KTP Mechanika statystyczna Z Z – suma statystyczna Z = exp( iW ) Z = exp( - F/NkT) W[J] = Γ[φ] +
∫
Jφ F(T) = U(S) – TS Drugi przykład – magnetyzacja [12].Niech Z – będzie sumą statystyczną układu znajdującego się w polu zewnętrznym H. Wtedy Z będzie również funkcjonałem tworzącym dla euklidesowych funkcji Greena :
Z[H] =
ΣΣΣΣ
(1/N! )∫
dx1 ... dxN H(x1) ... H(xN ) G(N)( x1, ... , xN ) Analogicznie :W[H] = ln( Z[H] )
Jest funkcjonałem tworzącym dla spójnych funkcji Greena. Pochodna wariacyjna δW/δH jest „magnetyzacją” M : M(x) = δW/H]/δH(x)
a 1PI-wierzchołki generowane są przez funkcjonał Γ[M], spełniający zależność : Γ[M] + W[H] =
∫
dx H(x) M(x)W charakterze ostatniego przykładu przekształcenia Legendre’a można podać związek między sformułowaniem Lagrange’a i Hamiltona MK. W przypadku cząstek punktowych L jest funkcją zmiennych (x, x•, t ), a H – funkcją zmiennych ( x, p, t), mamy zatem :
H(x, p) = - L(x, x• ) + x•p , p = ∂L/∂x•
§ 7.4 Tożsamości Warda-Takahashi’ego w QED.
Tożsamości Warda oraz ich uogólnienia znalezione przez Takahashi’ego – są to ścisłe zależności między
1PI-wierzchołkowymi funkcjami i propagatorami, słusznymi we wszystkich rzędach teorii zaburzeń. Wynikają one z inwariantności cechowania QED i odgrywają kluczową rolę w dowodzie renormalizowalności tej teorii.
Wprowadzimy dowody tych tożsamości, rozpoczynając od funkcjonału tworzącego Z dla układu fotonów i elektronów, o postaci :
Z = N
∫
ℜAµ ℜψ- ℜψ exp( i∫
£eff dx ) (7.99)£eff = – ¼ FµνFµν + i ψ- γµ ( ∂µ + ieAµ )ψ – m ψ-ψ − (1/2α)( ∂µAµ ) + JµAµ + η-ψ + ψ-η (7.100) Ten lagranżjan efektywny zawiera cześć opisującą swobodne pole fotonowe, część opisującą swobodne pole
elektronowe, w którym zwykłą pochodną zastąpiono pochodną kowariantną, po to aby uwzględnić oddziaływanie z polem EM, uwzględniono również człon ustalający cechowanie, odpowiadające cechowaniu Lorentza i źródła dla pól Aµ , ψ i ψ-.
Nie występuje człon z duchami Faddeeva-Popova, ponieważ jak już wiemy duchy nie oddziałują z polami fizycznymi ( w tym cechowaniu ), ich wkład do Z reprezentuje tylko ogólny czynnik, który można włączyć do czynnika N.
Przypomnijmy, że bez członu ustalającego cechowanie ( oraz członów z źródłami ), lagranżjan jest inwariantny
względem cechowania. W takim przypadku funkcjonał Z jest nieskończony, a poszukiwania propagatora fotonowego nie powiodły się. Aby znaleźć skończony propagator zmuszeni jesteśmy wprowadzić człon, ustalający cechowanie ( i człon z duchami, który w przypadku abelowym można zaniedbać ). To jednakże oznacza, ze lagranżjan £eff nie będzie inwariantny ze względu na cechowanie. Fizyczne następstwa teorii wyrażają się przez funkcje Greena, tym niemniej nie mogą one zależeć od wyboru cechowania, zatem funkcjonał tworzący Z powinien być inwariantny ze względu na cechowanie. Jest to nietrywialne wymaganie nakładane na równanie różniczkowe dla Z, które teraz znajdziemy.
Przy infinitezymalnych przekształceniach cechowania : Aµ → Aµ + ∂µΛ , ψ → ψ – ieΛ , ψ- → ψ
+ ieΛψ (7.101)
[ porównaj z zależnościami (3.67) i (3.74), w których dokonano zamiany Λ→ eΛ; elektron posiada ładunek e ( < 0 )]
Pierwsze trzy człony w wyrażeniu (7.100) są inwariantne, a pozostałe nie, tak że wyrażenie pod całkowe w Z otrzymuje czynnik :
exp{ i
∫
dx [ - (1/α) (∂µAµ ) Λ + Jµ∂µ Λ – ieΛ( η-ψ – ψ- η )]}który z uwzględnieniem małości Λ może być zapisany następująco :
1 + i
∫
dx [ - (1/α) (∂µAµ ) − Jµ∂µ – ie( η-ψ – ψ- η )]Λ(x) (7.102) gdzie wykonaliśmy całkowanie przez części, po to aby wyeliminować operator różniczkowania, działający na Λ.Inwariantność funkcjonału Z oznacza, ze operator (7.102), działając na Z, zachowuje się jak operator jednostkowy.
Ponieważ Λ – jest dowolną funkcją, fakt ten prowadzi do równości : [ - (1/α) (∂µAµ ) − Jµ∂µ – ie( η-ψ – ψ- η )] Z = 0
Dokonując podstawienia :
ψ → (1/i ) δ/δη- , ψ- → (1/i ) δ/δη , Aµ → (1/i ) δ/δJµ otrzymamy funkcjonalne równanie różniczkowe :
[ (i/α) ∂µ δ/δJµ − Jµ∂µ – e( η-δ/δη- – η δ/δη ) ] Z[η, η- , J ] = 0 (7.103) Podstawiając Z = eiW , można go zapisać w postaci równania dla W :
− ( /α ) ∂µ δW/δJµ − Jµ∂µ – e( η-δW/δη- – η δW/δη ) = 0 (7.104) gdzie : W = W[ η, η- , J]
Na koniec, możemy przekształcić go do równania dla funkcji wierzchołkowej Γ, zdefiniowanej równaniem :
Γ[ ψ, ψ-, Aµ ] = W[ η, η- , J] –
∫
dx ( η-ψ + ψ- η + JµAµ ) (7.105) Skąd wynikają następujące zależności :Wtedy to równanie (7.104) przyjmie postać :
− ( /α ) Aµ(x) + ∂µ δΓ/δAµ(x) – ieψ δΓ/δψ(x) + ieψ- δΓ/δψ-(x) = 0 (7.107) Weźmy teraz drugą pochodną funkcjonalną tego równania po ψ-(x1) i ψ(y1) i podstawmy ψ- = ψ = Aµ = 0
Pierwszy człon zeruje się, zatem otrzymujemy :
Lewa część tego równania przedstawia sobą pochodną od 1PI-elektronowo-fotonowej funkcji wierzchołkowej, a dwa człony po prawej stronie tego równania są funkcjami, odwrotnymi do pełnych propagatorów. Sens równania (7.108) stanie się jasnym, jeśli zapiszemy go w przestrzeni pędów. W tym celu zdefiniujemy funkcje wierzchołkową Γµ ( p, q, p’ ) w następujący sposób :
Funkcja δ2Γ/δψ-δψ jest, jak już wiemy odwrotnym propagatorem, który oznaczyliśmy jako S’F ( aby odróżnić go od nagiego propagatora ), mamy zatem :
∫
dx1dy1exp[ i(p’x1– py1)] δ2Γ[0]/δψ-(x1)δψ(y1) = (2π)4 δ( p’ – p ) iS’F-1(p) (7.110) Mnożąc (7.108) przez exp[ i(p’x1– py1– qx )] następnie całkując po x, x1i y1otrzymujemy :qµ Γµ ( p, q , p + q ) = S’F-1(p + q) – S’F-1(p) (7.111)
Zależność ta nazywa się tożsamością Warda-Takahashi’ego, graficznie przedstawia ja rysunek 7.4.
Rys. 7.4 Tożsamość Warda-Takahashi’ego
Przechodząc do granicy qµ → 0, otrzymujemy tożsamość Warda :
S’F-1/∂pµ = Γµ ( p, 0 , p ) (7.112)
Jak już zauważyliśmy wcześniej, zależność ta jest spełniona we wszystkich rzędach teorii zaburzeń. Użytecznie jest jednak sprawdzić ja w dwóch niższych rzędach – odpowiednie dla nich diagramy przedstawiają rysunki 7.5 i 7.6
Rys. 7.5 Rozkład funkcji wierzchołkowej Γµ( p, q , p + q )
Rys. 7.6 Rozkład propagatora S’F(p)
W niższym rzędzie wielkość S’F jest po prostu równa gołemu propagatorowi SF, zatem : SF-1(p) = γµ pµ – m
∂SF-1(p)/ ∂pµ = γµ (7.113)
Obliczymy teraz Γµ ( p, 0 , p ) w niższym rzędzie. Na początku, uogólniając zależność (7.92) na rozpatrywany przypadek, zauważmy, że funkcje Γ( x, y ) są odpowiednimi propagatorami odwrotnymi , a W = - i ln(Z) Zatem :
δ3Γ /δψ-(x1)δψ(y1)δAµ(x) = −
∫
du1dv1du [ i SF-1( u1– x1) i SF-1( v1– y1)]{ -iSµν-1( u – x )(-i ) δ3Z[0] /δη(u1)δη-(v1)δJν(u) } (7.114) gdzie : Dµν – funkcja propagatora fotonowego ( której jawna postać nie jest nam potrzebna )
Teraz musimy obliczyć trzecią pochodną od funkcjonału tworzącego Z, wprowadzonego we wzorze (7.99).
Przypomnijmy sobie ogólną teorię, przedstawioną w rozdziale 6, wydzielmy teraz człon oddziaływania eψ-γµψAµ i Przedstawmy funkcjonał Z w postaci :
Z[ η, η-, Jµ ] = N exp] ie
∫
dz (1/i ) δ/δη(z) γλ (1/i ) δ/δη-(z ) (1/i ) δ/δJλ(z ) ]Z0 (7.115) Gdzie : Z0 – funkcjonał tworzący w teorii swobodnych elektronów i fotonów :Z0 = exp[ - i
∫
dx dy η-1(x ) SF( x – y )η(y )] exp[ ½ i∫
dx dJµ y(x ) Dµν( x – y ) Jν(y )] (7.116) W niższym rzędzie prowadzi to do zależności :δ3Z[0] /δη(u1)δη-(v1)δJν(u) = ie
∫
dz SF( u1 – z ) SF( v1 – z ) Dµν( u – z ) γν (7.117) Podstawienie jej do (7.114) i uwzględnienie (7.109) prowadzi w niższym rzędzie do funkcji :Γµ( p, q, p + q ) = γµ (7.118)
która na mocy równości (7.113) spełnia tożsamość Warda (7.112). W istocie spełnia ona „coś więcej”, ponieważ w przypadku, kiedy rozpatrujemy niższy rząd funkcja wierzchołkowa fµ nie zależy od pędu fotonu q.
Widzimy, jednakże, że w wyższych rzędach tak nie jest – w drugim rzędzie ( tj. w rzędzie e2 ) tożsamość Warda jest spełniona i równość q = 0 jest istotnym warunkiem.
Zanim rozpoczniemy rozpatrywanie drugiego rzędu, przepiszemy dla wygody tożsamość Warda w pierwszym rzędzie w postaci różniczkowej.
Różniczkowanie obu stron tożsamości SF(p) SF-1(p) = 1 po pµ prowadzi do zależności :
∂SF(p)/∂pµ = - SF(p) (∂SF-1(p)/ ∂pµ ) SF(p) = − SF(p) γµ SF(p) (7.119) gdzie wykorzystaliśmy równość (7.113).
Prawa część tej zależności zawiera prawidłowe czynniki, opisujące najprostszy diagram wierzchołkowy ( pierwszy z przedstawionych na rysunku 7.5 po znaku równości ), w którym pęd zewnętrznej linii fotonowej jest równy zero.
Dlatego formalnie różniczkowanie propagatora po pµ odpowiada wstawieniu linii fotonowej z zerowym pędem do wewnętrznej linii elektronowej.
Rozpatrzmy teraz diagramy przedstawione na rysunkach 7.5 i 7.6. Ich analizę rozpoczniemy od wypisania rozkładu pełnego propagatora elektronowego iS’F względem gołego propagatora iSF.
Analogicznie z (7.73) zapiszemy :
iS’F = iSF + (Σ/i )iSF + iSF(Σ/i )iSF(Σ/i )iSF + … = iSF [ 1 + (Σ/i )iS’F ] (7.120) skąd wynika, że :
S’F-1 = SF-1 – Σ (7.121)
Zatem, z uwzględnieniem równości (7.113) otrzymamy :
∂S’F-1/∂pµ = ∂SF-1/∂pµ – ∂Σ/∂pµ = γµ −∂Σ/∂pµ (7.122) Jeśli zapisać rozkład funkcji wierzchołkowej, przedstawionej na rysunku 7.5 w postaci :
Γµ( p, q, p + q ) = γµ + Λµ( p, q, p + q ) (7.123)
gdzie : Λµ − jest wkładem 1PI-diagramu do wielkości Γµ to z tożsamości Warda (7.112) wynikać będzie równość :
Λµ( p, 0, p ) = - ∂Σ/∂pµ (7.124) Teraz nasze zadanie będzie polegało na sprawdzeniu tej równości w sposób jawny w niższym rzędzie, tj. kiedy
Λµ i Σ - są funkcjami przedstawionymi przez drugie diagramy po prawych stronach rysunków, odpowiednio 7.5 i 7.6 Z porównania równości (7.120) i (7.121) staje się jasne, że funkcji Σ odpowiada energetycznie –własna bańka, przedstawiona na rysunku 7.6 bez linii zewnętrznych. Wtedy z zasad Feynmana wynik, że :
Σ/i = ( -ie )2
∫
[ d4k / (2π)4 ] ( -igxλ /k2 ) γx [ i / γ( p – k ) – m ) ] γλ == e2
∫
[ d3k / (2π)4 ] ( 1/k2 ) µλ SF ( p – k ) γλ (7.125)Wybraliśmy tutaj propagator fotonowy w cechowaniu Feynmana, tj. α = 1 we wzorze (7.54).
Teraz wykorzystując zależność (7.119), otrzymujemy :
∂Σ/∂pµ = -ie2
∫
[ d4k / (2π)4 ] ( 1/k2 ) γλ ∂/∂pµ SF ( p – k ) γλ == ie2
∫
[ d4k / (2π)4 ] ( 1/k2 ) γλ SF ( p – k )γµ SF ( p – k ) γλ (7.126) Aby obliczyć Λµ( p, q, p + q ) zastosujemy zasady Feynmana do diagramu, przedstawionego na rysunku 7.5 biorąc dla propagatora i wierzchołka odpowiednie wyrażenia i przypominając sobie z naszych obliczeń prowadzonych wpierwszym rzędzie, ze diagramy te dodają się do - ieΓµ ( tj. w pierwszym rzędzie -ieΓµ = -ieγµ ) Wtedy, ponownie wykorzystując propagator fotonowy w cechowaniu Feynmana, otrzymujemy :
Zatem :
Λµ( p, q, p + q ) = − ie2
∫
[ d4k / (2π)4 ] ( 1/k2 ) γλ SF ( p – k )γµ SF ( p – k + q ) γλ (7.127) Z wyrażeń (7.126) i (7.127) wynika, że tożsamości Warda (7.124) są spełnione.Jak już wspominaliśmy wcześniej, tożsamość Warda okazuje się istotna w procedurze renormalizacji.
Omówimy teraz krótko niektóre zagadnienia, które będziemy szerzej omawiali w rozdziale 9.
Całki, które wypisaliśmy są w istocie całkami rozbieżnymi, podobnie jak i wyrażenia odpowiadające diagramom, przedstawionym na rysunkach 7.5 i 7.6. Zatem, funkcja wierzchołkowa i pełne propagatory są wielkościami silnie rozbieżnymi. Jednakże w teorii renormalizowalnej ( a QED jest taką teorią ) funkcje te można przedstawić ( w skrajnym przypadku w otoczeniu punktu p2 = m2 ) jako gołe propagatory i człony wierzchołkowe, mnożone przez nieskończone stałe. Dlatego też podstawimy :
S’F → Z2SF (7.128)
Γµ( p, 0, p ) → (1/Z1) γµ
Wtedy tożsamości Warda prowadzą do równości :
Z1 = Z2 (7.129) Tak, że renormalizacja teorii może być wykonana z pomocą jednej stałej, a nie dwóch ( w istocie obecna jest również stała renormalizacji funkcji falowej Z3 )
Tożsamości Warda spełnione są w najprostszej teorii z cechowaniem QED, zatem naturalnym jest postawienie pytania – czy analogiczne tożsamości zachodzą w nieabelowych teoriach z cechowaniem ?
Takie tożsamości istotnie są obecne , zostały one po raz pierwszy sformułowane przez Sławnowa i Taylora.
Okazuje się, że najprostszym sposobem wyprowadzenia tożsamości Sławnowa-Taylora jest wprowadzenie pewnego sprytnego przekształcenia, przedstawionego przez Becchi’ego, Rouet’a i Stor’e ( Becchi, Rouet, Stora ) przy którym lagranżjan (7.49) jest inwariantny. Przekształcenie to rozpatrzymy w następnym paragrafie.
§ 7.5 Przekształcenie Becchiego-Roueta-Story (BRS).
Wyprowadzenie tożsamości Warda, rozpoczęliśmy od konstatacji tego faktu, że chociaż funkcjonał tworzący Z powinien być inwariantny względem cechowania jeśli chodzi o lagranżjan efektywny w wyniku członu ustalającego cechowanie, taki wymóg nie stosuje się, w przypadku abelowym mogliśmy zaniedbać człon z duchami. W przypadku nieabelowym mamy analogiczną, chociaż bardziej złożoną sytuacje. Z zależności (7.47) – ( 7.50) i (7.52) otrzymujemy :
Z = N
∫
ℜAµ ℜη ℜη- exp( i∫
£eff dx )Gdzie :
£eff = - ¼ Fa
µν Fµνa + £GF + £FPG (7.130)
Człon ustalający cechowanie, wybierzemy jako odpowiedni dla cechowania Lorentza :
£GF = (1/2α)( ∂µ Aaµ )2 (7.131)
a człon z duchami Faddeeva-Popova można zapisać w postaci :
£FPG = − η-a ( δab – gfabc ∂µ Acµ – gfabcAcµ∂µ ) ηb = − η-a ηa + gfabc η-a ( ∂µAcµ + Acµ∂µ ) ηb =
= ∂µ η-a ∂µηa – gfabc ( ∂µ η-a )Acµ ηb + pełna pochodna = ∂µη-a ( ∂µηa + gfabcAbµ ηc ) = ∂µ η-a Dµηa =
= − η-a ∂µ Dµ ηa + pełna pochodna (7.132)
Pojawiają się tutaj człony, przedstawiające sobą pełne pochodne. Można je odrzucić, ponieważ dodają one do działania tylko człony powierzchniowe. Do tego wprowadziliśmy pochodną kowariantną Dµη dla dowolnej nieabelowej grupy, przedstawiającej sobą uogólnienie wzoru (3.155), który odnosi się do teorii z grupą SU(2).
Chcemy teraz zbadać zachowanie £eff przy przekształceniu cechowania [ będącym uogólnieniem zależności (3.124)]
δAaµ = (1/g) ∂µΛa + fabc Abµ Λc = (1/g) ( DµΛ )a (7.133) Becchi, Rouet, Stora (BRS) jako pierwsi zauważyli, ze jeśli wybrać :
Λa = - ηa λ (7.134) gdzie : λ , ηa - wielkości grassmannowskie ( tak, że λ2 = 0 ) i λ - jest wielkością stałą.
Wtedy :
δAaµ = − (1/g) ( Dµηa )λ (7.135)
Jeśli wymagam również, aby spełnione były zależności :
δηa = - ½ fabc ηbηa λ (7.136) δη-a = − (1/αg) (∂µ Aaµ ) λ (7.137) ( przypomnijmy, że η- i η - niezależne pola Grassmanna, przekształcające się niezależnie ), to lagranżjan £eff będzie inwariantny. Te trzy wypisane powyżej zależności stanowią przekształcenie BRS. Teraz pokażemy, że lagranżjan £eff jest w rzeczywistości inwariantny względem przekształceń (7.135) – (7.137).
Na początku zauważmy, że człon z polem cechowania £0 = - ¼ Fa
µνFµνa jest inwariantny, ponieważ zależność (7.134) przedstawia sobą po prostu zmianę parametryzacji Λa. Dla członu ustalającego cechowanie, przy przekształceniach (7.135) mamy :
∂£GF = (1/α) (∂µAaµ ) (1/g) (∂ν Dνηa ) λ (7.138)
a dla członu z duchami :
∂£FPG = (δη-a ) ∂µDµ ηa – η-a ∂µ ( δDµηa ) (7.139)
Pierwszy człon z uwzględnieniem zależności (7.137) jest równy :
− (δη-a ) ∂µDµηa = – (1/αg) (∂µ Aaµ )λ (∂νDν ηa
)
= – (1/αg) (∂µAaµ ) (∂νDν ηa)
λ (7.140) ponieważ ηa i λ antykomutują. Wyrażenia (7.138) i (7.140) wzajemnie się znoszą, tak więc w wyniku tego otrzymujemyδ£eff = ηa∂µ (δDµηa ) (7.141)
Powinniśmy teraz pokazać, ze przy przekształceniach (7.135) i (7.136) spełniona jest równość δDµηa = 0
,wtedy lagranżjan £eff będzie inwariantny. Okazuje się , że taka procedura jest długa.
Mamy w pierwszej kolejności :
Ponieważ η – jest wielkością Grassmanna, pochodna w pierwszym członie jest równa :
Zatem :
Pierwszy człon jest równy zero, ponieważ λ, ηc – są wielkościami Grassmanna. W ostatnim członie, na skutek tego, że stałe strukturalne f spełniają tożsamości Jakobiego (3.148) otrzymujemy :
fabc fcmn = − famc fcnb – fanc fcbm tak, że :
Dokonując zamiany w ostatnim członie niemych indeksów m ↔ n widzimy, że jest on równy drugiemu członu.
Dokonując dalszych zamian indeksów, otrzymujemy :
Zatem, δ£eff = 0 I dany lagranżjan jest inwariantny względem przekształceń BRS (7.135) – (7.137).
Zauważmy, że z zależności (7.135) i (7.142) wynika równość :
δ2 ( Aaµ ) = 0 (7.143)
mówiąc językiem naukowym, Aaµ jest nilpotentna.
Dokonamy teraz przekształceń BRS funkcjonału Z z celem otrzymania tożsamości Sławnowa-Taylora, analogicznej tożsamości Warda w elektrodynamice.
§ 7.6 Tożsamości Słavnova-Taylora.
Dla dogodności wprowadzimy funkcjonał tworzący, zależny nie od trzech, a od pięciu źródeł : ( Kluberg-Stern H. Zuber J. B. Phys. Rev. D12 484 (1975 *)
Z[ s, x, y ; u, v ] =
∫
ℜη- ℜη ℜAµ exp( i∫
£całkowity dx ) Gdzie :Źródła x, y I u są zmiennymi antykomutującymi.
Dokonamy teraz przekształcenia BRS funkcjonału Z.
Nasz pierwszy wniosek, polega na obserwacji, że współczynniki stojące przy źródłach u, v są inwariantne. To, że współczynnik przy u jest inwariantny, zademonstrowano we wzorze (7.142).
Dowiedziemy teraz, ze współczynnik v jest inwariantny.
Wykorzystując wzór (7.136), otrzymujemy :
( przekształciliśmy nieme indeksy w przedostatnim wierszu )
Zauważmy, że jak to wynika ze wzoru (7.136), zmiana wielkości ηa jest również nilpotentna :
δ2 ( ηa ) = 0 (7.146)
Nasz drugi wniosek – można się przekonać, że jakobian przekształcenia jest różny jeden.
Jakobian ten ma postać :
W tym wyznaczniku różne od zera są tylko elementy :
gdzie w charakterze różniczkowania wybrano „różniczkowanie prawostronne” [ wzór (6.121b)] i na koniec : δ[ Aaµ (x) + δAaµ (x)]/ δη0(y ) = δ4 (x – y ) fabc Abµ λ
Zatem, schematyczny jakobian możemy przedstawić w następującej postaci :
gdzie uwzględniono równość λ2 = 0.
Zatem, jest on w istocie równy jeden.
Z tych dwóch obserwacji można wnioskować, że ponieważ lagranżjan £eff jest inwariantny względem przekształceń BRS, to z inwariantności funkcjonału tworzącego Z wynika, że :
gdzie : δAµa , δηa i δη-a określone są wzorami, odpowiednio (7.135) – (7.137).
Zauważmy, że pierwsze dwie z tych wielkości są współczynnikami odpowiednio przy u i v, a ostatnia jest
proporcjonalna do wielkości ∂µAaµ , gdzie Aaµ – jest współczynnikiem stojącym przy s; dlatego z (7.148) wynika, że :
Równanie to zawiera pochodne tylko pierwszego rzędu, co jest następstwem wprowadzenia źródeł u, v dla członów nieliniowych δAi δη.
Podstawiając tutaj wyrażenie dla funkcjonału tworzącego w postaci Z = eiW , otrzymamy analogiczne ( faktycznie to samo ) równanie dla W :
∫
dx { Sa (δW/δuaµ ) + xa(δW/δva ) – (1/α) ya [ ∂µ (δW/δsaµ )] } = 0 (7.149)
Przekształcimy teraz to równanie w warunek dla funkcjonału tworzącego Γ. Zdefiniujemy standardowo ( za wyjątkiem tego, że będziemy przekształcali źródła u i v ) :
W[ s, x, y ; u, v ] = Γ[ A, η, η- ; u, v ] +
∫
dx ( saµ Aa + xa ηa + ya η-a ) (7.150) Wtedy :saµ = −δΓ/δAaµ , xa = −δΓ/δya , ya = −δΓ/δη-a (7.151)
Oprócz tego :
δW/δsaµ = Aµa , δW/δu = δΓ/δu , δW/δv = δΓ/δv (7.152)
i w wyniku tego równanie (7.149) przyjmie postać :
∫
dx [ (δΓ/δAaµ ) (δΓ/δuµa ) + ( δΓ/δηa )(δΓ/δva ) – (1/α) (∂µ Aaµ ) (δΓ/δη-a ) ] = 0 (7.153) Aby otrzymać to równanie w prostszej formie, należy zauważyć, że z uwzględnieniem (7.132) i (7.144) człony w Z zawierające η- i u- mają postać : Ostatnia zależność odzwierciedla tożsamość Slavnova-Taylora, chociaż różni się ona postacią, od tożsamości orginalnie sformułowanej przez wymienionych autorów.Łatwo jednak pokazać, że wprowadzona tutaj forma takiej tożsamości jest najdogodniejsza przy dowodzie renormalizowalności teorii Yanga-Millsa.