5.1 Sformułowanie MQ na podstawie całek funkcjonalnych

§ 5.1 Sformułowanie MQ na podstawie całek funkcjonalnych.

W standardowym sformułowaniu MQ wielkości p, q zamieniamy na operatory, spełniające zależności Heisenberga.

Matematyka, którą przy tej okazji wykorzystujemy – jest to teoria operatorów w przestrzeni Hilberta. Sformułowanie MQ oparte na całkach funkcjonalnych oparte jest bezpośrednio na pojęciu propagatora K( qf tf ; qi ti ).

Jeśli zadana jest funkcja falowa ψ(qi , ti ) w chwili ti , to propagator podaje odpowiednią wartość funkcji falowej w późniejszych chwilach czasu tf , zgodnie z zasadą Huygensa :

ψ(qf , tf ) =

∫

K( qf tf ; qi ti ) ψ(qi , ti )dqi (5.1)

( dla uproszczenia rozpatrujemy przypadek jednego wymiaru przestrzennego ).

Zależność ta ma bardzo ogólny charakter i stanowi wyrażenie jedynie zasady przyczynowości. Zgodnie ze standardową interpretacją MQ ψ(qf , tf ) jest amplitudą prawdopodobieństwa tego, ze cząstka znajduje się w punkcie qf w chwili tf , tak ,że wielkość K( qf tf ; qi ti ) reprezentuje sobą amplitudę prawdopodobieństwa przejścia cząstki z punktu qi w chwili ti do punktu qf w chwili tf. Prawdopodobieństwo zaobserwowania cząstki w punkcie qf w chwili czasu tf jest równe : P( qf tf ; qi ti ) = | K( qf tf ; qi ti ) |2

Jest to podstawowa zasada MQ, znana każdemu studentowi.

Rozbijmy teraz odcinek czasowy między chwilami ti i tf na dwa odcinki, rozdzielone chwilą t i punktem przestrzennym q ( rys. 5.1 )

Rys. 5.1 Rozprzestrzenianie się cząstki z punktu ( qi , ti ) do punktu (qf , tf ) poprzez położenie pośrednie (q, t ) Powtórne zastosowanie zależności (5.1) daje :

ψ(qf , tf ) =

∫∫

K( qf tf ; qt )K( qt ; qi ti ) ψ(qi , ti )dqi dq

skąd mamy :

K( qf tf ; qi ti ) =

∫

K(qf tf ; qt )K( qt ; qi ti )dq (5.1)

Zatem, przejście z punktu ( qi , ti ) do punktu (qf , tf ) można rozpatrywać jako wynik przejścia z punktu ( qi , ti ) do wszelkich możliwych punktów pośrednich (q, t) ,a następnie do punktu końcowego (qf , tf ).

W charakterze prostej i dobrze znanej ilustracji powyższego stwierdzenia rozpatrzmy doświadczenie z elektronami przechodzącymi przez diw szczeliny ( Rys. 5.2 )

źródło elektronów obraz interferencyjny Rys 5.2 Doświadczenie z dwoma szczelinami

Przez K( 2A; 1) oznaczymy amplitudę prawdopodobieństwa tego, że elektron przechodzi od źródła 1 do szczeliny 2A, przez K( 3; 2A) oznaczymy amplitudę prawdopodobieństwa tego, że elektron przechodzi od szczeliny 2A do detektora 3 itd.

Wzór (5.2) daje nam :

K(3; 1 ) = K(3; 2A ) K(2A; 1 ) + K(3; 2B) K( 2B; 1 )

A rozkład intensywności na ekranie 3 określony jest przez wyrażenie dla prawdopodobieństwa : P(3; 1 ) = | K(3; 1 ) |2

Które, oczywiście, będzie zawierało człony interferencyjne charakterystyczne dla MQ. Zauważmy, że nie możemy powiedzieć : „elektron przeszedł albo przez szczelinę A, albo przez szczelinę B” – on przeszedł, w określonym sensie przez obie szczeliny ( jeśli nie jest zarejestrowany w chwili przechodzenia przez konkretną szczelinę )

Pojęcie „wszystkich możliwych dróg” posiada ważne znaczenie w metodzie całek funkcjonalnych.

Możemy pokazać, że propagator K w rzeczywistości jest równy bardziej znanej wielkości <qf tf | qi ti >.

W tym celu zauważmy, ze funkcja falowa ψ(q, t) jest niczym innym jak : ψ(q, t) = < q | ψt >S

gdzie : | ψt >S – jest wektorem stanu w reprezentacji Schrödingera, związanej z wektorem stanu w reprezentacji Heisenberga | ψ >H poprzez następującą zależność :

| ψt >S = e-iHt/ħ | ψ >H Zdefiniujmy wektor :

| qt >S = eiHt/ħ | q > (5.3)

który z przyczyn oczywistych możemy nazwać „poruszającym się układem odniesienia“ (* moving frame *) Wtedy możemy zapisać :

ψ(q, t) = < qt | ψ >H (5.4)

Z warunku zupełności układu stanów wynika zależność :

< qf tf | ψ > =

∫

< qf tf | qi ti > < qi ti | ψ > dqi Dalej, z uwzględnieniem równości (5.4) mamy : ψ(qf , tf ) =

∫

< qf tf | qi ti > < qi ti | ψ > dqi

Porównując tą zależność z (5.1) dochodzimy do równości :

< qf tf | qi ti > = K(qf tf ; qi ti ) (5.5)

co właśnie twierdziliśmy.

W propagatorze K „zawiera się” MQ danego układu. W standardowym sformułowaniu MQ, jeśli zadana jest funkcja falowa w chwili początkowej, to można znaleźć funkcję falową w chwili końcowej, rozwiązując zależne od czasu równanie Schrödingera . W podanym powyżej sformułowaniu propagator od razu daje nam rozwiązanie. Cała idea polega na tym, aby przedstawić amplitudy < qf tf | qi ti > w postaci całki funkcjonalnej.

Rozbijmy odcinek czasowy miedzy ti i tf na ( n + 1 ) równych części τ ( rys. 5.3 )

Rys. 5.3 Propagacja z punktu ( qi , ti ) do punktu ( qf , tf ) poprzez różne drogi.

Wtedy, to zależność (5.2) przyjmie postać :

< qf tf | qi ti > =

∫

...

∫

dq1 dq2 ... dqn < qf tf | qn tn > < qn tn | qn-1 tn-1 > ... < q1 t1 | qi ti > (5.6) gdzie całkę bierzemy po wszystkich możliwych „trajektoriach“.

Nie są to jednak trajektorie w standardowym tego terminu znaczeniu, ponieważ każdy segment ( qn tn | qn-1 tn-1 ) może być rozbity na jeszcze mniejsze segmenty, tj. nie istnieją tu pochodne. Droga w istocie przedstawia sobą łańcuchy Markowa.

Obliczmy propagator dla małego segmentu w całce funkcjonalnej. Z zależności (5.3) mamy :

= (1/2πħ )

∫

dp exp[ (i/ħ ) p( qj+1 – qj )] = (i/ħ ) < qj+1 | H | qj > (5.7) Hamiltonian H jest funkcją operatorów p, q. W przypadku szczególnym, kiedy H ma postać :

H = p2/2m + V(q ) (5.8)

( faktycznie hamiltonian może być równy dowolnej funkcji operatora p + dowolna funkcja operatora q ), element macierzowy można bardzo łatwo obliczyć. Mamy wtedy :

< qj+1 | p2/2m | qj > =

∫

dp’ dp < qj+1 | p2/2m | p’ > < p’ | p2/2m | p > < p | qj >

Podstawiając tutaj wyrażenie <qj+1 | p > = (2π ħ )-1/2 exp( ip’qj+1 / ħ ), otrzymamy :

< qj+1 | p2/2m | qj > =

∫

(dp’dp /2π ħ ) exp[ (i/ħ ) (p’qj+1 – pqj )] ( p2/2m ) δ ( p – p’ ) =

∫

( dp/ħ ) exp[ (i/ħ )p (qj+1 – qj )] ( p2/2m ) (5.9)

Zauważmy, że wielkość p2 w lewej części zależności (5.9) jest operatorem, podczas, gdy w prawej części jest ona liczbą.

Moglibyśmy wykorzystać oznaczenie p^, aby podkreślić operatorowy charakter wielkości p w prawej części. Jednakże tak lub inaczej ważne jest to, że w prawej części równości (5.9) operatory nie występują.

W analogiczny sposób otrzymujemy :

< qj+1 | V(q) | qj > = V( ½ ( qj+1+ qj ) ) < qj+1 | qj > = V( ½ ( qj+1+ qj ) ) δ( qj+1 – qj ) =

∫

( dp/ħ ) exp[ (i/ħ )p (qj+1 – qj )] V( q−

j ) (5.10)

gdzie : q−j = ½ ( qj+1 + qj )

Wielkość V(q) w lewej części (5.10) jest wyrażeniem operatorowym, ale całka w części prawej nie zawiera operatorów.

Łącząc wyrażenia (5.9) i (5.10) otrzymujemy :

< qj | H | qj > =

∫

( dp/ħ ) exp[ (i/ħ ) p(qj+1 – qj )] H( p, q ) w wyniku czego zależność (5.7) możemy przepisać do postaci :

< qj+1 tj+1 | qj tj > = (1/ħ )

∫

dpj exp[ (i/ħ )pj(qj+1 – qj ) – τH(pj ,q−j )] (5.11) gdzie pj – pęd, odpowiadający punktowi, zawartemu w odcinku czasowym między tj i tj+1 lub, co równoważne, między qj i qj+1 ( rys. 5.4 )

Rys. 5.4 Segmenty trajektorii w przestrzeni pędowej.

Zatem, mamy wyrażenie dla propagatora na segmencie jednej z możliwych dróg. Pełny propagator otrzymamy podstawiając wyrażenie (5.11) do (5.6), co daje przy granicy do przedziału ciągłego, następujące wyrażenie : n n n

< qf tf | qi ti > = lim

∫ Π

_dqj

Π

(dpi/ħ )exp{(i/ħ ) ΣΣΣΣ pł (qł+1 – qł ) – τH( pł, q−

ł )] } (5.12)

n→∞ j=1 i=0 ł=0 gdzie : q0 = qi , qn+1 = qf

Zależność tę można zapisać w symbolicznej postaci : tf

< qf tf | qi ti > =

∫

( ℜq ℜpdqj/ ħ ) exp{(i/ħ )

∫

dt [ pq^• – H( p, q ) ] } (5.13)

gdzie : q(ti ) = qi , q(tf ) = qf

W granicy ciągłej q przekształca się w ciągłą funkcję t, a całka – w „całkę funkcjonalną“ tj. całkę po wszystkich funkcjach. Jest to całka nieskończenie wymiarowa.

Wyrażenie (5.13) jest wyrażeniem funkcjonalno całkowym dla amplitudy przejścia z (qi ,ti ) do (qf , tf ).

Każda funkcja q(t) i p(t) określa trajektorię w przestrzeni fazowej.

Jak już wspominaliśmy wcześniej, w MQ rozwiązujemy równanie Schrödingera iħ ( d | ψ > / dt ) = H^ | ψ > ,gdzie H^ - jest operatorem

przy pewnych warunkach brzegowych.

W sformułowaniu funkcjonalnym mamy jawne wyrażenie dla amplitudy przejścia, które jest dogodne dla zagadnień rozpraszania.

Wielkości p, q wchodzące do całki – są to wielkości klasyczne, a nie operatory ( c-liczby, a nie q-liczby ).

Oczywiście, nie jest od razu oczywiste, że nieskończone całki takiego rodzaju są dobrze określonymi wielkościami matematycznymi, tj. że są one zbieżne, innymi słowy nie jest jasne, czy one w ogóle istnieją !

My jednak przyjmiemy, że one istnieją.

Czytelnika zainteresowanego matematycznymi subtelnościami całek funkcjonalnych odsyłamy do prac [12- 17].

Istnieje drugi sposób zapisu amplitudy, słuszny w przypadku, kiedy H ma postać (5.8) w tym bowiem przypadku możemy dokonać całkowania po p. Zależność (5.12) przyjmuje wtedy postać :

n n n

< qf tf | qi ti > = lim

∫ Π

_dqj

Π

(dpi/ħ )exp{(i/ħ ) ΣΣΣΣ pł (qł+1 – qł ) – ( pł2/2m )τ – V(q−

ł )τ ] } n→∞ j=1 i=0 ł=0

Całka po pł ma tę samą postać, co całka (5A.3) ( zobacz dodatek do niniejszego rozdziału ), otrzymujemy :

n n

gdzie L = T – V – jest klasycznym lagranżjanem.

W granicy n →∞ N staje się nieskończone, jest to jednak nieistotne, ponieważ zawsze mamy do czynienia z unormowanymi amplitudami przejścia.

Wyrażenie pod całkowe w (5.15) przedstawia sobą klasyczne działanie : S =

∫

L dt

Wyprowadziliśmy to wyrażenie z postulatów MQ i przy założeniu, że hamiltonian ma postać (5.8).

Pierwotna idea Feynmana polegała na tym, aby przyjąć wyrażenie (5.15) jako hipotezę, a następnie wyprowadzić z niego równanie Schrödingera. Niedostatkiem takiego podejścia jest to, że zależność (5.15) nie jest spełniona w przypadku ogólnym, ponieważ wzór (5.8) nie jest zawsze słuszny. Kontrprzykład podali Lee i Yang ( Lee T. D., Yang C. N. Phys.

Rev. 128, 885 (1962) ) Jeśli lagranżjan ma postać : L = ½ q^•2 f(q )

Co odpowiada układowi o potencjale zależnym od prędkości, to pęd jest równy : p = ∂L/∂q^• = q^• f(q)

a hamiltonian ma postać :

H = pq^• – L = ½q^•2 f(q ) = ½ p2 / f(q ) nie pokrywającą się z (5.8).

Podstawiając to wyrażenie do (5.13) i całkując po p, otrzymujemy :

< qf tf | qi ti > = N

∫

ℜq exp[ (i/ħ ) Seff ] gdzie :

Seff =

∫

dt [ L( q, q^• ) – ½ i δ(0) ln(f(q) ) ]

W odróżnieniu od (5.15) do wyrażenia tego wchodzi działanie efektywne, które różni się od S =

∫

L dt

W przypadku teorii polowych przejście od wyrażenia typu (5.13) do wyrażenia typu (5.15) nie zawsze może być wykonane, w szczególności nie może być wykonane w przypadku nieabelowych teorii z cechowaniem.

Tym niemniej, kiedy przejdziemy do rozpatrzenia tych właśnie teorii ( rozdział 7 ), dla uproszczenia przyjmiemy

„heurystyczne” podejście do wyprowadzenia zasad Feynmana i będziemy pracowali z wyrażeniem analogicznym do wyrażenia (5.15).

W dokumencie Kwantowa teoria pola Lewis H. Ryder (Stron 106-109)