6.10 Przekrój rozpraszania

u-(p) Fermion wychodzący ( linia zewnętrzna)

ig (γ5 )(2π)4 ] δ4( p + k – p’ ) Wierzchołek

[i /(2π)4 ] ( 1/ ( γp – M )] ( bierzemy całkę

∫

d4p ) Propagator fermionowy ( linia wewnętrzna )

[i /(2π)4 ] ( 1/ ( p2 – m2 )] ( bierzemy całkę

∫

d4p ) Propagator skalarny ( linia wewnętrzna )

§ 6.10 Przekrój rozpraszania.

Teraz pokażemy, jak obliczyć przekrój rozpraszania, znając amplitudę rozpraszania. Na początku określimy amplitudę M inwariantną lorentzowsko, poprzez zależność :

uwzględniając przy tym to, że dalsze obliczenia nie zawierają wkładu do macierzy S macierzy jednostkowej.

Taka amplituda zawiera tylko wkład spójnej części operatora S – 1, co będziemy przyjmowali jako zrozumiałe.

Dalej, dla uproszczenia będziemy rozpatrywali najprostszy przypadek rozpraszania typu : dwie cząstki → dwie cząstki

Cząstki początkowe są, ogólnie mówiąc, nie stanami o ustalonych pędach p1 , p2 , a pakietami falowymi o postaci : Stan początkowy

które mają wąskie maksima w pobliżu wartości p1 i p2 : k1 ≈ p1

k2 ≈ p2

Stan końcowy ma postać :

| f > = | p’1 , p’2 >

a zatem, mamy następujące wyrażenie dla amplitudy przejścia ( przy dk~ = d3k / (2π)32k0 ) :

Prawdopodobieństwo przejścia jest równe :

Dzięki pierwszej funkcji delta drugą można zapisać w postaci δ( k1 + k2 – q1 – q2 ).

Dalej, ponieważ funkcje f, g mają maksima w pobliżu wartości p1 i p1, możemy aproksymować M w poprzez wielkość M( p’1, p‘2 , p1, p2 )

Na koniec, aby otrzymać W w ostatecznej postaci, wprowadzimy obrazy Fouriera funkcji f, g : f ~(x) =

∫

dq~ eiqx f(q )

gdzie :

dq ~ = d3q/ (2π)3 2q0 Zatem :

| f ~(x) |2 =

∫

_dk1~ dq1~ exp[ i( k1 – q1)x ] f(k1)f*(q1) I analogicznie :

| g ~(x) |2 =

∫

_dk2~ dq2~ exp[ i( k2 – q2 )x ] g(k2 )g*(q2 )

Wielkości f ~(x), g ~(x) są funkcjami falowymi cząstek wychodzących.

Uwzględniając również równość :

(2π)4 δ( k1 + k2 – q1 – q2 ) =

∫

_{exp[ i( k1} + k2 – q1 – q2 )x ] d4x otrzymujemy w wyniku tych obliczeń :

W =

∫

d4x | f ~(x) |2 | g ~(x) |2 (2π)4 δ( k1 + k2 – q1 – q2 ) | M ( p’1, p’2 , p1, p2 ) |2 (6.176) Pierwszy czynnik uwzględnia nakrywanie się funkcji falowych, które to jest nieodzownym warunkiem rozpraszania.

Jest on równy jeden, w przypadku, kiedy stan początkowy jest stanem własnym operatora pędu. Drugi czynnik jest znanym wyrażeniem złotej zasady Fermiego.

Teraz możemy zapisać wyrażenie dla prawdopodobieństwa przejścia w jednostce objętości i jednostce czasu w postaci : dW/dV dt = | f ~(x) |2 | g ~(x) |2 (2π)4 δ( k1 + k2 – q1 – q2 ) | M ( p’1, p’2 , p1, p2 ) |2

Wykorzystując nasze unormowanie kowariantne, przy którym w jednostce objętości znajduje się 2p0 cząstek ( zobacz paragraf 4.1 ), otrzymujemy, że w danym przypadku liczba cząstek ”1” na jednostkę objętości jest równa | f ~(x) |2 2p12 , a odpowiednia liczba cząstek ”2” jest równa | g ~(x) |2 2p22.

Załóżmy teraz, że cząstki 2 pierwotnie znajdują się w stanie spoczynku p02 = m2

Padający strumień cząstek jest równy iloczynowi prędkości względnej v = | p1 | / p10 przez gęstość cząstek 2p10| f ~(x) |2 , tj. jest on równy 2| p1 | | f ~(x) |2

Analogiczna gęstość cząstek „tarczy” jest równa 2m2 | g ~(x) |2

Przekrój rozpraszania dσ definiujemy teraz jako liczbę przejść w jednostce czasu w jednostce objętości , tj. przez dW/ dV dt

(* Now the scattering cross section do is defined in terms of d W /d V dt, the number of transitions per unit time and unit volume *)

dW/ dV dt = ( strumień padający ) × ( gęstość tarczy ) × dσ (* incident flux *) x (* target density *) x dσ

co daje :

dσ = (2π)4 δ4( p’1 + p’2 – p1 – p2 ) ( 1/ 4m2 | p1 | ) | M |2

Istnieje inwariantne lorentzowsko uogólnienie wielkości m2 | p1 |, postaci : B = [ ( p1 ^• p2 )2 – m12 m22 ]2 = m2 | p1 | w układzie laboratoryjnym

W tej postaci, w jakiej zostało to zapisane powyżej, przekrój rozpraszania odnosi się do niekreślonej liczby stanów, spełniających naturalny warunek p’1 + p’2 = p1 + p2

Jednakże w układzie laboratoryjnym mierzymy różniczkowy przekrój czynny w danym kącie bryłowym dΩ , tj.

rozpraszanie ze skończonym pędem, leżącym w przedziale dp1. Dlatego teraz zapiszemy przekrój dla przypadku, kiedy skończone pędy należą do elementu objętości d3p1d3p’2 przestrzeni pędów w postaci :

dσ = [ (2π)4/ 4B] [ d3p1/ (2π)32(p’1 )0 ] [ d3p’2/ (2π)32(p’2 )0 ] δ( pf – pi ) | M |2 (6.177) W przypadku, kiedy cząstki początkowe posiadają spiny s1 i s2, dokonujemy sumowania po stanach spinowych, tak że dla pierwotnego, niespolaryzowanego stanu dokonujemy zamiany :

| M |2 → [ 1 / ( 2s1 + 1 ) (2s2 + 1)]

ΣΣΣΣ

_{| Mfi |}²

si, sf

Wprowadzone wzory są słuszne dla bozonów. Jeśli będziemy rozpatrywali ( masywne ) fermiony, to normalizacja spinorów Diraca odpowiada p0/m cząstek w jednostce objętości. W wyniku tego, jeśli tarcza jest fermionem, a jej gęstość jest równa | g ~(x) |2. W przypadku, kiedy w stanie końcowym otrzymujemy fermion, lorentzowsko inwariantny element objętości przestrzeni fazowej d3p / (2π)32p0 zamienia się na wielkość (m/p0 )[ d3p / (2π)3 ].

Reasumując to co powiedziano, otrzymujemy przekrój rozpraszania pion-nukleon w postaci : dσ = [ 1/(2π)2] ( d3p’1/ 2E’1 ) [ d3p’2/ (E’2/ M )] δ4(pf – pi ) ½

ΣΣΣΣ

_{| Mfi |}^{2 =}

Wtedy całka po przestrzeni fazowej ma postać :

Wykorzystując wzór :

δ( f(x) ) = [ f’( x0 )]-1 δ( x – x0 ) , gdzie f(x0 ) = 0 widzimy, że :

I = (pf /Ei )

∫

dΩf

Zatem, przekrój różniczkowy ma postać : dσ/dΩ = (1/32π2 ) ( M2pf /BEi )

ΣΣΣΣ

_{| Mfi |}²

spin

W układzie środka masy B = pf ( E’1 + E’2 ) =pf W, gdzie W = Ei – pełna energia układu Zatem w tym przypadku otrzymujemy :

dσ/dΩ = (1/32π2 ) ( M/ W)2

ΣΣΣΣ

_{| Mfi |}² (6.178)

spin

Inwariantną amplitudę Mfi otrzymujemy porównując wyrażenia (6.174) i (6.175) :

Mfi = 2g2 u-s’(p’ )γ • k’us(p ) (1/ 2p • k’ – m2 ) (6.179)

Teraz powinniśmy obliczyć wielkość o postaci :

ΣΣΣΣ

_{| u’- Au |}²

spin

gdzie : u’ = u-s’(p’ ), A – jest operatorem, zbudowanym z macierzy Diraca.

Otrzymujemy dalej :

( u’-Au )* = u’Tγ*0 A*u* = u†A†γ0† u’ = u-A-u’

gdzie : A- = γ0A†γ0 Zatem :

Aby dokonać sumowania po spinach, powrócimy do zależności (2.145) :

ΣΣΣΣ

_{uαi (p) u}^-αj (p) = ( γ ^• p + M / 2M )ij α

Co daje

ΣΣΣΣ

_{| u’- Au |}^{2 = Tr( γ •} p’ + M / 2M ) A( γ • p’ + M / 2M )A- gdzie bierzemy ślad macierzy Diraca.

Wiadomo nam również [ wzory (2.147) i (2.151) ], że : Tr( γ • a ) ( γ • b ) = 4a • b

Tr( γ • a ) ( γ • b ) ( γ • c ) ( γ • d ) = − Tr( γ • b ) ( γ • a )( γ • c ) ( γ • d ) + 2a • b Tr( γ • c ) ( γ • d ) oraz, że ślad nieparzystej liczby macierzy γ jest równy zero [ wzór (2.150)].

To wszystko pozwala nam otrzymać następującą zależność :

W układzie środka masy spełnione są ponadto następujące zależności :

Przy niskich energiach

m, M >> q ; p • k’ ≈ Mm ; p’ • k’ ≈ Mm ; p • p’ ≈ M2 co daje :

ΣΣΣΣ

_{| Mfi |}² ≈ 8g4 / ( 2M – m )2 spin

Zatem , ponieważ W ≈ M + m, zależność (6.178) przyjmie postać :

dσ/dΩ = (g4 / 4π2 ) ( M/ M + m )2 [ 1/(2M – m)2 ] ≈ (g4 /16π2 ) (1/M2 ) (6.181) przy warunku, że masa m jest zaniedbywalnie mała w porównaniu z M.

Jeśli znamy wartość g, to możemy wychodząc z pierwszego rzędu teorii zaburzeń, przewidzieć wartość przekroju rozpraszania pion-nukleon. Wartość stałej oddziaływania g można określić dwoma różnymi metodami, które dają różne wyniki. Po pierwsze, może być ona określona z energii wiązania deuteru. Potencjał Yukawy, działający między nukleonami, znajdującymi się na odległości r, od siebie, jest równy :

V = (1/r) ge-ηr

Gdzie : η = λC-1 , przy czym λC – jest comptonowską długością fali pionu, równą 1,4 ^• 10-15 [m].

Na odległości r = 2,8 • 10-15 [m] człon wykładniczy możemy zaniedbać i w zależność od potencjału r pokrywa się z prawem Coulomba. Z teorii budowy deuteru wiemy, że głębokość jamy potencjału między dwoma nukleonami na odległości 2,8 • 10-15 [m] jest równa 20[ MeV]. Jednocześnie oddziaływanie elektrostatyczne na takiej odległości ma rząd 0,5 [MeV]. Zatem :

(g/e )2 ≈20/ 0,5 = 40

gdzie : e – ładunek elektryczny protonu Zatem :

g2 /ħc ≈ 401(e2/ħc) ≈ 0,3 (6.182)

Podstawiając tą wartość do (6.181), otrzymujemy następującą wartość dla przekroju :

σ = 4π( dσ/dΩ ) 4π(g2/4π)(1/M2) = (1/4π) (g2/ħc )(ħ/Mc)2 ≈ 120[µb] (6.183) gdzie : b = 10-23 [m2] (* barn - jednostka w jakiej mierzy się przekroje rozpraszania *)

Jest ona o rząd mniejsza od przekroju niskoenergetycznego rozpraszania pion-nukleon ( równego kilku milibarnów ) Po drugie, wartość g można określić, znając fazy π-N-rozpraszania. W ramach teorii z pochodną sprzężenia ( m – masa pionu ) (* copuling derivative *) :

£f = (f/m) ψ−γ5γµτψ • ∂µφ (6.184)

wykorzystując statyczną teorię z odcięciem (* static theory with cut-off *), można przewidzieć rezonansowe zachowanie dla amplitudy π-N-rozpraszania. Zachowanie to zostało zaobserwowane ( zobacz np. rys. 1.2 ).

Porównanie teorii ze zmierzonymi fazami rozpraszania daje następującą wartość dla f :

( zobacz np. Sakurai J. J. Invariance principles and elementary particles ; Princeton University Press 1964 )

(f2 /4π) = 0,08 (6.185)

Jednocześnie można pokazać ( zobacz np. Schweber S. S. , Bethe H. A. , de Hoffman F. Mesons and fields vol 1 1956 ) Że w przybliżeniu pierwszego rzędu pseudowektorowe sprzężenie (6.162) i sprzężenie pseudoskalarne (6.162) są równoważne, jeśli g = (2M/m)f ( M = masa nukleonu ).

W rezultacie tego, ani jedna wartość g nie daje zgodności z eksperymentem. Wartość (6.186), która wydaje się fizykom bardziej wiarygodna, jest zbyt duża, tak że szereg teorii zaburzeń względem g2 jest rozbieżny. Prawidłowo byłoby przyjąć, że taka konkluzja sprawia iż rozważania teoria jest bezsensowna. Jednakże ze współczesnego punktu widzenia g nie jest parametrem fundamentalnym. Podstawowym oddziaływaniem silnym jest oddziaływanie cechowanie między kwarkami i gluonami. Takie oddziaływania rozpatrzymy w następnym rozdziale, a w rozdziale 9, zobaczymy, że w rzeczywistości rozpatrywana stała oddziaływania zmienia się w zależności od energii, przy której jest ona mierzona.

Zatem, rozpatrzony przez nas przykład jest przykładem czysto akademickim, chociaż posłużył on nam dla użytecznego celu – był ilustracją zastosowania zasad Feynmana.

Podsumowanie.

1) Budujemy funkcjonał tworzący Z[J] dla pól skalarnych, który następnie przekształcamy do postaci, zawierającej propagator Feynmana ∆F, który zapisujemy również w przestrzeni euklidesowej.

2) Wprowadzamy całkowanie funkcjonalne i pokazujemy, jak wyniki osiągnięte w punkcie 6.1 mogą być otrzymane z jego pomocą.

3) Pokazujemy, że Z0[J] jest funkcjonałem tworzącym dla funkcji Greena cząstek swobodnych, oraz wyprowadzamy zależność występującą między funkcjami n-punktowymi i średnimi próżniowymi iloczynu chronologicznego n pól.

Dowodzimy twierdzenia Wicka.

4) Wprowadzamy oddziaływania wzajemne i ustanawiamy zależność między funkcjonałem tworzącym Z[J] dla pól oddziałujących i funkcjonałem tworzącym Z0[J] dla pól swobodnych.

5) Powyższe wyniki stosujemy do przypadku teorii φ4, gdzie obliczamy funkcje 2- i 4-punktowe w pierwszym rzędzie teorii zaburzeń. Wprowadzamy diagramy Feynmana i ustanawiamy różnicę występującą między diagramami spójnymi i niespójnymi.

6) Znajdujemy funkcjonał tworzący dla diagramów spójnych.

7) Wprowadzamy liczby Grassmanna i pokazujemy, jak funkcjonał tworzący dla pola spinorowego może być zapisany z wykorzystaniem elementów algebry Grassmanna.

8) Wprowadzamy macierz S i wzór redukcyjny, w którym macierz S wyraża się przez pochodne funkcjonalne od Z.

9) Z pomocą powyższego wzoru znajdujemy amplitudę rozpraszania pion-nukleon w drugim rzędzie teorii zaburzeń, podajemy zestawienie zasad Feynmana dla przypadku pól skalarnego i spinorowego.

10) Obliczamy przekrój π+ -p-rozpraszania

Literatura dla dalszego studiowania (*skrócone, jeśli jest, to podano polski przekład *).

Pierwsze prace z zastosowaniem metod funkcjonalnych w kwantowej teorii pola.

Omawiane zagadnienia wyłożono w książkach :

Teorię algebr Grassmanna wyłożono w artykule :

7) Fearnley-Sander D. Amer. Math, Monthly , 86, 809 (1979)

O zastosowaniu algebr Grassmanna do pól fermionowych przeczytać można w książkach :

(* książka 9 dostępna jest w tłumaczeniu własnym *) Wzór redukcyjny i macierz S rozpatrywane są w pracach :

(* książka 13 dostępna jest w języku polskim *)

*************************************************************************************************

Rozdział 7 Kwantowanie z pomocą całek funkcjonalnych : pola z cechowaniem.

W dokumencie Kwantowa teoria pola Lewis H. Ryder (Stron 156-160)