(* zobacz tekst pt. „Zewnętrzne formy różniczkowe. *)
Równania Maxwella (2.237) wiążą antysymetryczne tensory z wektorami, jednakże związek ten ustalany jest dla oddzielnych składowych , na co wskazuje zapis indeksowy. W takim podejściu można dostrzegać krok do tyłu w porównaniu z takimi równaniami jak ∇∇∇∇• B = 0 ; symbol ∇∇∇∇• B jest bardziej ekonomiczny niż zapis ∇iBi , który jest mu
równoważny. Pojawia się jednak pytanie : czy można zapisać równania Maxwella tak, aby wchodziły do nich tensor F i prąd j i nie występowałyby jawnie składowe ?
Dzięki rozwojowi nowoczesnej geometrii różniczkowej taka możliwość istnieje i równania Maxwella przyjmują elegancką postać dF = 0, d*F = J, przy czym automatycznie uwzględnia się antysymetrię tensora pola F ! W niniejszym paragrafie wyjaśnimy ten zapis.
Zazwyczaj fizyce sceptycznie odnoszą się do takich matematycznych modernizacji, jednakże koniec końców przekonują się, ze z równaniem d*F = J można pracować w określonym układzie współrzędnych, przekształcając go do postaci
∂µFµν = jµ. Mimo iż takie podejście jest prawdziwe duża część fizyków uważa, ze postęp w stosowanych zapisach równań I stosowanych oznaczeń w istocie oznacza w pierwszej kolejności pogłębienie naszego ich rozumienia.
Istota zagadnienia jest również taka, że w omawianym dziale ( jak i również innych ) nowoczesnej matematyki, postęp osiągany jest dzięki wprowadzaniu dzięki wprowadzeniu nowych narzędzi i opracowywaniu jasnych sformułowań tam gdzie ich do tej pory nie było. W przypadku równań Maxwella poprzez nowoczesny zapis rzucono nowe światło o ich geometrycznej naturze. Jak pokażemy w następnym rozdziale elektrodynamika jest przykładem teorii z cechowaniem o grupie inwariantności U(1)Teorie z cechowaniem o nieabelowych grupach inwariantności [ SU(2) × U(1) , SU(3)]
zajmują centralne miejsce we współczesnej fizyce cząstek, a ich geometryczna interpretacja we wskazanym powyżej sensie może w istocie odgrywać pierwszorzędną rolę w ostatecznym rozumieniu znaczenia takich teorii.
Na początku zobaczymy, jaki jest sens całek zwyczajnych i powierzchniowych :
I1 =
∫
Fx dx + Fy dy + Fz dz =∫
F • dr (2.242)C C
I2 =
∫
( Gx dy ∧ dz + Gy dz ∧ dx + Gz dx ∧ dy ) =∫
G • dS (2.242) S SWielkości I1 , I2 – są to liczby. Wielkość I1 jest całką pewnej wielkości wzdłuż linii C, a I2 – jest całką pewnej wielkości po powierzchni S. Zatem, w określonym sensie jest to „coś” dualnego do „linii”, ponieważ, kiedy „łączymy”
te wielkości ( za pomocą całkowania ), w wyniku otrzymujemy liczbę. Analogicznie jest w przypadku I2 – jest to „coś”
dualnego do „powierzchni”. Usystematyzujemy ten wywód, wprowadzając nowe pojęcia : linie i powierzchnię będziemy nazywali „łańcuchami”, a obiekty, które całkujemy po łańcuchach, będziemy nazywali „formami różniczkowymi” lub po prostu „formami”. Zatem, formy są dualne do łańcuchów.
Linię będziemy nazywali 1- łańcuchem, ponieważ ma ona jeden wymiar, powierzchnię nazwiemy 2- łańcuchem itd.
Dowolny n- wymiarowy łańcuch oznaczymy przez Cn. Zatem, mamy :
C0 0 – łańcuch = punkt (2.243)
C1 1 – łańcuch = linia
C2 2 – łańcuch = powierzchnia C3 3 – łańcuch = objętość Cn n – łańcuch
Brzeg n- łańcucha to ( n – 1 )- łańcuch. Brzegiem obszaru jest linia, brzegiem linii są dwa punkty. Operator brzegu oznaczymy jako ∂, odwzorowuje on Cn w Cn-1 :
∂
Cn → Cn-1 lub ∂Cn = Cn-1 (2.244)
Niektóre łańcuchy nie mają brzegów – powierzchnia sfery jest 2- łańcuchem ( powierzchnią ) nie posiadającym brzegów, linia zamknięta jest 1- łańcuchem nie posiadającym brzegów. Takie zamknięte łańcuchy nazywamy cyklami i oznaczymy je przez Zn. Ponieważ nie cykle nie mają brzegów, oczywistym jest, że :
∂Zn = 0 (2.245)
[ faktycznie Zn jest jądrem odwzorowania (2.244) ]. Istnieją również łańcuchy , które same są brzegami dla innych łańcuchów o wyższym wymiarze. Takie łańcuchy oznaczymy przez Bn :
Bn = ∂Cn+1 (2.246)
[ łańcuch Cn-1w rzeczywistości jest obrazem odwzorowania (2.244) ]
Przykładowo, linia zamknięta B2 jest brzegiem pewnego obszaru. Oczywiście, że same łańcuchy B2 nie posiadają brzegów ( są one zamknięte ) :
∂Bn = 0 (2.247)
Łącząc dwie ostatnie zależności, otrzymujemy :
∂2
= 0 (2.248)
Co oznacza, że „brzeg brzegu jest równy zeru”, tj. łańcuch będący brzegiem powinien być zamknięty. Interesujące jest pytanie czy słuszne jest stwierdzenie odwrotne – czy jest zamknięty łańcuch jest zawsze brzegiem innego łańcucha ? W przestrzeniach euklidesowych odpowiedź jest twierdząca tj. Zn = Bn. W przypadku ogólnym istnieją zamknięte łańcuchy nie będące brzegami , tj. Zn ⊃ Bn. Przykładowo na torusie krzywa zamknięta, podobna do krzywej C1
przedstawionej na rys. 2.3 nie jest brzegiem żadnej części powierzchni torusa, podczas gdy krzywa C2, jest takim brzegiem.
Rys. 2.3 Krzywe zamknięte na torusie. Krzywa C2 ogranicza pewną część powierzchni torusa, krzywa C1 nie stanowi takiego brzegu.
Analogicznie w przestrzeni S1, tj. na okręgu, sam okrąg nie jest brzegiem żadnego obszaru tej przestrzeni.
Nie można go przyjmować jako brzeg obszaru, którą on otacza ponieważ obszar ten będący obszarem dwuwymiarowym, nie może być częścią S1, tj. częścią przestrzeni jednowymiarowej. Tym stwierdzeniem kończymy wprowadzenie do pojęcia łańcucha.
Teraz powiemy coś o pojęciu formy. Jak już sygnalizowaliśmy wcześniej, całka od formy po łańcuchu jest równa pewnej liczbie. Napiszmy :
∫
ωn ≡∫
fi1... in dxi1∧ dxi2 ∧ … ∧ dxin = liczba (2.249) Cn CnSymbol iloczynu ∧ w tym wyrażeniu został wprowadzony w związku z tym, że istotna jest orientacja krzywej, powierzchni, itp. Istnienie całek jest związane z dualnością form i łańcuchów, co zaraz zobaczymy w sposób jawny.
Pewna 1- forma ω1 – jest to wielkość, którą należy scałkować wzdłuż linii ( 1- łańcucha ), tj. jest wielkością o postaci : Adx + Bdy + Cdz. Inne formy budowane są w taki właśnie sposób, zatem otrzymujemy ( w trójwymiarowej przestrzeni )
ω0 0 –forma funkcja (2.250)
ω1 1 –forma Adx + Bdy + Cdz.
Ω2 2 –forma f dx ∧ dy + g dy ∧ dz + h dz ∧ dx Gdzie :
dx ∧ dy = - dy ∧ dx ; dx ∧ dx = 0 itd. (2.251)
Na mocy równań (2.251) jest jasne, że w n- wymiarowej przestrzeni istnieją n- formy, ale nie istnieją (n+1)- formy, tj.
formy wyższego rzędu. Oczywiście, ze różniczkując n-formę, otrzymamy pewne typy (n+1) – form. Dokładnie otrzymamy (n +1 )- formę, jeśli wbudujemy w operacje różniczkowania antysymetryzację, o której wspomnieliśmy wcześniej.
Zdefiniujmy tzw. operator różniczkowania zewnętrznego d :
dωn = ωn+1 (2.252)
Wynik działania takiego operatora na 1- formy ( w przestrzeni trójwymiarowej ) zapiszemy w postaci :
d( Adx + Bdy + Cdz ) = (∂A/∂y) dy ∧ dx + (∂A/∂z) dz ∧ dx + (∂B/∂x) dx ∧ dy + (∂B/∂z) dz ∧ dy + (∂C/∂x) dx ∧ dz + + (∂C/∂y) dy ∧ dz = [ (∂B/∂x) – (∂A/∂y) ] dx ∧ dy + [ (∂C/∂y) – (∂B/∂z) ] dy ∧ dz + [ (∂A/∂z) – (∂C/∂x) ] dz ∧ dx
(2.253) Analizując ten przykład, czytelnik może zrozumieć w jaki sposób operator d działa na dowolną formę i przekonać się, ze 2- forma :
ω2 = f dx ∧ dy + g dy ∧ dz + h dz ∧ dx posiada pochodną zewnętrzną o postaci :
dω2 = [ (∂f/∂z) + (g/∂x) + (∂h/∂y)] dx ∧ dy ∧ dz (2.254)
W pierwszym przykładzie (2.253) wielkości :
∂C/∂y – ∂B/∂z , ∂A/∂z – ∂C/∂x , ∂B/∂x – ∂A/∂y są składowymi rot F , gdzie F = iA + jB + kC.
W drugim przykładzie, wprowadzając wektor W = (g, h, f ), mamy :
∂f/∂z + ∂g/∂x + ∂h/∂y = div W
Zauważmy teraz, mając na uwadze równość (2.254), że jeśli obliczymy pochodną zewnętrzną wielkości (2.253), to otrzymamy tożsamościowo zero, innymi słowami :
d[ d( Adx + Bdy + Cdz ) ] = d2 ( Adx + Bdy + Cdz ) = 0 lub w ogólnym przypadku :
d2 = 0 (2.255)
W języku składowych równość tę zapiszemy jako : div rot = 0
Operator d niekiedy nazywa się operatorem kobrzegu, podkreślając tę własność, że równość d2 = 0 jest dualna do równości ∂2 = 0 [ wzór (2.248) ]. Zależność d2 = 0 nazywa się lematem Poincarego.
n – forma ωn nazywa się formą zamkniętą, jeśli dωn = 0
n – forma ωn nazywa się formą dokładną jeśli jest ona równa pochodnej od pewnej ( n- 1 ) – formy : ωn = dωn-1
Lemat Poincarego mówi, że wszystkie formy dokładne są zamknięte, ponieważ d( dωn-1) = d2ωn-1 = 0.
Jednakże w ogólnym przypadku stwierdzenie, że wszystkie formy zamknięte są dokładne, (* tj. twierdzenie odwrotne *) nie jest prawdziwe, chociaż w przestrzeniach Euklidesa jest to prawdą.
Wynika to również z dualności łańcuchów i form : w przestrzeniach Euklidesa wszystkie zamknięte łańcuchy są brzegami.
Dobrze znane wnioski są następstwem wzoru Stokesa, który ustanawia następujący związek między p- formą ω i ( p + 1) – łańcuchem c :
∫
ω =∫
dω (2.256)∂C C
W charakterze przykładu rozpatrzymy przypadek p = 2. Niech dana będzie 2 – forma ω ( w trój wymiarowej przestrzeni ) :
ω2 = Ax dy ∧ dz + Ay dz ∧ dx + Az dx ∧ dy
i niech C3 – będzie obszarem V o brzegu ∂V. W takim przypadku wzór Stokesa daje :
∫
Ax dy ∧ dz + Ay dz ∧ dx + Az dx ∧ dy =∫
[ (∂Ax /∂x) + (∂Ay/∂y ) + ( ∂Az/∂z) ] dx ∧ dy ∧ dz∂V V ( wykorzystaliśmy tutaj (2.254) ).
Powyższą równość możemy przedstawić w znanej postaci :
∮
A • dS =∫
div A dV (2.257)∂V V
Równość (2.257) nazywa się twierdzeniem o dywergencji ( lub twierdzeniem Gaussa-Ostrogradskiego ) Czytelnik może pokazać w charakterze ćwiczenia, że przy p = 1 otrzymujemy twierdzenie Stokesa :
∮
A • dl =∫
rot A dS (2.258)∂A A
Rozpatrywaliśmy do tej pory zależności istniejące między operatorem różniczkowania zewnętrznego d I zwykłymi operatorami różniczkowymi grad, div, rot. Jednak jak widać to już ze sposobu wyprowadzenia wzoru (2.257), jeśli składowe wektora A są współczynnikami 2- formy, to div A stanowi współczynnik 3 – formy, otrzymanej poprzez działanie d na 2- formę. W języku standardowych oznaczeń wektorowych operator ∇ przekształca skalar w wektor, a wektor albo w skalar ( div ), albo w pseudowektor ( rot ). Istnieje jednakże operator nie zmieniający charakteru wektorowego danej wielkości – jest to laplasjan ∇2 ( dalambercjan w czterech wymiarach czasoprzestrzennych ).
Wielkość ∇2φ jest skalarem, wielkość ∇2A jest wektorem itp. W jaki sposób wyraża się to w języku form ?
Operator d przekształca p – formę w ( p+1) – formę, musimy zatem znaleźć inny operator δ, który przekształca p- formę w ( p- 1 )- formę. Dalej pokażemy, jak to zrobić.
Dla uproszczenia będziemy pracowali w przestrzeni trójwymiarowej. Przestrzeń 1- form, oczywiście jest przestrzenią trójwymiarową o bazie dx, dy, dz. Przestrzeń 2- form jest również trójwymiarowa. W istocie bazy możemy zapisać następująco :
Jest jasne, że w trójwymiarowej przestrzeni nie istnieją 4- formy, jasne jest również, że wymiar przestrzeni p- form jest równy wymiarowi przestrzeni (n − p )- form. Zatem, możemy zdefiniować operator przeprowadzający p- formy w (n − p )- formy. Taki operator nazywa się operatorem Hodge’a lub przekształceniem dualności, oznaczamy go gwiazdką *. W przestrzeni euklidesowej ( płaskiej ) takie przekształcenie określone jest poprzez zależność :
*( dxi1 ∧ dxi2 ∧ ... ∧ dxip) = [ 1/ ( n – p )! ] εi1i2 ... ip ip+1… in dxip+1 ∧ dxip+2 ∧ ... ∧ dxin
*ω2 : dx, dy, dz
*ω2 : 1
Powtórne działanie operatora * na p- formę ωp daje :
**ωp = ( -1 )p(n – p ) ωp (2.262)
( Aby przekonać się, że forma rzeczywiste zmienia znak wystarczy rozpatrzyć prosty przypadek p = 1, n = 2 ) Oczywiście razem z zależnością dωp ~ ωp+1 słuszna jest również zależność d(*ωp ) ~ *ωp+1.
Operator δ zdefiniujemy następująco :
δ = ( -1 )np + n + 1*d* (2.263)
gdzie p jest stopniem tej formy ωp , na którą działa operator δ, n – jest wymiarem przestrzeni. Operator δ nazywa się stowarzyszonym operatorem różniczkowania zewnętrznego. Jest jasne, że stopień formy δω jest równy ( p – 1).
W celu ilustracji pokażemy, że operator δ przekształca 1- formę v • ds w 0- formę :
δ( v • ds ) = δ ( vx dx + vy dy + vz dz ) = - *d* ( vxdx + vydy + vzdz ) = - *d ( vx dy ∧ dz + vy dz ∧ dx + vz dx ∧ dy ) =
= - *( ∂vx /∂x + ∂vy/∂y + ∂vz /∂z ) dx ∧ dy ∧ dz = - div v (2.264) Łatwo zauważyć, że podobnie jak w przypadku operatora d, kwadrat operatora δ jest równy zeru :
δδ = ( -1 )np + n + 1( -1 )n( p – 1) + n + 1*d**d* = ( -1 )pn – p2 + n *d2*
Z uwzględnieniem równości (2.255) mamy :
δ2 = 0 (2.265)
Na koniec laplasjan ∆ przeprowadza p- formy w p- formy i określony jest jako :
∆ = ( d + δ )2 = dδ + δd (2.266)
Po takim teoretycznym wstępie możemy łatwo zapisać równania Maxwella w postaci geometrycznej ( lub
„wewnętrznej” ). Oczywiście będziemy pracowali w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego. Opuszczając indeksy w tensorze pola Fµν we wzorze (2.222), otrzymujemy ( Ex ≡ E1 itd. ) :
Na koniec, zdefiniujemy gęstość prądu jako 3- formę J :
J = ( jx dy ∧ dz + jy dz ∧ dx + jz dx ∧ dy ) ∧ dt – ρ dx ∧ dy ∧ dz (2.271) Mając zdefiniowane powyższe wielkości możemy prostymi rachunkami pokazać, że równania Maxwella mają postać :
dF = 0 , d*F = J (2.272)
Łatwo pokazać, korzystając z wzoru (2.268) że z równania dF = 0 wynika równanie (2.233), które to jest równoważne dwóm jednorodnym równaniom Maxwella. Można również postąpić inaczej – wykorzystując zależność (2.268), poprzez proste obliczenia znajdujemy :
dF = ∂Ex/∂y dy ∧ dx ∧ dt + ∂Ex/∂z dz ∧ dx ∧ dt + ∂Ey/∂x dx ∧ dy ∧ dt + ... + ∂Bz/∂z dz ∧ dx ∧ dy +
+ ∂Bz/∂t dt ∧ dx ∧ dy + ... = ( ∂Ey/∂x – ∂Ex/∂y + ∂Bz/∂t ) dx ∧ dy ∧ dt + ... + ( divB ) dx ∧ dy ∧ dt (2.273) Zatem z równania dF = 0 wynikają dwa równania :
div B = 0 , rot E + ∂B/∂t = 0
tj. jednorodne równania Maxwella. Analogicznie można pokazać, że równanie *dF = J jest równoważne niejednorodnym równaniom Maxwella.
W przestrzeni Euklidesa ( która z uwzględnieniem naszych celi może być rozszerzona do przestrzeni Minkowskiego ) słuszny jest lemat odwrotny do lematu Poincarego : wszystkie zamknięte formy są dokładne, tak, że jeśli dF = 0, to istnieje 1- forma A taka, że :
F = dA (2.274)
W bazie współrzędnościowej 1- forma A ma postać :
A = Aµ dxµ (2.275)
Skąd w prosty sposób wynika, że równość (2.274) jest równoważna zależności Fµν = ∂µAν – ∂νAµ tj. zależności (2.219). Geometryczny sens 1- formy A jest bardzo głęboki – jest to forma koneksji, wykorzystywana dla zdefiniowania pochodnych kowariantnych, które będziemy rozpatrywali w następnym rozdziale. Jeśli wyjdziemy z tego punktu widzenia, że pole EM wymaga wprowadzenia pochodnej kowariantnej, a zatem i 1- formy koneksji A, to wielkość F = dA będzie tzw. 2- formą „krzywizny”, a tożsamość dF = 0 jest tożsamością Bianchi.
Podsumowanie.
Do rozdziału 2. Cząstki skalarne opisywane są przez równanie Kleina-Gordona, istnieją jednak pewne trudności w jego interpretacji, związane z tym, ze gęstość prawdopodobieństwa nie jest dodatnio określona i istnieją stany o energii ujemnej. W związku z tym wnioskujemy, ze równanie to nie może być rozpatrywane jako równanie dla jednej cząstki.
Do rozdziału 3. Równanie Diraca opisuje cząstki o spinie ½ i może być konsekwentnie wyprowadzone z pomocą grupy SL(2, C), która jak się okazuje, zawiera przekształcenia Lorentza, rozszerzone o odbicia przestrzenne. Rozwiązaniom równania Diraca odpowiada dodatnia gęstość prawdopodobieństwa, jednakże razem ze stanami o energii dodatniej istnieją również stany o energii ujemnej. Można pokazać, że cząstki bezmasowe o spinie ½ spełniają równanie Weyla.
Do rozdziału 4. Hipoteza o tym, że stany o ujemnej energii są całkowicie zapełnione prowadzi do przewidzenia antycząstek.
Do rozdziału 5. W paragrafie tym pokazujemy jak można budować spinory spełniające równanie Diraca i badamy własności transformacyjne form biliniowych ψ−Oψ, jak również różne tożsamości algebraiczne zawierające spinory i macierze γ.
Do rozdziału 6. Równanie Diraca daje prawidłowe wartości stosunku żyromagnetycznego dla elektronu.
Do rozdziału 7. W paragrafie tym pokazujemy, że inwariantny operator Casimira dla spinu s(s +1) buduje się nie z generatorów grupy Lorentza, a z generatorów niejednorodnej grupy Lorentza ( tj. grupy Poincarego ).
Drugi inwariantny operator Casimira to m2 ( gdzie m – jest masą ). Cząstkom o m2 > 0odpowiada „mała grupa” SU(2), która interpretowana jest jako grupa spinu. Cząstkom o m2 = 0 i cząstkom o m2 < 0 odpowiadają niezwarte małe grupy, tka że ich spin nie jest opisywany poprzez grupę obrotów.
Do rozdziału 8. Równania Maxwella przedstawiamy w jawnie kowariantnej postaci. Zapisujemy równania Proca dla cząstek masywnych o spinie 1.
Do rozdziału 9. Wprowadzamy pojęcia łańcucha i form różniczkowych, a równania Maxwella zapisujemy poprzez formy różniczkowe.