie ma nic wspólnego z postawionym zadaniem, mianowicie będziemy rozpatrywali operator φ(x) w chwili pośredniej między

−∞ a +∞, innymi słowy wtedy, kiedy doznaje on wpływu oddziaływania. Z lagranżjanu :

£ = ½ ∂µφ ∂µφ – ½ m2φ2 + £oddziaływanie

Rozwiążmy to równanie ( Jego rozwiązania zadane są wzorami (6.149) i (6.150), które podane są dalej. Czytelnik zaznajomiony z ich wyprowadzeniem lub nie zainteresowany ich wyprowadzeniem może pominąć dalsze rachunki ) W tym celu oznaczmy odpowiednią funkcje Greena przez G(x – y ), zgodnie z definicją mamy :

( y + m2 )G( y – x ) = δ4(y – x ) (6.144)

Mnożąc równanie (6.141) przez G(x – y ), a wcześniejsze równanie przez φ(x), następnie odejmując jedno od drugiego i całkując po y, otrzymujemy :

∫

d4y [ G( y – x ) ( y + m2 )φ(y) – φ(y)( y + m2 ) G( y – x ) =

∫

G( y – x ) ( ∂£oddziaływanie /∂φ(x) ) d4y – φ(x) Lewa część tego równania jest równa :

∫

d3y dy0 { [ G( y – x ) ∇2φ(y) – φ(y)∇2G( y – x )] – [ G( y – x ) ∂2/∂y02φ(y) – φ(y) ∂2/∂y02G( y – x )] }

„Przestrzenna” część tego wyrażenia zeruje się zgodnie z twierdzeniem Greena :

∫

d3y dy0 ( G∇2φ(y) – φ∇2G ) =

∫

d Sy dy0 ( G∇∇∇∇φ – φ∇∇∇∇G ) = 0

przy warunku, że φ i ∇∇∇∇φ zerują się na granicy, przechodzącej w przestrzennopodobnej nieskończoności.

Co zaś „czasowej” części, to mamy :

G ∂2/∂y02φ – φ ∂2/∂y02G = ∂/∂y0( G ∂/∂y0φ – φ ∂/∂y0G ) = ∂/∂y0( G∂↔0φ ) Zbierając te wyniki otrzymujemy zależność :

y0+

φ(x) = – (

∫

_y

0+ –

∫y

₀− ) d3y G( x – y ) ∂↔0 φ(y) +

∫

dy G( y – x ) ( ∂£oddziaływanie /∂φ(x) ) (6.145) y0−

w której wykonuje się całkowanie po czasie w odcinku między chwilami y0+ i y0− lub w ogólniejszym przypadku między powierzchniami przestrzennopodobnymi σ− i σ+. Wyrażenie (6.145) jest rozwiązaniem równania (6.141), jednakże póki co nie jest ono jeszcze zapisane w takiej formie, którą chcemy mieć. Z teorii równań różniczkowych wiemy, że ogólne rozwiązanie równania (6.141) jest równe sumie rozwiązania równania jednorodnego ( pola swobodnego ) i całki od iloczynu funkcji Greena przez człon niejednorodny. Oczywiście, że taka całka pokrywa się z drugim członem w wyrażeniu (6.145). Pokażemy teraz, że pierwszy człon przedstawia sobą pole swobodne, a jakie dokładnie, to zależy od warunków brzegowych.

W rzeczywistości funkcja Greena, spełniająca równanie (6.144), nie jest jednoznaczna. Aby określić ją w sposób jednoznaczny, należy nałożyć warunki brzegowe.

Zdefiniujmy adwansowaną i retradowaną funkcje Greena poprzez warunki :

∆ret (x) = 0 przy x2 > 0 , x0 < 0 (6.146)

∆adv (x) = 0 przy x2 > 0 , x0 > 0

( y + m2 )∆ret, adv (x) = δ4(x ) (6.147)

Dalej, dla dwóch dowolnych funkcji Greena G1 i G2 mamy : G1( x – y ) ( x + m2 )G2( x – z ) = δ(x – z )G1( x – y ) G2( x – z ) ( x + m2 )G1( x – z ) = δ(x – y )G2( x – z )

Odejmując te równości jedna od drugiej i całkując po x, otrzymujemy : G1( z – y ) – G2( y – z ) = (

∫

_y

0+ –

∫y

₀− ) d3x G2( x – z ) ∂↔0 G1( x – y ) Stosując tę zależność do retradowanej i adwansowanej funkcji Greena, otrzymamy :

∆ret (x) = ∆adv (-x) (6.148)

Podstawiając teraz G = ∆adv (x) do zależności (6.145) i mając na uwadze, że chwila y0+ następuje za x0, a chwila y0− poprzedza x0 otrzymujemy :

φ(x) = –

∫y

₀− d3y ∆ret ( x – y ) ∂↔0 φ(y) +

∫

_{dy ∆}ret ( x – y ) ( ∂£oddziaływanie /∂φ(x) )

Jest to standardowa forma z retardowanymi funkcjami Greena, w której to pole φ(x) wyraża się poprzez jej warunki brzegowe we wcześniejszej chwili.

Załóżmy teraz, że y0− →−∞ i wprowadźmy następujące oznaczenie dla pierwszego członu : φ−∞ (x) = lim

∫

_y0− d3y ∆ret ( x – y ) ∂↔0 φ(y)

y0−→−∞

Łatwo zauważyć, ze powyższa wielkość spełnia swobodne równanie Kleina-Gordona, ponieważ : ( y + m2 )φ−∞ (x) = lim

∫ y

₀− d3y δ4( x – y ) ∂↔0 φ(y)

y0− →−∞

a prawa część, oczywiście jest równa zero przy y0− →−∞ przy dowolnym zadanym x0.

Zatem, możemy utożsamić φ−∞ (x) z polem in- φin(x) i zapisać rozwiązanie równania (6.141) w postaci :

φ(x) = φin(x) +

∫

_{dy ∆}ret ( x – y ) ( ∂£oddziaływanie /∂φ(x) ) (6.149) Oczywiście możemy również wziąć alternatywne rozwiązanie z adwansowaną funkcją Greena i warunkami brzegowymi przy y0− →∞ :

φ(x) = φout(x) +

∫

_{dy ∆}adv ( x – y ) ( ∂£oddziaływanie /∂φ(x) ) (6.150) Wykorzystując zależność (6.143), przedstawimy te rozwiązania w postaci :

φ(x) = φin(x) +

∫

_{dy ∆}ret ( x – y ) Kyφ(y) (6.151) φ(x) = φout(x) +

∫

_{dy ∆}adv ( x – y ) Kyφ(y) (6.151) Oczywiście, że w określonym sensie nakładamy na φ(x) warunki asymptotyczne :

φ(x) → φin, out(x) t → ± ∞

Jednakże pokazaliśmy już, że jeśli rozpatrywać te warunki bezpośrednio jako warunki operatorowe, to rozpraszanie nie występuje. Takie warunki nazywamy „silnymi warunkami asymptotycznymi” i nie jest to, co nam jest potrzebne.

Prawidłowa forma warunków asymptotycznych została znaleziona przez Lehmanna, Symanzik,a i Zimmermana (LSZ ) ( Lehmann, Symanzik, Zimmerman Novo. Cimento 1, 45 (1955) )

są to tzw. słabe warunki asymptotyczne :

lim < a | φ(x) | b > = < a | φin, out(x) | b > (6.152) t → ± ∞

gdzie : | a > I | b > - dowolne stany w przestrzeni Hillberta.

Bezwzględnie ważne jest to, że chociaż z silnych warunków wynikają słabe, to stwierdzenie odwrotne nie jest słuszne.

Teraz naszym celem będzie znalezienie wyrażenia dla operatora S, zdefiniowanego wzorem (6.140) : φout(x ) = S†φin(x )S

z wykorzystaniem zależności (6.151) i (6.152).

W tym celu, na początku zdefiniujemy funkcjonał :

I[J] = T exp[ i

∫

J(x) φ(x) dx ] (6.153)

Gdzie : T – operator uporządkowania chronologicznego.

Stąd wynika, że :

(1/i ) δI[J]/δJ(x) = T( φ(x) I[J])

Porównując to wyrażenie ( jak również odpowiednie wzory z pochodnymi funkcjonalnymi wyższych rzędów ) z zależnością (6.46), widać, że próżniowa średnia operatora I[J] pokrywa się z Z[J] :

Z[J] = < 0 | I[J] | 0 > (6.154)

Pomnóżmy teraz wyrażenia (6.151) przez I[J] i T, uwzględniając przy tym warunki asymptotyczne. To daje nam : (1/i ) δI[J]/δJ(x) = I[J]φin(x) +

∫

_{dy ∆}ret ( x – y ) Ky (1/i ) δI[J]/δJ(y)

(1/i ) δI[J]/δJ(x) = φout(x)I[J] +

∫

_{dy ∆}adv ( x – y ) Ky (1/i ) δI[J]/δJ(y) Odejmując te wyrażenia od siebie, otrzymujemy :

φout I – I φin =

∫

_{dy ∆}( x – y ) Ky δI[J]/δJ(y) (6.155)

gdzie :

∆( x – y ) = ∆adv ( x – y ) – ∆ret ( x – y )

Podstawiając w miejsce φout wyrażenie (6.140) i zauważając, że S jest operatorem unitarnym SS† = S†S = 1 otrzymamy :

[ φin(x) , SI[J] ] = i

∫

_{dy ∆}( x – y ) Ky δ(SI[J]/δJ(y) (6.156) Równanie to, chociaż wygląda ono skomplikowanie, łatwo jest rozwiązać. W istocie bowiem, stosując przekształcenie Bakera- Campella-Hausdorffa (6.80) :

eB Ae-B = A + [B, A]

gdzie : A, B – operatory, których komutator jest c-liczbą daje nam :

[ A , eB ] = [ A, B]eB Z uwzględnieniem tego, że : [ φin(x) , φin(y) ] = i ∆( x – y )

naturalnym jest założenie, że rozwiązanie równania (6.156) ma postać :

SI[J] = exp[

∫

φin(z) K δ/δJ(z) dz ] F[J] (6.157) Gdzie : F[J] – jest pewnym funkcjonałem od J.

W istocie mamy następujące wyrażenie :

Zatem, wyrażenie (6.157) jest rozwiązaniem równania (6.156). Aby znaleźć F[J] , obliczymy średnią próżniową wyrażenia (6.157). To w pierwszej kolejności oznacza, że powinniśmy dokonać uporządkowania normalnego eksponenty. Jednakże, wykonując tą czynność, widzimy, że :

< 0 | : eA : | 0 > = 1

dla dowolnego operatora A, zatem otrzymujemy :

< 0 | SI[J] | 0 > = F[J]

Jednocześnie :

< 0 | SI[J] | 0 > = < 0 | I[J] | 0 > = Z[J]

tj. F[J] po prostu pokrywa się z Z[J], mamy zatem : SI[J] = : exp[

∫

φin(z) K δ/δJ(z) dz ] : Z[J]

Ostatecznie, zauważając, że I[J] → 1 przy J → 0, otrzymujemy :

S = : exp[

∫

φin(z) K δ/δJ(z) dz ] : Z[J] |J=0 (6.158)

Jest to wzór rekurencyjny w postaci funkcjonalnej.

Rozkładając eksponente w szereg, otrzymujemy typowy człon, zawierający wielkość (δ/δJ )n Z[J] |J=0 co oczywiście pokrywa się z n-punktową funkcje Greena. Dla każdej cząstki zewnętrznej mamy operator K = ( + m2 ), redukujący propagator do funkcji delta, którą następnie mnożymy przez funkcje falową cząstki swobodnej φin

W ostatnim wzorze φin, oczywiście nie jest funkcją falową , a jest operatorem pola. Zauważmy, że S – jest operatorem.

Pokażemy teraz, że kiedy znajdujemy określony element macierzowy macierzy S, jest on w istocie określony poprzez prostą receptę. Aby być bardziej konkretnym, na początku znajdziemy pochodne wariacyjne :

(1/i )δ/ δJ(x1)(1/i ) δ/δJ(x2) ... (1/i ) δ/J(xn ) Z[J] |J=0 = G(x1, ... , xn ) które jest n-punktową funkcją Greena.

Następnie pomnożymy ją przez operator :

Π

_{( xi} ^{+ m2 )}

i

który redukuje zewnętrzne gałęzie funkcji Greena, po czym pomnożymy otrzymane wyrażenie przez funkcje falowe swobodnych cząstek zewnętrznych

Π

_{φ(xi ).}

i

W wyniku tych operacji n-cząstkowy element macierzowy macierzy S może być zapisany w postaci :

Sn(x1, ... , xn ) =

Π

φ(xi ) ( xi + m2 ) G(x1, ... , xn ) (6.159) i

Należy przypomnieć, że powyższy wzór odnosi się do pól skalarnych, podczas gdy przedstawiające fizyczny interes procesy wiążą się z polami spinorowymi. W tym przypadku operator Kleina-Gordona Kx = ( x + m2 ) zamieniamy na operator Diraca Dx = ( γ∂ + m ).

Teraz mamy już wszystkie konieczne wzory, aby obliczyć amplitudę rozpraszania pion-nukleon.

§ 6.9 Amplituda rozpraszania pion-nukleon.

W przypadku, kiedy mamy pola skalarne i spinorowe o masach odpowiednio m i M, wzór (6.158) modyfikuje się do postaci :

S = : exp[

∫

( φin(z) K→ δ/δJ + ψ−in D→δ/δη- − δ/δη D−→ ψin ) dx ] : Z[J, η, η- ] |J=0 (6.160) Gdzie :

D = iγµ∂µ – M ; D− = − iγµ∂µ – M (6.161)

Strzałki oznaczają, że operatory K, D, D− działają na pola φ, ψ, ψ− pojawiające się w wyniku różniczkowania funkcjonalnego Z, a nie na pola φin , ψ−in , ψin. W rzeczywistości pion jest cząstką pseudoskalarną, której oddziaływanie z układem nukleonowym opisywane jest poprzez lagranżjan :

£oddziaływanie = igψ−γ5 τ→ ψ • ψ→ (6.162)

Forma biliniowa ψ−γ5ψ jest pseudoskalarem [ wzór (2.126)] na skutek czego £oddziaływanie jest skalarem.

Izowektorowy charakter wielkości ψ−γ5τ→ψ oraz φ→ związany jest z tym, że piony tworzą izowektor.

Wprowadzając z definicji pola :

φ−/+ = (1/√2) ( φ1 – /+ iφ2 ) , φ0 = φ3 otrzymamy :

£oddziaływania = i√2g( p−γ5nφ+ + n−γ5pφ− ) + ig( p−p – n−n )φ0

Rozpatrzmy π+p –rozpraszanie. W tym przypadku interesuje nas następująca część lagranżjanu oddziaływania :

£oddziaływania = i√2g( p−γ5nφ+ + n−γ5pφ− ) Całkowity lagranżjan dla tego przypadku ma postać :

£ = £0 + £oddziaływania = ψγµ∂µψ + Mψ−ψ + ½∂µφ→∂µφ→ – ½ m2φ→2 + i√2g( p−γ5nφ+ + n−γ5pφ− ) (6.163) Człony wchodzące do swobodnego lagranżjanu £0 są izoskalarami. W lagranżjanie oddziaływania operatory polowe n, p opisują anihilacje cząstek n i p, lub kreacje odpowiednich antycząstek ; φ+ opisuje anihilacje π+ lub kreacje π- , φ− opisuje anihilacje π- lub kreacje π+.

Funkcjonał tworzący Z[ J, η, η− ] zadany jest wzorem analogicznym do wzoru (6.76) :

gdzie J, η – są źródłami rozpatrywanych pól pionow i nukleonów. Będzie to jaśniejsze dalej, kiedy wykorzystamy te wyrażenia.

Obliczmy na początku element macierzowy macierzy S odpowiadający π+p –rozpraszaniu. Pokażemy, że otrzymuje się go z odpowiedniej funkcji Greena w sposób opisany pod koniec poprzedniego rozdziału.

Kinematykę rozważanego procesu pokazuje rys 6.6

Rys. 6.6 Kinematyka π+p –rozpraszania. Linia ciągła odpowiada protonowi, linia przerywana – pionowi.

Foton początkowy posiada pęd p i spin s, pion początkowy posiada pęd k, wartości końcowe tych wielkości oznaczamy apostrofem.

Obliczmy amplitudę rozpraszania : Sfi = < p’ , s’ ; k’ | S | p , s, k >

Gdzie :

S = : exp[

∫

_{( φin K}^→ _{δ/δJ + ψ−in D}^→δ/δη- − δ/δη D−→ ψin ) ] : Z[J, η, η- ] | J=0

Operatory K→ δ/δJ , D→δ/δη- i δ/δη D− → działające bezpośrednio na Z, można wyprowadzić poza nawias.

Zapisując stany początkowy i końcowy w postaci :

| p, s ; k > = bs†(p) a†(k) | 0 >

< p’, s’ ; k’ | = < 0 | bs’(p’ ) a(k’ )

i rozkładając wykładnik z dokładnością do pierwszego rzędu, otrzymamy :

Sfi = < 0 | bs’(p’ ) a(k’ ) [ 1 + :

∫

_{( φin K}^→ _{δ/δJ + ψ−in D}^→δ/δη- − δ/δη D− → ψin ) : + ... ] Z | J=0 bs†(p) a†(k) | 0 >

Człon zerowego rzędu daje wkład tylko przy p = p’ , s = s’ i k = k’, co odpowiada rozpraszaniu bez oddziaływania i nie jest dla nas ważny.

Pokażemy teraz, że człon pierwszego rzędu jest równy zero. Ogólna idea polega na tym, aby zamienić porządek operatorów kreacji i anihilacji i uwzględnić, że bs(p) | 0 > = a(k) | 0 > = 0.

Ponieważ operatory bozonowe i fermionowe komutują ze sobą możemy rozpatrywać te człony oddzielnie. W takim przypadku w miejsce φin podstawimy wyrażenie dla swobodnego operatora polowego (4.14), który oznaczyliśmy prosto przez φ. Człon bozonowy przyjmie postać :

gdzie wykorzystaliśmy to, że wypisane wcześniej komutatory są c-liczbami, na skutek czego w pierwszym członie operator a(k’) działa na | 0 >, a w drugim a†(k) działa na < 0 |. W wyniku tego człon pierwszego rzędu jest równy zero, co właśnie było nam potrzebne.

Rozpatrzmy teraz człon drugiego rzędu. Współczynnik stojący przy wielkości ½ ( K→[ δ/δJ] )2 w obszarze bozonowym jest równy :

Dokonaliśmy tutaj uporządkowania normalnego, tak że operatory anihilacji położone są po prawej stronie od operatorów kreacji. Tak jak i wcześniej, zapiszemy wybrane w odpowiedni sposób iloczyny operatorów a i a† w postaci

komutatorów ( tj. c-liczb ), skąd będzie jasnym, że człony - pierwszy i ostatni są równe zero. Co zaś się tyczy członu drugiego i trzeciego, to należy zauważyć, że :

W wyniku tego wyrażenie (6.166) na mocy wzoru (4.11) przyjmuje postać :

∫

dx1dx2 [ d3q d3q’ / ( 4ωq ωq’ )½ ] 4ωk ωk’ [ 1/ ( 4ωq ωq’ )½ exp[ - i( qx1 – q’x2 ) ] δ3 ( k’ – q’ ) δ3( k – q ) + + exp[ i( qx1 – q’x2 ) ] δ3 ( k’ – q ) δ3( k – q’ ) =

∫

dx1dx2 [ exp( -ikx1)exp( -ik’x2 ) + exp( ik’x1)exp( -ikx2) ] Całe to wyrażenie służy jako współczynnik stojący przy wielkości :

½ Kx1δ/δJ(x1 ) Kx2δ/δJ(x2 ) Z[ J, η, η- ] | J=0

Na mocy symetrii względem podstawienia x1 ↔ x2 bozonowy wkład do macierzowego elementu macierzy S jest równy

∫

dx1dx2 exp( -ik’x2) Kx2δ/δJ(x1 )δ/δJ(x2 ) Z[ J, η, η- ] | J=0 K←

x1exp( -ikx1) (6.167) gdzie strzałka stojąca nad operatorem Kx1 oznacza, że działa on na pochodną funkcjonalną od Z.

Powróćmy teraz do sektora fermionowego, w którym to mamy analogiczny obraz. Powinniśmy zatem obliczyć wielkość

Podstawiając w miejsce ψ(x) i ψ−(x) ich rozkłady (4.44) i przemieniając iloczyn operatorów w antykomutatory, widać, że człony z : ψ−(x4 )ψ−(x3 ) : i : ψ(x4 )ψ(x3 ) : zerują się, podczas gdy człon z : ψ−(x4 )ψ(x3 ) : daje :

Drugi różny od zera człon to ψ(x4 )ψ−(x3 ), daje on takie wyrażenie, w którym dokonano podstawienia i x3 ↔ x4 i mamy również dodatkowy znak minus, wynikający z definicji uporządkowania normalnego [ zobacz, uwaga przed wyrażeniem (4.48) ]. Człony te są współczynnikami przy operatorach ( ½ Dx4 (δ/δη-(x4 )) (δ/δη-(x3 )) D−

x3 i ½ (δ/δη(x4 )) Dx4Dx3 (δ/δη-(x3 )). Dokonując podstawienia x3 ↔ x4 w drugim członie i uwzględniając tą

okoliczność, że wielkości D komutują, a δ/δη i δ/δη- antykomutują – co wprowadza znak minus, możemy zapisać wkład fermionowy w macierzowy element macierzy S w postaci :

Na koniec, dodając wkłady pionowy i nukleonowy, możemy zapisać amplitudę rozpraszania pion-nukleon w postaci :

gdzie :

τ( x1, x2 , x3 , x4 ) = δ/δJ(x1) δ/δJ(x2 ) δ/δη(x3 ) δ/δη-(x4 ) Z[ J, η, η- ] | J= η = η- = 0 (6.170) Taki jest ostateczny wynik wzoru redukcyjnego dla zadanego częściowego procesu rozpraszania.

Amplitudę rozpraszania otrzymujemy z funkcji Greena pomnożonej przez operator Kleina-Gordona lub Diraca, który odpowiada cząstkom zewnętrznym, następnie mnożymy wszystko przez funkcje falowe cząstek w punktach

x1, x2 , x3 , x4 i całkujemy po x1, x2 , x3 , x4. Taka recepta ma bardzo ogólny charakter, chociaż akurat powyżej przedstawiliśmy ją dla przypadku rozpraszania pion-nukleon.

Aby znaleźć jawne wyrażenie dla macierzowego elementu, musimy znać funkcje 4-punktową, otrzymywaną poprzez funkcjonalne różniczkowanie funkcjonału tworzącego (6.164). Nie ma jednak konieczności dokonywania tych obliczeń w sposób jawny, ponieważ możemy wykorzystać zasady, które sformułowaliśmy w paragrafie 6.5, dokonując oczywiście koniecznych zmian, związanych z przejściem od oddziaływania φ4 do iψγ5ψφ. Na początku przedstawimy subdiagam, odpowiadający przejściu (πN) w (πN) z dwoma członami odpowiadającymi oddziaływaniu wzajemnemu.

Interesują nas tylko spójne diagramy Feynmana, ponieważ tylko one dają wkład do rozpraszania. Linie pionowe (* tj.

odpowiadające pionom *) wychodzące z wierzchołka, odpowiadającego oddziaływaniu, powinny być połączone z zewnętrznymi liniami pionowymi, a dwie linie nukleonowe powinny być połączone ze sobą. Oczywiście można to wykonać na dwa sposoby, pokazane na rysunku 6.7

Rys. 6.7 Subdiagram dla πN-rozpraszania w drugim rzędzie, pokazujący różne sposoby zbudowania diagramu Feynmana.

Dwa otrzymywane w ten sposób diagramy Feynmana przedstawiono na rysunku 6.8

Rys. 6.8 Spójne diagramy Feynmana dla rozpraszania pion-nukleon w drugim rzędzie rachunku zaburzeń.

Przypomnijmy, że te diagramy zgodnie z naszą umową powinny być czytane od lewej do prawej ( cząstki padające położone są po lewej ). Wielu autorów ukierunkowuje takie diagramy w kierunku odczytu od dołu do góry.

W rzeczywistości najbardziej logicznym byłoby odczytywanie ich w kierunku prawo-lewo, tak jak zapisywany jest element macierzowy < out | S in >. W przypadku ogólnym oba diagramy przedstawione na rysunku 6.8, dają wkład do rozpraszania i do wyrażenia dla przekroju wchodzi człon interferencyjny, tak charakterystyczny dla zjawisk

kwantowych. Jednakże w przypadku π+p-rozpraszania diagram przedstawiony na rysunku 6.8a nie daje wkładu, ponieważ nie istnieje nukleonowy stan pośredni stanu N++ o ładunku 2. Wirtualny N-stan przedstawiony na rysunku 6.8b w danym przypadku jest neutronem. Przypominając, że stała sprzężenia dla (π+pn)-wierzchołka [ wzór (6.163)] jest równa √2g i że wierzchołek zawiera czynnik (iγ ), możemy bezpośrednio zapisać funkcje 4-punktową w przypadku diagramu przedstawionego na rysunku 6.8b i dokładniej na rysunku 6.9 w postaci :

Rys. 6.9 Rozpraszanie π+p.

Wyrażenie to należy podstawić do wzoru (6.169). Przypominając, że :

otrzymujemy :

Kombinując wyrażenia (6.135) dla S(x) i (6.14) dla ∆F(x), otrzymujemy :

Podstawiając to wyrażenie do poprzedniej zależności, możemy dokonać całkowania względem y1 i y2 :

Widzimy, że 4-pęd neutronu pośredniczącego jest równy q i że zachowany jest zarówno całkowity 4-pęd jak i 4-pęd w każdym wierzchołku. Teraz można dokonać całkowania po q, przy czym q zamieniamy na wielkość p – k’ = p’ – k.

Zatem :

Teraz wykorzystując równanie Diraca (2.140) w przestrzeni pędów oraz własności macierzy gamma, możemy uprościć to wyrażenie w następujący sposób :

Sfi = iδ4( Pf – Pi ) 2g2 (2π)4 u-s’ (p’ ) γk’ us(p ) ( 1/ 2pk’ – m2 ) (6.174) Dalej z pomocą obliczonej amplitudy rozpraszania należy określić przekrój rozpraszania ( wykonamy to w następnym paragrafie ). Na zakończenie dokonamy krótkiego przeglądu zasad Feynmana potrzebnych dla obliczenia amplitudy rozpraszania w przypadku oddziaływania, zawierającego skalarne ( lub pseudoskalarne ) i spinorowe cząstki.

Widać, ze w przypadku szczególnym π+p-rozpraszania w niższym rzędzie teorii zaburzeń takie zasady prowadzą do wyrażenia (6.173).

1) Porządkowi n, teorii zaburzeń odpowiada diagram o n wierzchołkach. Amplituda określonego procesu ( tj. procesu o określonym zbiorze z wchodzących i wychodzących linii zewnętrznych ) w danym rzędzie otrzymywana jest poprzez sumowanie amplitud, odpowiadających wszystkim topologicznie nierownoważnym diagramom spójnym.

Na rysunku 6.8 przedstawiono dwa diagramy, odpowiadające rozpraszaniu (pseudo) skalar- spinor w drugim rzędzie.

Na rysunku 6.10 przedstawiono niektóre diagramy parzystego rzędu. Linie spinorowe – linie ciągłe, linie skalarne – linie przerywane.

Rys. 6.10 Niektóre diagramy czwartego rzędu dla skalar/pseudoskalar- spinor- rozpraszania ( np. rozpraszania pion-nukleon ). Ostatni diagram jest niespójny i nie jest uwzględniany.

2) Każdej wchodzącej cząstce spinorowej przyporządkowujemy wielkość u(p) [ v(p) dla odpowiedniej antycząstki ], a każdej wychodzącej cząstce spinorowej przyporządkowujemy wielkość u-(p).

3) Każdemu wierzchołkowi przyporządkowujemy czynnik ig ( w przypadku oddziaływania skalarnego ), gdzie g – jest odpowiednią stałą sprzężenia, wchodzącą do lagranżjanu oddziaływania, następnie mnożymy wszystko przez (2π)4 δ4 4) Każdemu propagatorowi spinorowemu ( linia wewnętrzna ) o pędzie p przyporządkowujemy wielkość

[1/(2π)4 ] ( i/ ( γp – M )] d4p

5) Każdemu (pseudo)skalarnemu propagatorowi przyporządkowujemy wielkość [1/(2π)4 ] ( i/ ( p2 – m2 )] d4p

6) Całkujemy po wszystkich pędach wewnętrznych.

Prawa te można zebrać w następująca tabelę.

Tabela 61. Zasady Feynmana dla skalarnej ( lub pseudo skalarnej ) i spinorowej teorii.

Czynnik w macierzy S Reprezentacja graficzna .

u(p) Fermion wchodzący ( linia zewnętrzna)

u-(p) Fermion wychodzący ( linia zewnętrzna)

ig (γ5 )(2π)4 ] δ4( p + k – p’ ) Wierzchołek

[i /(2π)4 ] ( 1/ ( γp – M )] ( bierzemy całkę

∫

d4p ) Propagator fermionowy ( linia wewnętrzna )

[i /(2π)4 ] ( 1/ ( p2 – m2 )] ( bierzemy całkę

∫

d4p ) Propagator skalarny ( linia wewnętrzna )

W dokumencie Kwantowa teoria pola Lewis H. Ryder (Stron 146-156)