§ 7.7 Duchy i unitarność
Rozdział 8. Spontaniczne naruszenie symetrii i model Salama-Weinberga
Rozdział 8. Spontaniczne naruszenie symetrii i model Salama-Weinberga.
W poprzednich rozdziałach rozpatrywaliśmy teorie pola włączając w to teorie z cechowaniem wraz z ich kwantowaniem.
Teraz mamy niejako przygotowaną scenę do tego, aby zastosować uzyskane wiadomości do fizyki cząstek.
Nie omówiliśmy jednakże jednego ważnego detalu „dekoracji” – koncepcji „spontanicznego naruszenia symetrii”.
Około 1960 roku Nambu i Goldstone zwrócili uwagę na ważność tego pojęcia w fizyce stanów skondensowanych.
Nambu w szczególności wskazał na możliwość wykorzystania tej koncepcji w fizyce cząstek. W 1964 roku Higgs wskazał na to, że z uwzględnieniem mechanizmu spontanicznego naruszenia symetrii w teoriach z cechowaniem, teorie nieabelowe silnie różnią się od teorii abelowych. Salam i Weinberg, opierając się na wcześniejszej pracy Glashowa, zastosowali idee Higgsa do teorii z cechowaniem z grupą symetrii SU(2) × U(1), która jak twierdzili, dostatecznie zgodnie opisuje zunifikowaną teorię oddziaływań EM i słabych. Poważną uwagę uczonych teoria ta przyciągnęła w 1971 roku, kiedy to t’ Hooft dowiódł, że jest ona renormalizowalna. W obszarze eksperymentalnym teoria ta również
przyniosła sukcesy.
Sformułowane powyżej zagadnienia stanowią zawartość niniejszego rozdziału ( jedynie zagadnienie renormalizacji odłożymy do następnego rozdziału ). Rozpoczniemy od badania spontanicznego naruszenia symetrii – pojęcia, które w zastosowaniu do teorii pola pogłębia nasze rozumienie pojęcia próżni.
§ 8.1 Co to takiego próżnia ?
Rozpoczniemy od dwóch prostych przykładów fizycznych. Na początku omówimy doświadczenie, które schematycznie pokazano na rysunku 8.1. Postawmy cienki pręt o przekroju kołowym, pionowo na stole i podziałajmy na niego siłą F, wzdłuż jego osi. Jeśli siła F jest mała, to nic ciekawego nie zachodzi. Jednakże, kiedy F przekroczy pewną wartość krytyczną F , to pręt wygnie się, tak jak to pokazano w „przypadkowo wybranej” płaszczyźnie.
Rys. 8.1 Pręt, ugina się pod działaniem siły F. Jego wygięta forma odpowiada spontanicznemu naruszeniu symetrii.
Symetryczna ( bez wygięcia ) konfiguracja staje się niestabilna przy F > Fkryt , a nowy stan podstawowy okazuje się niesymetryczny. Zauważmy, że istnieje nieskończona liczba możliwych nowych ( zdegenerowanych ) stanów
podstawowych, które związane są między sobą symetrią obrotową. Pręt oczywiście, może „wybrać” tylko jeden z takich stanów, a pozostałe mogą być otrzymane z niego za pomocą obrotów.
Najważniejsze fakty w tym przykładzie to :
1) istnieje krytyczna wartość pewnego parametru ( w danym przykładzie jest to siła F ) 2)symetryczna konfiguracja staje się niestabilna
3) nowy stan podstawowy okazuje się zdegenerowany.
Drugim przykładem będzie ferromagnetyzm. Oddziaływanie atomów w ferromagnetyku jest oddziaływaniem spin-spinowym :
H = −
ΣΣΣΣ
Jij Si Sj i,jktóre jest skalarem, zatem jest inwariantem względem obrotów. Jednakże stan podstawowy – jest to stan, w którym wszystkie spiny ( w granicy jednej domeny ) mają jeden kierunek, tak jak to pokazuje rysunek 8.2
Rys. 8.2 Powiązanie spinów w ferromagnetyku.
Taki stan, jest oczywiście nie inwariantny względem obrotów. Skierowanie spontanicznego namagnesowania jest przypadkowe i wszystkie zdegenerowane stany podstawowe mogą być otrzymane z danego stanu za pomocą obrotu.
Jak zauważył Coleman [13], „maleńkiemu człowieczkowi” żyjącemu wewnątrz takiego ferromagnetyka, byłoby bardzo trudno przekonać się, że hamiltonian H jest inwariantny ze względu na obroty.
Spontaniczne namagnesowanie znika przy wysokich temperaturach T, kiedy stan podstawowy jest symetryczny ( tj.
orientacja atomów staje się przypadkowa )
Oczywiście, ogólna sytuacja jest w tym przypadku taka sama jak w przykładzie poprzednim, przy czym parametrem charakterystycznym jest temperatura T. Te dwa przykłady ilustrują to zjawisko, które nazywa się „spontanicznym naruszeniem symetrii”. W obu przypadkach układ posiada symetrię ( obrotową ), jednakże stan podstawowy nie jest inwariantny względem tej symetrii.
W przypadku ferromagnetyka istnieje pewna subtelność – w zasadzie powinien on być układem nieskończonym. Poprzez namagnesowanie wydzielamy pewien określony kierunek i ( kwantowo-mechaniczna ) zmiana kierunku ( kąta ) powinna dawać ścisły wynik. Kanonicznie sprzężoną względem kąta, zmienna jest własny moment pędu układu ( przypomnijmy, że Jz = iħ∂/∂φ ), jest ona dlatego wielkością całkowicie nieokreśloną i powinna ona przedstawiać sobą nieskończoną sumę wszystkich możliwych wartości J. Ta okoliczność, że ferromagnetyk jest nieskończony, sprawia, że staje się on interesującym obiektem, który można porównać z teorią pola, ponieważ pole jest właśnie układem o nieskończonej liczbie stopni swobody.
Z tego względu będziemy poszukiwali analogicznej sytuacji w teorii pola, w której symetria lagranżjana nie rozciąga się na rozwiązanie, odpowiadające stanowi podstawowemu. W teorii pola stan podstawowy rozpatruje się jako próżnie.
Zatem, będziemy poszukiwali teorii z próżnią nowego typu. Ponieważ lagranżjan £ powinien posiadać symetrię, zastanowimy się na zespolonej teorii φ4 :
£ = (∂µφ)(∂µφ* ) – m2 φ*φ – λ (φ*φ)2 = (∂µφ)(∂µφ* ) – V(φ, φ*) (8.1)
Człon zawierający czynnik λ, odpowiada samooddziaływaniu. W standardowej skalarnej teorii pola kwantowanie prowadzi do cząstek o masie m. Jednakże tutaj m2 rozpatrywane jest tylko jako parametr, a nie człon masowy.
Związane jest to z tym, że wkrótce będziemy przyjmowali ja jako wielkość ujemną. Lagranżjan £ jest inwariantny względem globalnych przekształceń cechowania :
φ → eiΛ φ ( Λ - stała wielkość ) (8.2)
Stan podstawowy otrzymujemy na drodze minimalizacji potencjału V. Mamy więc :
∂V/∂φ = m2φ* + 2λφ*(φ*φ) (8.3)
Zatem, jeśli m2 > 0, minimum osiągane jest przy φ* = φ = 0. Jeśli m2 < 0, to istnieje lokalne maksimum przy φ = 0 i minimum przy :
| φ |2 = - m2 /2λ = a2 (8.4)
tj. przy | φ | = a. W teorii kwantowej, kiedy φ jest operatorem, warunek ten zapisywany jest dla średniego operatora próżniowego :
| < 0 | φ | 0 > |2 = a2 (8.5)
Zależność funkcji V od φ1 i φ2 , gdzie φ = φ1 + iφ2 , przedstawiono na rysunku 8.3 ( Przy tym należy pamiętać, że φ jest polem, a nie parą współrzędnych ). Punkty minimum potencjału V leżą na okręgu | φ | = a, który tworzy zbiór
zdegenerowanych próżni, związanych między sobą poprzez obrót. Zatem, pola fizyczne, które są zaburzeniami nad stanem próżni, realizują się przy włączeniu zaburzeń wokół wartości | φ | = a, a ni wokół φ = 0.
Rys. 8.3 Potencjał V posiada minimum przy | φ | = a i lokalne maksimum przy φ = 0.
Dalej będziemy pracowali we współrzędnych biegunowych :
φ(x) = ρ(x) eiθ(x) (8.6)
tak, że pole zespolone φ wyraża się poprzez dwa rzeczywiste pola skalarne ρ i θ. Stan próżniowy wybierzemy, tak aby spełniony był warunek :
< 0 | φ | 0 > = a (8.7)
gdzie a – jest liczbą rzeczywistą.
< 0 | ρ | 0 > = a , < 0 | θ | 0 > = 0 (8.8)
W tym teorio-polowym przykładzie widać te same cechy charakterystyczne co w przykładzie ferromagnetyka.
Istnieją zdegenerowane próżnie, związane między sobą przekształceniami symetrii, przysługujące danej teorii.
Wybór określonej próżni wymaga ustalenia określonych wartości pola [ w teorii pola jest to zależność (8.8), a w przypadku ferromagnetyka – kierunek namagnesowania ].
W wyniku tego próżnia jest bez warunkowo nie inwariantna względem danej symetrii.
Podstawmy teraz :
φ(x) = [ ρ’(x) + a ] eiθ(x) (8.9)
tak, aby ρ’ i θ miały zerowe próżniowe wartości średnie.
Będziemy je rozpatrywali jako „pola fizyczne” i wyrazimy £ poprzez nie. Z równości (8.1) otrzymujemy : V = m2 ρ’2 + 2m2aρ’ + m2a2 + λ( ρ’4 + 4aρ’3 + 6a2ρ’2 + 4a3ρ’ + a4 ) = λρ’4 + 4aλρ’3 + 4λa2ρ’2 – λa4 =
= λ[ ( ρ’ + a)2 – a2 ]2 – λa4 = λ( φφ* – a2 )2 – λa4 gdzie wykorzystano zależność (8.4). Oprócz tego : (∂µφ )(∂µφ* ) = (∂µρ’ )(∂µρ’ ) + ( ρ’ + a2 ) (∂µθ )(∂µθ ) gdzie £ = (∂µφ)(∂µφ* ) – V
Widzimy, że w lagranżjanie występuje człon z ρ’2 , tj. pole ρ’ posiada masę, określoną przez zależność : mρ’2 = 4λa2
Człon proporcjonalny do θ2 nie występuje , tj. pole θ jest bezmasowe. W wyniku spontanicznego naruszenie symetrii dwa masywne pola ( rzeczywista i urojona część pola φ ) przekształca się w jedno pole masywne i jedno pole
bezmasowe. Zjawisko to możemy zinterpretować z pomocą rysunku 8.3 Oczywiście, że przesunięcie ρ’ powiązane jest z utratą energii, ponieważ istnieją siły zaburzające związane z potencjałem. Jednakże przy przesunięciu po okrągłej
„dolinie” | φ | = a siły zaburzające nie występują na skutek zdegenerowania próżni. Zatem, dla zaburzeń kątowych θ o długości fali λ mamy ω → 0 przy λ → 0, tj. ω ~ λ, E ~ p i odpowiednie relatywistyczne cząstki są bezmasowe.
Cząstkę θ nazywa się bozonem Goldstone’a Należy podkreślić, że dane zjawisko ma charakter ogólny – spontaniczne naruszenie ( ciągłej ) symetrii pociąga za sobą pojawienie się cząstki bezmasowej, tj. cząstki Goldstone’a
( w danym przykładzie posiada ona zerowy spin, jednakże tak nie musi być zawsze. Przykładowo w teoriach ze spontanicznym naruszeniem supersymetrii istnieją cząstki Goldstone’a o spinie ½ )
Stwierdzenie to nazywa się twierdzeniem Goldstone’a, dowiedziemy go w następnym paragrafie.
Dla dalszego wykładu użytecznym będzie otrzymanie w/w wniosku wychodząc od rozkładu pola φ we współrzędnych kartezjańskich, a nie w biegunowych. Jeśli w miejsce (8.9) zapiszemy :
φ(x) = a + (1/√2) [ φ1(x) + iφ2(x) ] (8.10)
przy czym < φ1 >0 = < φ2 >0 = 0 to, jak łatwo zauważyć ( opuszczono stałe ) :
£ = ½ (∂µφ1)2 + ½ (∂µφ2 )2 – 2λa2φ12 – √2 λφ1( φ12 + φ22 ) – ¼ λ ( φ12 + φ22 )2 (8.11) Zatem pole φ1 jest polem bezmasowym, a pole φ1 posiada masę, przy czym kwadrat jego masy jest równy 4λa2 co pokrywa się z wynikiem otrzymanym wcześniej.
Niniejszy paragraf zakończymy uwagą dotyczącą analogii rozpatrzonego powyżej przypadku z ferromagnetykiem.
Rozważmy „falę spinową” o dużej długości λ. Powoduje ona wolną zmianę skierowania namagnetyzowania ( rys. 8.4 )
Rys. 8.4 Fala spinowa, powodująca wolną przestrzenną zmianę skierowania namagnesowania w ferromagnetyku.
Ponieważ spin w ferromagnetyku jest „krótko działający”, to wymagana jest niewielka ilość energii, aby wzbudzić ten układ, tak że częstość fal spinowych dąży do zera wraz ze wzrostem λ, tj. ω = ck.
W obszarze relatywistycznym jest to równoważne cząstce bezmasowej. Jednakże wniosek ten jest nieprawidłowy w przypadku sił o dalekim działaniu , np. sił coulombowskich o zależności przestrzennej 1/r, tj. przy obecności pola cechowania. W tym przypadku wymagana jest odpowiednia energia nawet dla tego, aby wzbudzić falę spinową o bardzo małej długości fali, ponieważ należy wykonać pracę przeciw siłą coulombowskim, tak że częstość ω jest skończona przy λ → ∞ , k → 0 i odpowiednie zaburzenie posiada masę. Oprócz tego, to co powiedziano odnosi się do fotonów.
Właśnie ta sytuacja w fizyce ciała stałego, omawiana w tym kontekście przez Andersona, doprowadziła Higgsa [10], a następnie Weinberga i Salama [20, 21] do myśli o zastosowaniu tej idei w relatywistycznym obszarze i w fizyce cząstek.
Przy powierzchownym rozważeniu sytuacja w fizyce cząstek nie daje podstaw dla zastosowania teorii z cechowaniem lub teorii spontanicznego naruszenia symetrii. Obie te teorie przewidują bowiem cząstki bezmasowe, cząstki cechowania o spinie 1 i bozony Goldstone’a o spinie 0, jednakże pomijając foton, cząstek bez masowych nie ma.
Obserwacja przeprowadzona w ramach modelu ferromagnetyka, której istotą jest istnienie obu efektów pozwala uniknąć cząstek bezmasowych obu typów i stanowi klucz do modelu Weinberga-Salama oddziaływań elektrosłabych, który to rozważony zostanie w kolejnych paragrafach.
§ 8.2 Twierdzenie Goldstone’a.
W przykładzie rozważonym powyżej, lagranżjan posiadał symetrię U(1) i dwa pola rzeczywiste, zawarte w φ i realizujące 2-wymiarową reprezentacje grupy U(1). Jedno z tych pól posiadało niezerową średnią wartość próżniową i było związane z cząstką bezmasową ( bozonem Goldstone’a ), drugie pole było masywne.
Należy podkreślić również, że powyższe rozważania były klasyczne.
Pojawiają się w związku z tym dwa pytania :
Po pierwsze ile bozonów Goldstone’a istnieje w bardziej ogólnej teorii, w której lagranżjan jest inwariantny względem grupy G ?
Po drugie, jak wyglądają wszystkie powyżej sformułowane wnioski w teorii kwantowej, w szczególności jak dowieść istnienia cząstek bezmasowych w przypadku próżni zdegenerowanej ?
Pytania te rozważymy w takiej właśnie kolejności.
Rozważenie dowolnej grupy symetrii dogodnie jest rozpocząć od konkretnej grupy nieabelowej, powiedzmy SO(3).
Zatem, rozważymy przykład, różniący się od poprzedniego tylko w tym, że teraz pola φi ( i = 1, 2, 3 ) są polem izowektorowym, skalarnym ze względu na przekształcenia Lorentza.
Niech lagranżjan ma postać :
£ = ½ ∂µφi ∂µφi – ½ m2φiφi – λ ( φi φi )2 (8.12)
( działa umowa o sumowaniu ).
Lagranżjan £ jest inwariantny względem obrotów izospinu, które to tworzą grupę symetrii G [ w danym przypadku jest to SO(3) ] :
G : φi → exp( iQk αk ) φi exp( - Qk αk ) =[ exp( iTk αk )]ij φj = Uij φj = [ U(φ) φ ]i (8.13) Gdzie : αi – kąty obrotu w przestrzeni izospinowej, Qi – generatory grupy , Ti – zbiór macierzy realizujących algebrę Liego danej grupy, o tym samym wymiarze co reprezentacja do której należy φ – w danym przypadku 3.
Macierz U(g ), odpowiadająca elementowi grupy g, jest macierzą unitarną ( jeśli macierze T są hermitowskie ), zatem, mamy reprezentacje unitarną. Jest to istotne w teorii kwantowej i nie istotne w klasycznej. Jednakże okoliczność, że mamy do czynienia z reprezentacją unitarną, nie prowadzi do utraty ogólności.
Tak jak i poprzednio, znajdziemy minimum potencjału V(φi ) :
V = ½ m2 φiφi + λ( φi φi )2 (8.14)
Jeśli m2 > 0, to minimum położone jest przy φi = 0. Jeśli m2 < 0, to minimum osiągane jest przy :
| φ0 | = ( φ12 + φ22 + φ32 )1/2 = ( - m2 /4λ )1/2 ≡ a (8.15)
Mamy ponownie zdegenerowane próżnie i możemy wybrać według własnego uznania, która z nich jest próżnią fizyczną.
W charakterze takiej próżni wybierzemy stan :
φ = ae^3 (8.16)
Wartość próżniowa pola φ, tj. izowektor φ0 ma kierunek trzeciej osi w przestrzeni izospinowej ( rys. 8.5 )
Rys. 8.5 Próżniowa wartość pola φ skierowanego wzdłuż trzeciej osi w przestrzeni izospinowej.
Oczywiście, że pole φ0 jest nie inwariantne względem całej grupy G, tj. istnieją elementy g ∈ G, dla których :
G : φ’0 = U(g ) φ0 ≠ φ0 (8.17)
Jednakże wektor ten jest inwariantny względem podgrupy H, grupy G, składającej się z obrotów wokół trzeciej osi :
H : φ’0 = U(h ) φ0 = φ0 (8.18)
U(h ) = exp( iT3α3 )
Jednocześnie potencjał V, jest w oczywisty sposób inwariantny względem całej grupy G :
V(φ’ ) = V(φ ) , φ’ = U(g )φ (8.19)
I właśnie ta okoliczność prowadzi do pojawienia się bozonów Goldstone’a. Ile ich jest ?
Podstawmy :
φ3 = χ + a (8.20)
Wtedy polami fizycznymi będą φ1, φ2 i χ; można się przekonać bezpośrednio [ uwzględniając (8.15) ] , że : V = ½ m2 [ φ12 + φ22 + ( χ + a )2 ] + λ [ φ12 + φ22 + ( χ + a )2 ]2 = 4a2λχ2 + 4aλχ ( φ12 + φ22 + χ2 ) +
+ λ( φ12 + φ22 + χ2 )2 – λa4 = λ[ ( φiφi – a2 )2 – a4 ] (8.21)
W powyższym wyrażeniu człon kwadratowy, a zatem i masa odpowiadają tylko polu χ :
mχ2 = 8a2λ , mφ1 = mφ2 = 0 (8.22)
tak, że po spontanicznie naruszonej symetrii mamy dwa bozony Goldstone’a i jedno pole skalarne.
Teraz możemy wykorzystać tę sytuacje w ogólniejszej postaci. Rozkładając V(φ) w otoczeniu minimum i uwzględniając, że :
Ponieważ V(φ0 ) – jest wartością w minimum, wielkości Mij powinny być dodatnie lub równe zeru. Aby wyjaśnić dla jakich pól są one równe zero, dokonamy przekształcenia grupowego. Z inwariantności potencjału V [ wzór (8.19)], wynika :
V(φ0 ) = V( U(g )φ0 ) = V(φ0 ) + ½ ( ∂2V/ ∂φi∂φj )φ0 δφi∂φj + ...
Co powinno dawać :
( ∂2V/ ∂φi∂φj )φ0 δφi∂φj = 0 (8.25)
gdzie δφi – jest wariacja pól φi przy przekształceniach grupowych.
Z zależności (8.17) i (8.18) wynika, że ich wielkość zależy od tego, czy dany element g należy do podgrupy H czy nie należy. Jeśli g należy do podgrupy H, to φ’0 = φ0 i δφi = 0, lub co równoważne :
δφ = (∂U/∂α3 )α3 = 0 φ0 δα3 = 0 (8.26)
i zatem, zależność (8.25) jest spełniona. Jeśli element g nie należy do podgrupy H [ w naszym przykładzie oznacza to, że g jest obrotem wokół pewnej osi, leżącej na płaszczyźnie (1, 2 )], to :
δφm =[ (∂U/∂αi )αi = 0 φ0 ] δαi ≠ 0 (8.27)
[ Przypomnijmy, że zależność (8.17), a to oznacza że i (8.27) są zależnościami macierzowymi ] W tym przypadku z (8.24) i (8.25) wynika, że :
Mij [ U’(0 )φ0 ]j = 0
i pola U’(0 )φ0 posiadają zerową masę. Są to bozony Goldstone’a. Teraz jest jasnym, że pytanie o liczbę pól o niezerowej masie i zerowej masie jest problemem czysto teorio-grupowym. Pole na którego masę nie nakłada się wymogu równości zera ( chociaż, oczywiście masa może równać się zero „przypadkowo” ), spełnia zależność (8.26), a liczba takich pól po prostu jest równa wymiarowi algebry Liego podgrupy ( lub rzędowi grupy Liego ) H, tj. podgrupy względem której próżnia jest inwariantna. W naszym przypadku H = SO(2) ~ U(1) o jednym generatorze T3, tj. jedno pole pozostaje masywne. Elementy G, nie należące do podgrupy H, nie tworzą podgrupy ( nie mogą one tworzyć podgrupy, ponieważ jedność grupowa należy do H ), jednakże tworzą one zbiór warstw G/H zatem liczba cząstek Goldstone’a jest równa wymiarowi przestrzeni ilorazowej, który jest równy liczbie generatorów G, nie będących generatorami podgrupy H, w naszym przypadku liczba ta jest równa 3 – 1 = 2.
Dane wywody są zgodne z jawnymi obliczeniami, które przeprowadziliśmy wcześniej. Podkreślmy jeszcze, że wyprowadziliśmy ważny wniosek o tym, że uzyskany wynik nie zależy od tego, jaką postać ma potencjał V : liczba bozonów Goldstone’a jest po prostu równa wymiarowi przestrzeni G/H.
Okoliczność ta będzie odgrywała bardzo ważną rolę, kiedy przejdziemy do rozpatrzenia spontanicznego naruszenia symetrii cechowania.
Na koniec, aby podkreślić ogólność naszych wniosków, zauważmy, że pozostają one słuszne nawet wtedy, kiedy symetria nie jest naruszona spontanicznie. W takim przypadku mamy jednoznaczną próżnie ( singlet ze względu na grupę G ), która jest inwariantna względem samej grupy G, tj. H = G, przestrzeń ilorazowa pokrywa się teraz z jednością grupy, a bozony Goldstone’a nie występują. W drugim, skrajnym przypadku, kiedy próżnia jest zbudowana tak, ze nie istnieją podgrupy H, inwariantnym pozostaje jeden ze stanów próżniowych φ0 , a podgrupa H pokrywa się z jednością grupową, G/H = G i liczba bozonów Goldstone’a jest równa rzędowi grupy G.
Tym samym odpowiedzieliśmy na pierwsze pytanie postawione na początku paragrafu.
Zajmijmy się teraz pytaniem drugim – jaki jest status przeprowadzonych powyżej, rozważań klasycznych w KTP ? Teraz twierdzenie Goldstone’a mówi, że jeśli operatorowi pola φ(x) odpowiada niezerowa średnia wartość próżniowa
< 0 | φ(x) | 0 > ≠ 0, która nie jest singletem względem przekształceń pewnej grupy symetrii, to w spektrum stanów powinny pojawić się stany bezmasowe. Istnieją bardzo subtelne dowody istnienia takich stanów, czytelnik może je znaleźć np. w [5, 6]. Teraz jedynie naszkicujemy schemat takiego dowodu.
Rozpoczniemy od pewnych uwag wstępnych dotyczących grupy symetrii. Jeśli lagranżjan £ jest inwariantny względem pewnej podgrupy przekształceń, to ( zobacz paragraf 3.3 ) dywergencje prądów :
jaµ(x) = ∂£/ ∂(∂µφ ) (δφ(x)/δαa )
są równe zero, ∂µ jaµ = 0, a odpowiednie ładunki :
Qa =
∫
d3x ja0(x) (8.28)Są zachowane ( dQa/dt = 0 ) i spełniają zależności komutacyjne grupy symetrii : [ Qa , Qb ] = Cabc Qc
gdzie : Cabc – są stałymi strukturalnymi algebry Liego.
Operator unitarny, odpowiadający przekształceniu grupowemu, ma postać :
U = exp( iQa αa ) (8.29)
Jeśli próżnia jest inwariantna względem przekształceń grupy ( tj. jest singletem ), to U |0 > = | 0 >, zatem :
Qa | 0 > = 0 (8.30)
tj. ładunki anihilują próżnie.
Sytuacja taka jest typowa dla przypadku symetrii. Jeśli nie jest właśnie tak, to możemy powiedzieć, że mamy „próżnie zdegenerowane” i Qa | 0 > = | 0 >’ lub Qa | 0 > ≠ 0, jednakże mówiąc ściśle, powinniśmy powiedzieć, że wielkość Qa | 0 > nie istnieje w przestrzeni Hilberta, innymi słowy jej norma jest równa nieskończoności.
Jeśli powrócimy do operatora φ(x), to ponieważ nie jest on singletem grupy, to powinien istnieć operator φ’(x), taki, że przy pewnym a spełniona jest zależność :
[ Qa , φ’(x)] = φ(x) (8.31)
i ponieważ < 0 | φ(x) | 0 > ≠ 0, to słuszna jest równość :
< 0 | [ Qa , φ’(x)] | 0 > = < 0 | Qa φ’(x) – φ’(x)Qa | 0 > ≠ 0 (8.32) To oznacza, że zależność (8.30) jest niestosowalna, a zatem symetria w standardowym sensie ( zdegenerowane
multiplety ) nie występuje. ( Jeden z przykładów subtelności o jakich mówiliśmy wcześniej polega na tym, że wielkość
< 0 | φ’(x) Qa | 0 > istnieje, podczas gdy wielkość Qa | 0 > nie istnieje )
Teraz pokażemy [6], że z (8.32) wynika istnienie cząstek bezmasowych. Podstawiając wyrażenie (8.28) do (8.32) i wstawiając pełny układ stanów pośredniczących, otrzymujemy :
[ Ograniczenie x0 = y0 wprowadzono, ponieważ jest ono konieczne dla dowiedzenia zależności (8.31)]
I dalej, z inwariantności translacyjnej wynika, że : ja0 (y) = exp( -ipy ) ja
0(0) exp(ipy) I zależność (8.33) przyjmuje postać :
gdzie dokonaliśmy całkowania przestrzennego i uwzględniliśmy obecność funkcji delta od pędu pn , podstawiliśmy również pn0 = Mn , gdzie Mn – jest masą stanu pośredniczącego n.
Pozostaje tylko dowieść, że wyrażenie (8.34) nie zależy od y0. Jeśli nam się to uda, to możemy wnioskować, że Mn = 0 tj. wszystkie stany pośrednie mają zerową masę, na czym właśnie polega twierdzenie Goldstone’a.
Oprócz tego, takie stany pośrednie powinny istnieć, po to aby wyrażenie (8.34) było różne od zera, zauważmy, że próżnia ( | n > = | 0 > ) nie daje wkładu do sumy.
Przy dowodzie niezależności wypisanego powyżej wyrażenia od y0 wyjdziemy od tego, że dywergencja prądu ja 0 (y)
Ponieważ(8.34) I (8.32) przedstawiają sobą jedną i tę samą zależność, możemy zapisać :
Można teraz pokazać, że przy oczywistych założeniach [6] całka powierzchniowa zeruje się, tym sposobem twierdzenie Goldstone’a jest dowiedzione.
W latach 60-tych włożono dużo wysiłku na to, aby wyjaśnić jaką rolę odgrywa twierdzenie Goldstone’a w fizyce cząstek. Chociaż nie istnieją cząstki o zerowej masie, pion przykładowo posiada małą masę na tyle, ze można go rozpatrywać jako bozon Goldstone’a Tym objaśnia się sukces hipotezy PCAC ( częściowego zachowania prądu aksjalnego ) (* amg. Partially Conserved Axial Current *).
Dokładne omówienie tego zagadnienia czytelnik może znaleźć w książkach [7, 8].