Przejdziemy teraz do przypadku, kiedy symetria jest symetrią cechowania. Rozpatrzymy najprostszy model, oparty na lagranżjanie (8.1), ale teraz będziemy wymagali inwariantności względem przekształceń :
φ → eiΛ(x)φ (8.35)
To prowadzi do konieczności [ wzór (3.84)] wprowadzenia pola EM z pomocą pochodnej kowariantnej, przy czym lagranżjan (8.1) zamieniamy na wyrażenie :
£ = (∂µ + ieAµ )φ (∂µ – ieAµ ) φ* – m2 φ*φ – λ (φ*φ)2 – ¼ FµνFµν (8.36) Tak jak i poprzednio m2 przyjmujemy jako parametr ( dodatni lub ujemny ), tak, że przy m2 < 0 i w przypadku
niewystępowania pola cechowania wartość pola φ, odpowiadająca próżni, spełnia warunek (8.4) :
| φ | = a = ( -m2/2λ )½
Dalej podstawimy ponownie [ wzór (8.10)] : φ(x) = a + (1/√2)[ φ1(x) + iφ2(x)]
Lagranżjan wyraża się przez pola fizyczne φ1 i φ2 w następujący sposób :
£ = − ¼ FµνFµν + e2 a2 AµAµ + ½ (∂µφ1 )2 + ½ ( ∂µφ2 )2 – 2λa2φ12 + √2 eaAµ ∂µφ2 + człony kubiczne +
+ człony 4-tego stopnia (8.37)
gdzie uwzględniliśmy zależność (8.4).
Ważny jest dla nas drugi człon, proporcjonalny do Aµ2. Wskazuje on na to, że foton stał się masywny.
Pole skalarne φ1 jest masywne, a pole φ2 wygląda na bezmasowe, jednakże istnieje człon mieszany Aµ ∂µφ2, który wskazuje na to, że propagowany foton może przekształca się w pole φ2.
Dlatego pole φ2 nie przedstawia się jako pole w pełni fizyczne. W rzeczywistości można go wykluczyć z pomocą przekształcenia cechowania. W przypadku kiedy wielkość Λ w zależności (8.35) jest infinitezymalną, z (8.10) wynika, że
φ'1 = φ1 – Λφ2 (8.38)
φ'2 = φ2 + Λφ1 + √2Λa
Zależności te pokazują, że pole φ2 podobne do pola Aµ doznaje niejednorodnego przekształcenia, odpowiadającego obrotowi i translacji na płaszczyźnie ( φ1, φ2 ) i dlatego nie posiada prostej fizycznej interpretacji.
Zatem, możemy wybrać Λ tak, aby spełniona była równość φ2 = 0 i człon mieszany zniknął.
Przy tym cechowaniu lagranżjan (8.37) przyjmuje postać ( zapiszemy φ1 w miejsce φ’1 ) :
£ = − ¼ FµνFµν + e2 a2 AµAµ + ½ (∂µφ1 )2 + 2λa2φ12 + człony odpowiadające oddziaływaniu.
(8.39)
Do tego lagranżjanu wchodzą dwa pola masywne – foton o spinie 1 i pole φ1 o spinie 0. Pole φ2, które w przypadku spontanicznego naruszenia, globalnej symetrii staje się bezmasowe ( bozon Goldstone’a ), w danym przypadku znika.
Oprócz tego, pole cechowania, którego obecność związana jest z tym, że mamy do czynienia z symetrią lokalną , teraz nabrało masy.
„Foton” stał się masywny. Jest to tzw. zjawisko Higgsa. W rozpatrywanym przypadku modelu abelowego można go scharakteryzować następująco :
spontaniczne naruszenie symetrii cechowania prowadzi nie do pojawienia się bezmasowego bozonu Goldstone’a, a do pełnego zaniknięcia tego pola i pojawienia się w jego miejsce masywnego, a nie bezmasowego pola cechowania.
Zatem, w zależności od tego czy dana symetria jest globalna, czy lokalna, spontaniczne naruszenie (SN) symetrii U(1) prowadzi do następującego spektrum cząstek :
Mod goldstonowski ( SN globalnej U(1) –symetrii ] :
2 masywne pola skalarne → 1 masywne pole skalarne + 1 bezmasowe pole skalarne (8.40) Mod higgsowski ( SN U(1) –symetrii cechowania ] :
2 masywne pola skalarne + 1 foton → 1 masywne pole skalarne + 1 masywny foton (8.41) Zauważmy, że liczba stopni swobody jest zachowana przy tych przekształceniach. W przypadku goldstonowskim jest to trywialne, ponieważ bezmasowe i masywne pola skalarne mają po 1 stopniu swobody : 2 = 1 + 1
W przypadku higgsowskim bezmasowy foton posiada dwa stopnie swobody, a masywny – trzy, ponieważ ma on fizyczny stan o poprzecznej polaryzacji : 2 + 2 = 1 + 3. Obrazowo mówiąc, foton „zjadł” pole skalarne i nabrał masy.
Dobrze byłoby porównać taki obraz z mechanizmem Gupty-Bleulera ( paragraf 4.4 ).
W tym bowiem mechaniźmie podłużna i czasowa składowa fotonu znoszą się wzajemnie, pozostawiając dwie składowe poprzeczne. Teraz składowa czasowa fotonu znosi się z polem skalarnym i pozostają trzy stany polaryzacyjne, co przekształca foton w cząstkę masywną.
Zauważmy, że chociaż wszystkie te wywody dotyczące spektrum cząstek zostały przeprowadzone na podstawie lagranżjanu (8.39), to przy innych zależnościach, akurat ta jego konkretna forma nie jest wyróżniona.
W rzeczywistości, kiedy przejdziemy do rozpatrzenia renormalizacji, będziemy dokładnie rozpatrywać lagranżjan w ( oczywiście fizycznie równoważnej ) postaci (8.37).
Cechowanie odpowiadające lagranżjanowi (8.39), nazywa się fizycznym lub unitarnym ( U-cechowaniem ), ponieważ przy takim cechowaniu występują tylko cząstki fizyczne ( tj. te które figurują w warunku unitarności ).
Powrócimy teraz do zjawiska Higgsa w przypadku nieabelowym [14] i rozpatrzymy dla jednoznaczności model z grupą symetrii O(3), wprowadzony w poprzednim paragrafie. Lagranżjan (8.12) powinien być zmodyfikowany na drodze zamiany zwykłej pochodnej na pochodną kowariantną i dodanie członu opisującego pole cechowania. To daje nam :
£ = ½ (Dµφi )( Dµ φi ) – ½ m2 φiφi – λ( φiφi )2 – ¼ Fiµν Fiµν (8.42)
I tak jak poprzednio w charakterze próżni wybierzemy izowektor φ0, skierowany wzdłuż trzeciej osi [ wzór (8.16) ] : φ0 = a e3
Zatem, polami fizycznymi są φ1, φ2 i χ = φ3 – a
Na drodze prostych przekształceń otrzymujemy następujące wyrażenie :
£ = ½ [ (∂µφ1 )2 + (∂µφ2 )2 + ( ∂µχ )2 ] + ag [ (∂µφ1 ) Aµ
2 + (∂µφ2 )Aµ1 ] + ½ (ag )2 [ (A1µ )2 + ( A2µ )2 ] – – ¼ ( ∂µ Ai
ν – ∂ν Ai
µ )2 – 4 a2 λχ2 + człony kubiczne + człony 4-tego stopnia (8.44) Wypisaliśmy w jawnej postaci tylko te człony, które są kwadratowe względem pól, ponieważ dla naszych celów są ważne tylko one.
Dany lagranżjan jest analogiczny do lagranżjanu (8.37), zawiera on człon mieszany po Aµ i φ i dlatego trudno go zinterpretować.
Aby otrzymać bardziej „fizyczny” lagranżjan, wykorzystamy teraz ten fakt, że mamy do czynienia z symetrią lokalną, a zatem możemy dokonać niezależnego przekształcenia cechowania w każdym punkcie czasoprzestrzeni.
Wybierzemy cechowanie unitarne, przy którym w każdym punkcie czasoprzestrzeni izowektor φ skierowany jest wzdłuż trzeciej osi w przestrzeni izotopowej.
φ(x) = e3φ3 = e3( a + χ ) (8.45)
Tym samym pozbywamy się pól φ1 i φ2 otrzymując : Dµφ1 = g( a + χ )A2µ
+ człony 4-tego stopnia (8.46) Zatem, pozostają następujące cząstki :
1 masywna cząstka skalarna, 2 masywne cząstki wektorowe, 1 bezmasowa cząstka wektorowa.
W szczególności, oba bozony Goldstone’a występujące w spontanicznie naruszonym modelu o globalnej symetrii, znikły w modelu o symetrii lokalnej, a dwa bezmasowe pola cechowania nabrały masy. Zatem, analogicznie do (8.40) i (8.41) możemy następująco podsumować wyniki spontanicznego naruszenia O(3)-symetrii :
Mod goldstonowski ( globalna O(3)-symetria ) :
3 masywne pola skalarne → 1 masywne pole skalarne + 2 bezmasowe pola skalarne (8.47) Mod higgsowski ( lokalna O(3)-symetria ) :
3 masywne pola skalarne + 3 bez masowe pola wektorowe → 1 masywne pole skalarne + 2 masywne pola wektorowe + 1 bezmasowe pole wektorowe (8.48) Możemy przekonać się również o tym, że liczba niezależnych modów jest zachowana w przypadku higgsowskim
3 + 3 x 2 = 9 = 1 + 2 x 3 + 2
Dany model o O(3)-symetrii posiada wszystkie własności dowolnej nieabelowej grupy cechowania. Powinno być jasne, że jedno bezmasowe pole pozostaje, ponieważ podgrupa H [ = U(1)], względem której próżnia jest inwariantna, posiada jeden generator. Właśnie ta okoliczność w przypadku goldstonowskim pozwoliła jednemu polu skalarnemu pozostawać masywnym. Zatem, liczba bezmasowych pól wektorowych jest równa dim H.
Jednocześnie dwa pola wektorowe stały się masywnymi, pochłaniając dwa mody goldstonowskie. Zatem, liczba masywnych pól wektorowych jest równa dim G/H. W wyniku tego, całkowita liczba cząstek cechowania ( masywnych i bez masywnych ) jest równa dim G, ponieważ pole cechowania przekształca się według regularnej reprezentacji grupy.
Okoliczność, że w modelu rozpatrzonym powyżej, pozostaje również pole skalarne, związana jest z tym, że wybraliśmy przypadek, kiedy pola skalarne należą do izotrypletu. Widać, że następstwa mechanizmu Higgsa w znacznej mierze określone są przez teorie grup.
§ 8.4 Nadprzewodnictwo.
Nadprzewodnictwo stanowi dobrą ilustracje abelowego modelu Higgsa. Jak dobrze wiadomo, zjawisko
nadprzewodnictwa polega na brak oporu elektrycznego przy bardzo niskich temperaturach. Obserwuje się je w wielu metalach. W takich metalach mogą istnieć stabilne nie zanikające prądy. Prądy te efektywnie ekranują strumień
magnetyczny i jest on równy zero w nadprzewodniku ( efekt Meissnera ). Inaczej mówiąc efekt Meissnera związany jest z tym, że fotony posiadają masę efektywną , tak jak w zjawisku Higgsa, o którym mówiliśmy wcześniej.
Pokażemy teraz krótko, jak takie wnioski można sformułować na podstawie lagranżjanu (8.36).
Na początku rozpatrzymy przypadek statyczny, kiedy ∂0φ = 0 itd. i lagranżjan (8.36) przyjmuje postać :
£ = − ½ (∇∇∇∇ – ieA )φ (∇∇∇ + ieA )φ* – m2 | φ |2 – λ | φ |4 – ¼ (∇∇ ∇∇∇ × A )2 lub
− £ = − ½ (∇∇∇∇ × A )2 + ½ | (∇∇∇∇ – ieA )φ |2 + m2 | φ |2 + λ | φ |4 (8.49) Wielkość − £ jest swobodną energią Landaua-Ginzburga, przy czym m2 = a( T – Tc ) w pobliżu temperatury krytycznej T = Tc ; φ – makroskopowa wielocząstkowa funkcja falowa, której wykorzystanie omawiane jest w ramach teorii Bardeen’a-Cooper’a-Schrieffer’a (BCS ). Zgodnie z tą teorią, przy określonych warunkach między elektronami działają siły przyciągania i w roli kwantów pola występują pary elektronowe, które oczywiście są bozonami. Przy niskich temperaturach są one w jednym i tym samym stanie kwantowym ( kondensat Bosego-Einsteina ) i na skutek tego dla opisu układu makroskopowego można wykorzystywać wielocząstkową funkcje falową φ. I dalej, przy T > Tc słuszna jest nierówność m2 > 0 i minimum energii swobodnej osiągane jest przy | φ | = 0. Jednakże jeśli T < Tc, to m2 < 0 i minimum energii swobodnej osiągane jest przy :
| φ |2 = - ( m2 /2λ) > 0 (8.50)
co bez warunkowo, stanowi przykład spontanicznego naruszenia symetrii. Lagranżjan £ jest inwariantny względem standardowego przekształcenia fazowego :
φ →eiΛ(x) φ , A → A + (1/e)∇∇∇∇Λ(x) a odpowiedni prąd zachowany ma postać :
j = - ½ i( φ*∇∇∇∇φ – φ∇∇∇∇φ* ) – e | φ |2 A (8.51)
Jeśli T < Tc i φ wolno zmienia się w ciągu rozważanych zjawisk, to drugi człon dominuje nad pierwszym i otrzymujemy
j = (em/2λ )A = - k2A (8.52)
gdzie : k – stała dodatnia.
Jest to równanie Landaua. Pole elektryczne jest równe : E = - ∂A/∂t = 0
I zgodnie z prawem Ohma opór określony wzorem E = Rj jest równy zero : R = 0
mamy więc nadprzewodnictwo.
Efekt Meissnera ( wypychanie pola magnetycznego ) również możemy teraz łatwo otrzymać. Równanie Ampera ma postać : ∇∇∇ × B = j Biorąc rotacje tego wyrażenia, z uwzględnieniem równości ∇∇ ∇∇∇ B = 0 i równości (8.52) otrzymujemy :
∇
∇∇
∇ 2 B = k2 B (8.53)
Dla uproszczenia ograniczymy się do jednego przestrzennego wymiaru. W takim przypadku równanie (8.53) ma następujące rozwiązanie :
Bx = B0e-kx
Tak, że pole magnetyczne przenika do wnętrza próbki tylko na głębokość charakterystyczną 1/k. Jeśli uwzględnić liczbową wartość wchodzących do powyższej zależności wielkości, to otrzymujemy 1/k ≈ 10-6 [cm]
Na koniec z (8.53) wynika równanie ∇∇∇∇ 2 A = k2 A lub w lorentz-inwariantnej postaci, równanie : Aµ = - k2Aµ
które oznacza, że „fotony” mają masę k, co jest charakterystyczne dla zjawiska Higgsa.
Następnie po takim przykładzie zastosowania zjawiska Higgsa w obszarze niskich energii rozpatrzymy jego zastosowanie do oddziaływań słabych.
§ 8.5 Model Weinberga-Salama..
Spontaniczne naruszenie symetrii cechowania stanowi istotny składnik modelu połączonych oddziaływań słabego i EM, który został przedstawiony niezależnie przez Abdusa Salama i Stevena Weinberga. Podstawowa idea tego modelu polega na tym, że oddziaływania słabe powinny być przenoszone przez bozony cechowania ( W± ), które to „na początku” są bezmasowe. Lagranżjan tej teorii zawiera również człony odpowiadające bezmasowym elektronom, mionom i neutrinom i jest on inwariantny względem grupy symetrii wewnętrznych, która jest symetrią cechowania. Następnie wprowadza się pole skalarne ( pole Higgsa ), posiadające różną od zera próżniową wartość średnią. Pojawiające się na skutek tego spontaniczne naruszenie symetrii prowadzi do pojawienia się masy dla cząstek e, µ ( τ - jeśli to konieczne ), jak również dla bozonów cechowania, ale nie dla fotonu i neutrina. Zatem, dany model jest „realistyczny”; został on z dużym powodzeniem zastosowany do opisu oddziaływań słabych, można go również rozciągnąć na hadrony, jednakże my nie będziemy rozważali takiego jego wariantu.
Rozpoczniemy od pól spinorowych. Lagranżjan Diraca ma postać :
£ = iψ− γµ ∂µψ – mψ−ψ
Elektron i mion posiadają składowe R i L, ale zgodnie z teorią dwu składnikową neutrina νe i νµ posiadają tylko L-składowe, a zatem leptonowy lagranżjan ma postać :
£ = ie−
R γ • ∂eR + ie−
L γ • ∂eL + iν−
e γ • ∂νe + ( e → µ ) (8.54)
Oczywiście, że na żądanie można tutaj dodać człony odpowiadające leptonowi τ i jego neutrinie.
W takim przypadku będziemy mieli trzy pokolenia leptonów. Od tego momentu zapominamy o pokoleniach µ- i τ-, które można w sposób trywialny dodać na dowolnym etapie.
Jaką wewnętrzną symetrię posiada lagranżjan (8.54) ?
Przekształcenia powinny dotyczyć cząstek o jednakowych własnościach czasoprzestrzennych, a zatem jedyna możliwość polega na tym, aby przemieszać eL i νe Zapiszmy następujący „izospinor” :
L = ( νe ) (8.55)
( eL )
i przypiszemy temu dubletowi ładunek nieabelowy : IW = ½ (gdzie IW – to „słaby izospin“ )
Neutrinu νe odpowiada trzecia składowa IW3 = ½ , a leptonowi eL odpowiada IW3 = − ½.
Wszystko to jest całkowicie analogiczne ( silnemu ) izospinowi. Pozostała cząstka : R = eR
jest izosingletem IW = 0. Mamy zatem :
£ = iR−γ • ∂R + iL−γ • ∂L (8.57)
Zatem, lagranżjan jest inwariantny względem przekształceń :
L → exp[ - (i/2)τ • α ] L , R → R (8.58)
które, to przedstawiają sobą obroty w przestrzeni słabego izospinu. Tworzą one grupę SU(2). W bardziej dokładnym zapisie przekształcenia mają postać :
Ładunek elektryczny Q i trzecia składowa słabego izospinu IW3 związane są zależnością :
L : Q = IW3 – ½ ; R : Q = IW3 – 1 (8.60)
Jeśli dokonamy cechowania tej symetrii ( tj. przejdziemy do funkcji α, zależnych od argumentu
przestrzenno-czasowego ), to pojawią się trzy bezmasowe pola cechowania. Jednakże foton nie będzie się do nich zaliczył, ponieważ prawy elektron eR jest singletem i nie będzie oddziaływał z naszymi polami cechowania, jednakże oddziałuje on z fotonem.
Zauważmy, że SU(2) nie jest maksymalną grupą symetrii lagranżjanu. Możemy również poddać eR prostemu U(1)-przekształceniu :
U(1) : eR → eiβ eR (8.61)
Jak takie przekształcenie wpływa na L ?
Może ono być tylko ogólnym przekształceniem fazowym, innymi słowy νe i eL powinny otrzymać jednakowy czynnik fazowy, ponieważ w innym przypadku będzie to przypadek szczególny SU(2)-przekształcenia. Jednakże taka faza nie obowiązkowo musi pokrywać się z fazą dla R. Zatem możemy zapisać :
gdzie : n – jest liczbą, którą powinniśmy określić.
Dana U(1)-symetria prowadzi do istnienia ładunku zachowanego, przy czym eR posiada jedną wartość takiego ładunku, a νe i eL – pozostałymi. Oczywiście, że nie jest to Q, ponieważ νe i eL posiadają różne wartości Q. ( innymi słowy, pole cechowania, które otrzymaliśmy, cechując U(1)-symetrię, nie jest również polem fotonowym )
Weinberg pokazał, że jest to „słaby hiperładunek” YW , definiowany poprzez zależność typu „wzoru Gell-Manna – Nishijimy“ :
Q = IW3 + ½ YW (8.63)
Porównując tą zależność z (8.60), widzimy, że :
L posiada wartość YW = - 1 (8.64)
R posiada wartość YW = - 2 (8.64)
Zatem, we wzorze (8.62) mamy n = ½ i stała sprzężenia z hiperładunkowym polem cechowania dla lewych pól jest dwukrotnie mniejsza od odpowiedniej stałej dla prawych pól.
Przekształcenie U(1) przyjmuje teraz postać :
Zatem, lagranżjan (8.54) jest inwariantny względem grupy SU(2) ⊗ U(1) ( Zauważmy, że grupę U(1) można byłoby przyporządkować liczbie leptonowej, dawałoby to wartość n = 1. W wyniku tego otrzymalibyψmy inną teorię ) Teraz przecechujemy całą teorię. Cechowanie SU(2)-symetrii oznacza, ze wprowadzamy trzy potencjały cechowania Wiµ w taki sposób, że działająca na izospinor L zwykła pochodna zamienia się na pochodną kowariantną :
DµL = ∂µL – (i/2) gττττ• WµL (8.66)
Gdzie : g – jest stałą sprzężenia, odpowiadającą grupie SU(2).
Cechowanie U(1)-symetrii wprowadza drugi potencjał Xµ i drugą stałą sprzężenia g’. Na mocy wzoru (8.65), ponieważ hiperładunek L-cząstki stanowi połowę hiperładunku R-cząstki, pochodne kowariantne mają postać :
DµL = ∂µL + (i/2) g’XµL (8.67)
DµR = ∂µR + (i/2) g’XµR (8.67)
Podstawiając (8.66) i (8.67) do (8.57) i dobierając człony, odpowiadające polom cechowania [ wzór (3.131)], otrzymujemy następujący lagranżjan :
I dalej, wprowadzimy izospinorowe pole skalarne ( pole Higgsa ) :
φ = ( φ+ ) (8.69)
( φ0 )
Z (8.63) wynika, ze posiada ono następujące liczby kwantowe :
φ : IW = ½ , YW = 1 (8.70)
Znaczy się, że oba pola φ+ i φ0 są zespolone ( cząstki i anty cząstki rozróżniają się między sobą ), możemy zatem podstawić :
gdzie : φ1, ... , φ4 – są wielkościami rzeczywistymi.
Oprócz tego, na mocy wartości (8.70) pochodna kowariantna pola φ ma postać :
Dµφ = ( ∂µ – ½i ττττ• W-µ – ½ i g’ Xµ ) φ (8.72)
Pole Higgsa φ oddziałuje również z polami e- i νe ze stała Ge, w wyniku czego część pełnego lagranżjanu, zawierająca pole φ, jest równa :
£2 = ( Dµφ )† ( Dµφ ) – ½m2 φ†φ – ¼ λ (φ†φ )2 – Ge( L−φR + R−φ†L ) (8.73) Część lagranżjanu £2, odpowiadająca oddziaływaniu, ma postać :
– Ge( νe−eRφ† + eL−eRφ0 + eR−νeφ- + eR−eLφ0 ) (8.74)
i przy tym :
φ†φ = ( φ+ )* + (φ0 )* φ0 = ½ ( φ12 + φ22 + φ32 + φ42 ) (8.75) Tak jak w standardowym przypadku m2 > 0 taki lagranżjan opisuje pole skalarne o masie m, przy czym stan o
najmniejszej energii odpowiada wartości φ = 0. Jednakże przy m2 < 0 stan o najmniejszej energii odpowiada już nie wartości φ = 0, a tym wartościom φ, które spełniają warunek :
( φ†φ )0 = - m2 /λ (8.76)
Wybierzmy układ odniesienia w przestrzeni izospinowej w taki sposób, aby spełnione były warunki : ( φ21 )0 = - 2m2/ λ , (φ2 )0 = (φ3 )0 = (φ4 )0 = 0
lub
(φ1 )0 = ( - 2m2/λ )½ ≡ √2 η (8.77)
(φ )0 = ( 0 ) ; η – liczba rzeczywista (8.78)
( η )
Mamy teraz zdegenerowaną próżnie i spontaniczne naruszenie symetrii cechowania. Można założyć, że stany zaburzone pola φ nad stanem próżniowym mają postać :
tak jednak nie jest. Ponieważ symetria jest lokalną, możemy wykonać różne obroty izospinu w każdym punkcie przestrzeni i pole φ(x) może być sprowadzone do postaci :
w każdym punkcie. [ takie rozważania doprowadziły nas do zależności (8.45)]. I dalej, zgodnie ze wzorem (8.72), pochodna kowariantna Dµφ ma teraz postać :
Zatem :
( Dµφ )† ( Dµφ ) = ½ (∂µσ )2 + ¼ g2η2 [ (W1µ )2 + (W2µ )2 ] + ¼ η2 ( gW3µ – g’ Xµ )2 + człony kubiczne +
+ człony 4-tego stopnia (8.80)
Wprowadzimy teraz nowe pole Zµ : Zµ = ( gW3
µ – g’Xµ ) / ( g2 + g’2 )½ ≡ cos(θW ) W3
µ – sin(θW ) Xµ (8.81)
Jak również pole Aµ :
Aµ = ( g’W3 + gXµ ) / ( g2 + g’2 )½ ≡ sin(θW ) W3
µ – cos(θW ) Xµ (8.82)
Gdzie : θW = to „kąt Weinberga”, dany zależnością :
g / ( g2 + g’2 )½ = cos(θW ) , g’/g = tg(θW ) (8.83)
Z wyrażenia (8.83) można zauważyć, że pola W1µ , W2
µ , Zµ nabrały masy : MW1
2 = MW22
= ½ g2 η2
;
MZ2 = b2η2 /2cos2(θW ) = MW2/ cos2(θW ) (8.84)
Masa pola Aµ jest równa zero. Warunkowo utożsamimy Aµ z polem EM. Utożsamienie to potwierdzi się, jeśli zauważymy, że oddziaływanie leptonów z polami cechowania, zgodnie ze wzorami (8.86) i (8.81) – (8.83) ma postać :
gdzie skrót e. c oznacza sprzężenie hermitowskie, a Wµ = (1/√2 ) (W1µ + i W2
µ )
Zauważmy, że pole Aµ oddziałuje tylko z elektronami, ale nie z neutrino, przy czym oddziaływanie ze składnikami prawymi i lewymi jest takie samo. Zatem, przekonujemy się o prawidłowości utożsamienia Aµ z potencjałem eM. Stąd prosto wynika, że jako właściwą stałą sprzężenia należy przyjąć ładunek protonu e :
e = g sin(θW ) (8.86)
Z postaci ostatniego członu w wyrażeniu (8.85) wynika, że g jest stałą sprzężenia słabego pola z prądem elektron-neutralnym ( i mion-elektron-neutralnym ). W drugim rzędzie wiemy, że oddziaływanie to jest odpowiedzialne za rozpad mionu : µ- → e- + ν-e + ν
-µ
zgodnie z diagramem przedstawionym na rysunku 8.6, na którym pole cechowania W propaguje się między dwoma wierzchołkami.
Rys. 8.6 Rozpad mionu w teorii z wektorowym bozonem pośredniczącym.
Z (8.85) wynika, że oddziaływanie efektywne ma postać : Hoddziaływania = (g2
/2) ν
-µ γκ µL ( Propagator )κλ e
-L γλ µe =
= (g2 /8 ) ν
-µ γκ ( 1 – γ5 ) ( Propagator )κλ e
-L γλ ( 1 – γ5 ) νe (8.87)
Przy małych q propagator sprowadza się do stałej gκλ / MW2
i wyrażenie (8.87) przyjmuje postać :
Hoddziaływania = (g2 /8 MW2 ) jµλ† jeλ (8.88) Gdzie : jłλ = ł γ
-λ ( 1 – γ5 ) νł – leptonowy (-λ) prąd.
Jednakże wyrażenie (8.88) dokładnie pokrywa się z oddziaływaniem Fermiego prąd x prąd : Hoddziaływania = (G /√2 ) jµλ†
Właśnie z powodu małości stałej G oddziaływanie to nazwano słabym.
Jednakże w teorii Salama-Weinberga fundamentalną stałą sprzężenia jest g, a z zależności (8.86) wynika, że jeśli kąt θW nie jest zbyt mały, to stała g też nie jest mała. Zatem, oddziaływanie słabe nie jest słabe w swej naturze, a tylko dzięki zależności (8.90) wydaje się słabe na skutek tego, że masa MW jest duża. W rzeczywistości możemy określić liczbowe wartości tych wielkości. Z wyrażenia (8.85) wynika, że zarówno neutrino jak i leptony naładowane ( e i µ ) oddziałują z polem neutralnym Z i możemy przewidzieć np., że zachodzi νµ – e-rozpraszanie :
νµ + e- → νµ + e-
zgodnie z diagramem Feynmana, przedstawionym na rysunku 8.7
Rys. 8.7 Rozpraszanie νµ – e na skutek wymiany cząstki Z0.
Jest to przykład oddziaływania poprzez prąd neutralny, typowe dla teorii Salama –Weinberga. Takie rozpraszanie obserwuje się z przekrojem σ = ( 1,6 ± 0,9 ) • 10-42 [ Eν /GeV] [ cm2 ]
( zobacz np. [ 7], str. 599 )
Oczywiście, że z takiego przekroju możemy otrzymać wartość θW ( lub, co równoważne g ).
Daje on [7] :
sin2(θW ) = 20,225+0,06
-0,05 (8.91)
Z zależności (8.86) i (8.90) wynika wartość :
MW2 = e2 / 4√2 G sin2(θW ) = ( 78,6 [GeV/c2] )2 (8.92)
A z (8.84) wynika wartość masy Z-cząstki :
MZ = 89,3 [GeV/c2] (8.93)
Istnienie naładowanych I neutralnego bozonów wektorowych o skazanych masach jest najważniejszym przewidywaniem teorii oddziaływań elektrosłabych, odkrycie tych cząstek o prawidłowych wartościach mas [ UA1 Collaboration, Phys.
Lett, 122B, 103 (1983) ; 126B, 398 (1983)] było jej największym sukcesem.
Zauważmy, że istnienie procesów ( również obserwowanych ), następujących poprzez prądy neutralne, wynika z dowolnej teorii o lagranżjanem inwariantnym względem globalnej SU(2)-symetrii. Jednakże tylko po tym jak teoria zostanie przekalibrowana, staje się ona renormalizowalną i przewidującą wektorowe bozony pośredniczące.
Dalsze szczegóły dotyczące teorii elektrosłabej, oraz jej eksperymentalnych wnioskach zainteresowany czytelnik znajdzie w literaturze.
Na zakończenie powiemy nieco o interesujących rozważaniach związanych z zachowaniem oddziaływania
elektrosłabego przy wysokich temperaturach. Jeśli zachować analogię z ferromagnetyzmem, to symetria, która przy niskich temperaturach była naruszona, powinna być zachowana przy wysokich temperaturach. Powyżej temperatury krytycznej Tc bozony W i Z powinny być bezmasowe podobnie do fotonu, a siły słabe powinny przekształcić się w siły o dalekim działaniu, podobne do sił EM. Kirzhnits i Linde [25] wysunęli hipotezę, ze zachodzi to przy Tc ≈ 1016[K].
Szczegółowe obliczenia potwierdziły tą hipotezę. Obliczenia te były oparte na założeniu, ze 2-punktowa funkcja pola skalarnego przy skończonej temperaturze, np. otrzymywana jako średnia Gibbsa „zwykłej” funkcji 2-punktowej :
i∆Fβ (x – y ) = Tr( exp(-βH) ) < 0 | T(φ(x) φ(y) ) | 0 > / Tr( exp(-βH)) (8.94) gdzie : β = (kT)-1