§ 2.4 Przewidzenie antycząstek.
Widzieliśmy już, że równanie Kleina-Gordona posiada dwa niedostatki : gęstość prawdopodobieństwa nie jest dodatnio określona oraz istnieją stany o ujemnej energii. Z tych powodów równanie Kleina-Gordona zostało odrzucone, a Dirac w jego miejsce poszukiwał równania, które byłoby równaniem pierwszego rzędu. W tym wdział bowiem podstawową jego własność. Znalazł ona równanie (2.94) i przekonał się, że macierze γµ powinny być macierzami 4 × 4.
Prześledźmy jego rozważania.
Na początku zapiszemy równanie Diraca w przestrzeni współrzędnościowej. Podstawienie i∂µ w miejsce pµ do (2.94) daje :
( iγµ∂µ – m ) ψ = 0 (2.96) Jest to równanie różniczkowe pierwszego rzędu. Działając na niego operatorem iγµ∂µ otrzymujemy :
[ − ( γµ∂µ ) ( γν∂ν ) – i ( γµ∂µ )m ] ψ = 0 ( γµ γν∂µ∂ν + m2 ) ψ = 0
Ponieważ ∂µ∂ν = ∂ν∂µ iloczyn macierzy γµ γν można zamienić na ich symetryczne kombinacje :
½ ( γµ γν + γν γµ ) ≡ ½ { γµ , γν } (2.97)
co daje nam :
½ { γµ , γν } ∂µ∂ν ψ + m2 ψ = 0
Aby spełniona była zależność energia – pęd – masa , wynikająca z STW każda ze składowych ψ powinna spełniać równanie Kleina-Gordona :
( + m2 ) ψ(x) = 0 (2.98)
Stąd wynika, że współczynniki ∂µ∂ν powinny być równe gµν , a zatem :
{ γµ , γν }= 2gµν (2.99)
Jest to ogólna zależność, jaką powinny spełniać współczynniki γµ.
Wybierając kolejno wartości µ = ν = 0 , µ = ν = i , µ ≠ ν otrzymamy :
( γ0 )2 = 1 , ( γi )2 = −1 , γµ γν = − γν γµ ( ν ≠ µ ) (2.100) Jak łatwo zauważyć, macierze (2.92) spełniają właśnie takie zależności. [ Czytelnik w charakterze ćwiczenia może
dowieść, ze nie istnieją macierze 2 × 2, które spełniałyby zależności (2.100) ]. Jest również oczywiste, że jeśli cztery macierze γµ spełniają zależności (2.99), to macierze :
γ‘µ = SγµS-1 (2.101)
gdzie : S – macierz unitarna 4 × 4, również spełnia takie zależności. Przy tym rozwiązaniem równania Diraca jest wielkość :
ψ’ = Sψ (2.102)
Znajdziemy teraz prąd prawdopodobieństwa jµ , analogiczny do prądu (2.21) dla równania Kleina-Gordona i zobaczymy czy gęstość prawdopodobieństwa odpowiadająca temu prądowi jest dodatnio określona. W tym celu zapiszmy równanie Diraca w postaci (2.96) :
( iγµ∂µ – m ) ψ = 0
gdzie : γµ∂µ = γ0∂0 + γi∂i .
Weźmy teraz równanie sprzężone hermitowsko do niego i zauważmy, ze z (2.92) lub (2.100) wynikają następujące równości :
γ0† = γ0 , γi† = −γi co daje :
γ† ( −iγ0 ∂0← + iγi ∂i← − m ) = 0
gdzie : γ† - jest wektorem wierszowym, a operatory ∂0← , ∂i← działają na taki wektor lewostronnie.
Powyższe wyrażenie nie wygląda zbyt dobrze i dlatego pomnożymy go prawostronnie przez γ0 i wykorzystamy zależność γi γ0 = − γ0γi wchodzącą do zależności (2.100), wtedy otrzymamy :
ψ− ( iγµ∂µ← + m ) = 0 (2.103)
gdzie :
ψ− = ψ†γ0 (2.104)
jest wielkością nazywaną jako dołączonym spinorem węglem spinora ψ. (* Częściej nazywamy go spinorem sprzężonym lub dirakowsko- sprzężonym – przypis redaktora przekładu rosyjskiego *)
Teraz na podstawie równań (2.96) i (2.103) możemy pokazać, że prąd :
jµ = ψ− γµψ (2.105)
jest zachowany :
∂µ jµ = ( ∂µ ψ− )γµψ + ψ− γµ( ∂µ ψ ) = ( imψ− )ψ + ψ− ( -im ψ) = 0 (2.106) Gęstość j0 ma postać
:
j0 = ψ− γ0ψ = ψ†ψ = | ψ1 |2 + | ψ2 |2 + | ψ3 |2 + | ψ4 |2
i jest dodatnia. Zatem wielkość j0 może służyć jako gęstość prawdopodobieństwa dla rozpatrywanej cząstki, a równanie Diraca przełamało barierę, która dla równania Kleina-Gordona okazała się niemożliwa do przełamania.
Teraz przejdziemy do drugiej trudności z którą boryka się równania Kleina-Gordona – do problemu stanów o ujemnych energiach. Problem ten dotyczy również równania Diraca. Z (2.94) łatwo bowiem zauważyć, ze cząstka diracowska w stanie spoczynkowym spełnia równania :
γ0p0ψ = mψ (2.107)
p0ψ = mγ0ψ (2.107)
Wartości własne macierzy γ0 są równe +1 ( podwójnie ) i –1 (podwójnie ), mamy zatem dwa rozwiązania o energii ( +m) i dwa rozwiązania o energii ujemnej ( -m). W istocie, jak łatwo pokazać, wypisując wszystkie cztery składowe równania (2.94), wartości własne operatora energii są następujące :
E = + ( m2 + p2 )1/2 ( podwójnie ) E = - ( m2 + p2 )1/2 ( podwójnie )
Przy każdej wartości p mamy dwa rozwiązania o energii dodatniej, odpowiadające stanom cząstki o spinie ½ i dwa rozwiązania o energii ujemnej. Tę potencjalną katastrofę, takiego rozwiązania Dirac przemienił w jego ( i swój ) triumf.
Spektrum energetyczne rozwiązań równania Diraca przedstawiono na rys. 2.2
Rys. 2.2 Spektrum energetyczne rozwiązań równań Diraca.
Jak już wspomniano związany jest z nim ten sam problem co w przypadku równań Kleina-Gordona. Elektron, znajdujący się w stanie o energii dodatniej może ( w przypadku, jeśli elektron oddziałuje z drugą cząstką lub polem np. EM.
Równanie Diraca, wypisane powyżej jest słuszne tylko dla elektronów swobodnych, jednak problem stanów z ujemną energią pozostaje słuszny również po uwzględnieniu oddziaływań )
Skokowo przejść do stanu o energii ujemnej, a dalej przeskakując kolejno stany energetyczne, przejść do wartości E = −∞, oddając przy tym nieskończenie wiele energii ( np. w postaci promieniowania EM ).
Rozwiązanie tego problemu podane przez Diraca, oparte jest na fakcie, że elektron posiada spin ½ , a zatem spełnia zasadę Pauliego. Dirac założył, ze wszystkie stany o energii ujemnej są już zapełnione i zgodnie z zakazem Pauliego nie ma możliwości, aby ani jeden elektron przeniknął do „morza” stanów o energii ujemnej.
„Morze Diraca” jest to próżnia. Zatem, zgodnie z teorią zaproponowaną przez Diraca, próżnia nie jest „nicością”, a stanem zapełnionym przez morze elektronów, protonów, neutrin, neutronów i wszelkich innych cząstek o spinie ½, posiadających ujemną energie.
Z takiej teorii wynika pewien ważny wniosek. Załóżmy, ze w morzy elektronów istnieje puste ( wakujące ) miejsce –
„dziura” o energii − | E |. Elektron o energii E może wypełnić taką dziurę, wypromieniowując energię 2E :
e- + dziura → energia (2.108)
Zatem, „dziura” efektywnie posiada ładunek +e i energię dodatnią i nazwiemy ją pozytronem, jest to właśnie antycząstka elektronu. Teoria Diraca przewiduje istnienie antycząstek dla wszystkich cząstek o spinie ½ co zostało potwierdzone poprzez odkrycia cząstek e+, p− , n− , ν− itp.
Okazuje się, że dla bozonów również istnieją ich antycząstki, ale aby to pokazać, konieczne jest rozpatrywać „funkcje falową” φ równania Kleina-Gordona jako pole skwantowane, a to zrobimy w rozdziale 4.
Przewidzenie, a następnie odkrycie antycząstek stanowi jeden z najbardziej znamiennych epizodów w historii fizyki cząstek i spowodowało, że obecnie równanie Diraca jest jednym z najważniejszych równań w fizyce teoretycznej.
Okazało się ono, bowiem nadzwyczaj płodnym w swoich przewidywaniach i zastosowaniach [ 11, 12], jednak w niniejszej książce ograniczymy się do badania tylko pewnych jego własności, po pierwsze zbadamy formalną konstrukcję i własności spinorów Diraca, po drugie przewidywaniem magnetycznego momentu elektronu.
Temat antycząstek zakończymy uwagą, że chociaż równanie Diraca rozwiązuje problem ujemnej energii, nie jest ono równaniem dla jednej cząstki, ponieważ opisuje zarówno cząstki jak i antycząstki. Naturalnym podejściem jest podejście polegające na tym, aby rozpatrywać spinor ψ jako pole, takie że wielkość| ψ |2 jest miarą liczby cząstek w zadanym punkcie. Pole to jest oczywiście polem kwantowym. W rozdziale 4 zobaczymy, jak przy takim podejściu ponownie osiągamy interpretacje teorii, opartej na pojęciu cząstek i antycząstek, jak i prawidłowym związku spinu ze statystyką.
§ 2.5 Konstrukcja spinorów Diraca : algebra γ-macierzy.
Na początku wyjaśnimy własności transformacyjne wyrażeń biliniowych takich jak : ψ−ψ, ψ−γµψ itd.
względem przekształceniu Lorentza.
Rozpoczniemy od wyrażenia ψ−ψ, i pokażemy, że jest to wielkość skalarna. Będziemy pracowali w bazie (2.91) :
ψ = ( φR ) (2.109)
( φL )
Przy przekształceniach Lorentza ( θ, φ ) ( zawierających obroty ) z (2.78) mamy :
φR → exp[ i ½ σ ( θ − iφ )] φR (2.110)
φL → exp[ i ½ σ ( θ + iφ )] φL (2.110) Zatem :
φR† → φR† exp[ −i ½ σ ( θ − iφ )] (2.111)
φL† → φL† exp[ −i ½ σ ( θ − iφ )] (2.111)
Stąd widać, ze wielkość :
ψ†ψ = φR†φR + φL†φL (2.112)
nie jest inwariantem. Jednakże dołączony spinor ψ−, określony poprzez zależność (2.104) posiada następujące składowe ψ− = ψ†γ0 = ( φR†, φL† ) ( 0 1 ) ( φL†, φR† ) (2.113) ( 1 0 )
i jak łatwo zauważyć, wielkość :
ψ−ψ = φL†φR + φR†φL (2.114)
jest inwariantna ( tj. jest skalarem ) względem przekształceń Lorentza.
Oprócz tego, przy odbiciu przestrzennym mamy :
φR ↔ φL (2.115)
Zatem ψ−ψ → ψψ− i wielkość ta jest skalarem właściwym, tj. nie zmienia znaku przy odbiciu przestrzennym.
Zdefiniujmy teraz 4 × 4 macierz :
γ5 = ( 1 0 ) (2.116)
( 0 –1 )
( Przypomnijmy, że każdy jej element przedstawia sobą macierz 2× 2 ). Jest to definicja macierzy γ5 w bazie (2.109).
W dowolnej bazie będzie ona następująca :
γ5 = iγ0γ1γ2 γ3 = γ5 (2.117)
Dalej widać, że :
ψ−γ5ψ = ( ψL†, φR† ) ( 1 0 ) ( φR ) = φL†φR – φR†φL (2.118) ( 0 1 ) ( φL )
Z zależności (2.110), (2.111) i (2.115) wynika, że powyższe wyrażenie jest inwariantne względem przekształceń Lorentza. Jednakże zmienia ono znak przy odbici przestrzennym. Zatem jest to wielkość pseudoskalarna.
Rozpatrzmy dalej wielkość ψ−γµψ , która powinna jak się wydaje przekształcać się przy transformacjach Lorentza jak 4-wektor. Jej składowa - czasowa i przestrzenna są następujące :
ψ−γ0ψ = ψR†φR + ψL† φL (2.119) ψ−γ ψ = ( φR†, φL† ) ( 0 −σ ) ( φR ) = − φR†σ φL + φL†σφR (2.120) ( σ 0 ) ( φL )
Przy obrotach przestrzennych ( θ ≠ 0 , φ = 0 ) mamy :
ψ−γ0ψ → ψ−γ0ψ (2.121)
Jeśli przy tym parametry θ są infinitezymalne, to :
[ W charakterze pożytecznego ćwiczenia czytelnik może sprawdzić to obliczenie, wykorzystując zależność komutacyjne (2.62), zapisując je w postaci :
[ σi , σj ] = 2iεijk σk (2.123)
gdzie :
εjijk = { +1, jeśli (ijk)- jest permutacją parzystą zbioru (123) (2.124) { -1 , jeśli (ijk)- jest permutacją nieparzystą zbioru (123)
{ 0 w pozostałych przypadkach
i zakładając σθ = σiθi ( stosujemy zasadę sumowania ! ) ]
Zależność (2.122) opisuje zachowanie wektora przy obrotach – w przypadku nieskończenie małych θ, zależność (2.27) zapisujemy w postaci : V’x = Vx + θVy , V’y = Vy − θVx , V’z = Vz lub w postaci wektorowej :
V’ = V − θ × V
Oprócz tego, składowa czasowa, zgodnie z (2.121) jest inwariantna względem obrotów. Zatem, wielkość ψ−γµψ istotnie zachowuje się jak 4-wektor przy obrotach. Czytelnikowi pozostawiamy pokazanie, że zachowuje się ona jak 4-wektor względem jednego z pchnięć lorentzowskich, tj. tak jak xµ w wyrażeniu (2.64), opisującym pchnięcie wzdłuż osi x.
Oprócz tego, przy przekształceniach odbicia przestrzennego, jak łatwo zauważyć, mamy :
ψ−γ0ψ → ψ−γµψ , ψ−γ ψ → − ψγψ (2.125) co odpowiada przekształceniu wektora.
Nasz wniosek : wielkość ψ−γµψ przekształca się jak wektor.
Analogicznie można pokazać, że wielkość ψ−γµγ5ψ zachowuje się jak pseudowektor : przekształca się ona jak 4-wektor przy przekształceniach Lorentza ( włączając w to obroty ), ale w przeciwny sposób względem (2.125) przy odbiciu przestrzennym, tj. część „przestrzenna” przekształca się jak antysymetryczny tensor rzędu 2. Odpowiadający mu tensor symetryczny na mocy zależności (2.99) jest inwariantem. Tym sposobem wyczerpujemy wszystkie możliwości, ponieważ w czterech wymiarach tensor rzędu 3 przekształca się jak pseudowektor, a tensor rzędu 4 – jak pseudoskalar.
W trzech wymiarach, taka redukcja następuje jeszcze szybciej : tensor rzędu 2, podobny do r × p ( lub r ∧ p ), jest pseudowektorem, a tensor rzędu 3, podobny do elementu objętości dxdydz ( który prawidłowo powinno się zapisywać jako dx ∧ dy ∧ dz ), jest pseudoskalarem ( Piękne wyłożenie tego zagadnienia czytelnik znajdzie np. w książce:
„Space-Time algebra” , Hestens D. ; Gordon and Breach 1966 ) Podsumujmy nasze wyniki :
ψ−ψ skalar (2.126) ψ−γ5ψ pseudoskalar
ψγ−µψ wektor ψ−γµγ5ψ pseudowektor
ψ− ( γµγν − γνγµ )ψ antysymetryczny tensor
Zbudujemy teraz, spinory, odpowiadające dowolnemu stanowi ruchu cząstki diracowskiej. Wykonamy to prawie tę samą metodą co przy wyprowadzeniu wyrażeń (2.85), (2.86) i (2.91), jednak teraz będziemy szukali jawnych wyrażeń dla spinorów i nie będziemy przy tym korzystali z reprezentacji (2.91), którą można nazwać reprezentacją chiralną ( ponieważ ψR, φL są stanami własnymi operatora chiralności γ5 ).
Będziemy pracowali w tzw. reprezentacji standardowej, w której to macierz γ0 jest diagonalna. Z równań (2.107) wynika, że dana reprezentacja jest wygodna dla opisu cząstek w stanie spoczynkowym.
Rozwiązania równania Diraca w formie fal płaskich dla cząstki w stanie spoczynkowym, mają oczywiście postać : ψ(x) = u(0)e-imt ( energie dodatnie ) (2.127) ψ(x) = v(0)eimt ( energie ujemne ) (2.127) gdzie wchodzą dwa spinory odpowiadające dodatnim i dwa spinory odpowiadające ujemnym energią :
Wykorzystaliśmy tutaj macierz γ0 zapisaną w reprezentacji standardowej :
γ0 = ( 1 0 0 0 ) (2.129)
( 0 1 0 0 ) ( 0 0 -1 0 ) ( 0 0 0 -1 )
lub w często wykorzystywanym , zwartym zapisie :
γ0 = ( 1 0 ) (2.130)
( 0 −1 )
Macierz ta otrzymywana jest z chiralnej reprezentacji za pomocą przekształcenia :
γ0SR = Sγ0CRS-1 (2.131)
S = (1/√2 ) ( 1 1 ) (2.131)
( 1 -1 )
Zatem, w reprezentacji standardowej :
ψ = S ( φR ) = (1/√2 ) ( φR + φL ) (2.132) ( φL ) ( φR – φL )
Dla przekształcenia Lorentza do poruszającego się układowi współrzędnych z (2.78) podstawiając θ = 0 mamy :
i odpowiednio macierz pchnięcia w standardowej reprezentacji ma postać
:
MSR =SMCRS-1 = ( cosh( ½φ ) σn sinh( ½φ) ) (2.134)
( σn sinh( ½φ ) cosh( ½φ ) ) I dalej, ponieważ :
cosh( ½φ ) = [ ( E + m ) / 2m ]1/2 ; sinh( ½φ ) = [ ( E − m ) / 2m ]1/2 ; tgh( ½φ ) = p / E + m gdzie : p = ( E2 – m2 )1/2
otrzymujemy :
Odpowiednie spinory w rozwiązaniach w postaci fal płaskich mają postać :
ψ(α)(x) = u(α)(p) e-ipx ( energie dodatnie ) (2.136) ψ(α)(x) = v(α)(p) eipx ( energie ujemne ) (2.136) gdzie : α = 1, 2 ; wielkości u(α)(p) i v(α)(p) – otrzymujemy działając macierzą MSR na odpowiednie spinory w układzie spoczynkowym [ wzór (2.128) ], co daje nam :
gdzie : p± = px ± ipy.
Spinory u unormowane są w następujący sposób :
( analogiczny wzór jest słuszny również dla u(2) ).
Ostatecznie warunki normalizacji dla spinorów zapisujemy w postaci :
Oprócz tego, z (2.95) i (2.136) wynika, że spinory u i v spełniają równania :
( γp – m ) u(p) = 0 (2.140)
( γp + m ) v(p) = 0 (2.140)
a zatem, spinory sprzężone spełniają równania :
u−(p) ( γp – m ) = 0 (2.141)
v−(p) ( γp + m ) = 0 (2.141)
W wielu zastosowaniach ważną rolę odgrywa operator :
P+ =
ΣΣΣΣ
u(α)(p) u−(α)(p) (2.142)α
Jest to operator rzutowania, ponieważ na mocy wzoru (2.139) :
P+2 =
ΣΣΣΣ
u(α)(p) u−(α)(p) u(β)(p) u−(β)(p) =ΣΣΣΣ
u(α)(p) u−(α)(p) = P+ (2.143) α, β αOczywiście powyższy operator rzutuje na stany o energii dodatniej.
Znajdziemy teraz jawne wyrażenie dla P+. Na mocy równań (2.140) słuszna jest następująca zależność : ( γp – m ) P+ = 0
zatem :
( γp / m ) P+ = P+ (2.144)
Załóżmy teraz, że P+ ma postać : a + bγp. Podstawiając ją do (2.144) otrzymamy a = mb. I dalej z zależności P+2 = P+ wynika b = 1/2m, mamy zatem ostatecznie :
P+ =
ΣΣΣΣ
u(α)(p) u−(α)(p) = ( γp + m )/2m (2.145)α
Analogicznie możemy wprowadzić operator rzutowania na stany o energii ujemnej, ma on postać :
P- =
ΣΣΣΣ
v(α)(p) v−(α)(p) = ( − γp + m )/2m (2.146)α
Oczywiście : P+ + P- = 1.
Teraz wprowadzimy wzory dla śladów pewnych wyrażeń, zawierających macierze gamma. Ponieważ są to macierze 4 × 4 to mamy :
Tr 1 = 4
Na mocy własności cykliczności śladu otrzymujemy :
Tr ( γ • a ) ( γ • b ) = Tr ( γ • b ) ( γ • a ) = ½ Tr aµ bν { γµ , γν } =a • b Tr 1 = 4 a • b (2.147) Teraz pokażemy, że ślad dowolnego iloczynu nieparzystej liczby macierzy gamma jest równy zeru.
W tym celu wykorzystamy następują własność macierzy γ5, którą określa zależność (2.117) :
( γ5 )2 = 1 ; { γ5 , γµ } = 0 (2.148)
Wprowadźmy następujące oznaczenie :
aµ γµ = aγ ≡ a^ (2.149)
(* Jest to tzw. symbol Feynmana. Często oznaczamy go również jako : ∂/ lub ¢. W tekście oryginalnym zastosowano standardowo wykorzystywaną notację przekreślonego a *)
Mamy zatem :
Tr a^1 ... a^n = Tr a^1 ... a^n γ5 γ5 = Tr γ5 a^1… a^n γ5 ( wykorzystano tutaj warunek cykliczności ).
Przepiszemy teraz macierz γ5 stojącą po lewej stronie , kolejno wykorzystując macierze a^, zmieniając za każdym razem znak. W wyniku tego otrzymamy :
Tr a^1 ... a^n = ( -1 )n Tr a1 ... an γ5 γ5 Te wzory będą nam pomocne dla obliczeń przekrojów rozpraszania.