§ 5.2 Teoria zaburzeń i macierz S.
Naszym bieżącym celem będzie pokazanie jak metoda całkowania funkcjonalnego stosowana jest w obliczeniach procesów rozpraszania. W szczególności w paragrafie 5.3 rozpatrzymy rozpraszanie Rutherforda.
Nierelatywistyczny opis rozpraszania jednej cząstki na drugiej oparty jest na potencjale V(x) ( w niniejszym paragrafie przestrzenne współrzędne oznaczymy przez x, a nie przez q ).
Ponieważ wyrażenia dla amplitudy przejścia dokładnie obliczyć nie można, przywołamy, tak jak ma to miejsce standardowo, w takich przypadkach teorię zaburzeń. Jest ona stosowalna, wtedy kiedy potencjał V(x) jest mały, lub ściślej, kiedy całka w czasie od V(x, t) jest mała w porównaniu ħ. W tym przypadku możemy zapisać :
tf tf tf
exp [ (-i/ħ )
∫
V(x, t) dt ] = 1 – (i/ħ )∫
V(x, t) dt – ( 1/2!ħ2 ) [∫
V(x, t) dt ]2 + ... (5.16) ti ti tiJest to rozłożenie w szereg znane z teorii zaburzeń.
Podstawiając taki rozkład do wyrażenia (5.15) dla operatora K(xf tf ; xi ti ) [ wzór (5.5)], otrzymamy rozkład :
K = K0 + K1 + K2 + ... (5.17)
którego pierwszym członem jest swobodny propagator K0 : K0 = N
∫
{ exp[ (i/ħ ) S ] }ℜx = N∫
{exp[ (i/ħ )∫
½ mx•2 dt ]}ℜxAby obliczyć to wyrażenie, zapiszemy go w dyskretnej postaci [ wzór (5.14) ]:
∞ n n
K0 = lim ( m/iħτ )(n+1)/2
∫ Π
dxj exp[ (im/2ħτ )ΣΣΣΣ
( xj+1 – xj )2 ] n→∞ −∞ j=1 j=0Całka ta jest znana [ wzór 5A.4) ] :
Całka = [ 1/ (n + 1 )1/2 ] (iħτ/m )n/2 exp{ [ im/2ħ(n+1)τ ]( xf – xi )2 }
Podstawiając ( n+1)τ = tf – ti otrzymujemy następujące wyrażenie dla propagatora cząstki swobodnej : K0(xf tf ; xi ti ) = [ m /iħ( tf – ti )]1/2 exp{ (im/2ħ )[ ( xf – xi )2 /( tf – ti ) ] }
Warunek tf > ti oczywiście, jest istotny, ponieważ na mocy wymogu przyczynowości propagator zeruje się przy tf > ti i ściśle mówiąc, powinniśmy wtedy podstawić :
K0(xf tf ; xi ti ) = θ(tf – ti )[ m /iħ( tf – ti )]1/2 exp{ (im/2ħ )[ ( xf – xi )2 /( tf – ti ) ] } (5.19) Teraz obliczymy K1. Z (5.14) i (5.16) wynika :
K1 = (-i/ħ ) lim N(n+1)/2
ΣΣΣΣ ∫
exp[ (im/2ħτ )ΣΣΣΣ
( xj+1 – xj )2 ] V(xi, ti ) dx1 ... dxn n→∞ i=1 j=0gdzie : N = m /iħτ ; i jak widać zamieniliśmy całkowanie po t na sumowanie po ti . Jeżeli zauważymy, ze V zależy od xi to możemy rozbić sumę w wykładniku eksponenty na dwie składowe : jedną od j= 0 do j = i –1 , a drugą od j = i do j = n. Wydzielimy również całkę po xi. W wyniku tego otrzymamy :
n n
K1 = lim (-i/ħ )
ΣΣΣΣ ∫
dx1{ N(n-i+1)/2∫
exp[ (im/2ħτ )ΣΣΣΣ
( xj+1 – xj )2 ] dxi+1 ... dxn } V(xi, ti ) n→∞ i=1 j=ii-1
{ Ni/2
∫
exp[ (im/2ħτ )ΣΣΣΣ
( xj+1 – xj )2 ] dx1... dxi-1 } j=0Człony w nawiasach klamrowych są równe odpowiednio K0(xf tf ; xt ) i K0(xt ; xi ti ) i po zamianie
ΣΣΣΣ
i∫
dxi na∫
dxdt wyrażenie powyższe przyjmie postać : tf ∞K(xf tf ; xi ti ) = (-i/ħ )
∫
dt∫
K0(xf tf ; xt ) V(x, t) K0(xt ; xi ti ) dx (5.20) ti −∞Wielkość K0(xf tf ; xt ) zeruje się przy t > tf , a K0(xt ; xi ti ) zeruje się przy t < ti, zatem całka w wyrażeniu (5.20) może być rozciągnięta na wszystkie wartości t, co daje nam :
∞
K(xf tf ; xi ti ) = (-i/ħ )
∫
dt∫
K0(xf tf ; xt ) V(x, t) K0(xt ; xi ti ) dx (5.21) −∞Jest to poprawka pierwszego rzędu do swobodnego propagatora.
W analogiczny sposób można pokazać, że poprawka drugiego rzędu jest równa : ∞ ∞ ∞ ∞
K(xf tf ; xi ti ) = (-i/ħ )2
∫
dt1∫
dt2∫
dx1∫
dx2 K0(xf tf ; x2 t2 ) V(x2, t2 ) −∞ −∞ −∞ −∞K0(x2 t2 ; x1t1 ) V(x1, t1 )K0(x1 t1 ; xi ti ) (5.22)
Analogiczne wyrażenia są słuszne dla wszystkich Kn, wchodzących do rozkładu (5.17), zatem możemy zapisać : K(xf tf ; xi ti ) = K0(xf tf ; xiti )(-i/ħ )
∫
K0(xf tf ; x1t1 ) V(x1, t1 ) K0(x1t2 ; xi ti ) dx1dt1 −− (1/ħ2 )
∫
K0(xf tf ; x1t1 ) K0(x1t2 ; xiti ) dx1dt1 − (1/ħ2 )∫
K0(xf tf ; x1t1 ) K0(x1t2 ; x1t2 ) V(x2, t2 )K0(x2 t2 ; xiti ) dx1dx2dt1dt2 + ... (5.23)
Dana zależność jest rozwiązaniem zagadnienia o rozkładzie propagatora K w szereg teorii zaburzeń, nazywa się ono
„szeregiem Borna“. Szereg ten można przedstawić poglądowo ( rys. 5.5)
K0 – opisuje swobodną propagacje funkcji falowej z punktu xiti do punktu xftf ; K1 – opisuje propagacje z uwzględnieniem jednego oddziaływania z potencjałem V itd.
Istotną własnością zależności (5.22) jest to, że nie wchodzi do niej czynnik (1/2!) wchodzący do (5.16). Powód tego jest następujący.
Dwa oddziaływania z V, zachodzące w różnych chwilach czasu, są nierozróżnialne, zatem możemy zapisać : (1/2!)
∫
V(t’ ) V(t’’ ) dt’’ dt’’ = (1/2!)∫
[ θ((t’ – t’’ ) Vt’’ Vt’’ + θ( t’’ – t’ ) V(t’ ) V(t’’ ) ] dt’ dt’’ ==
∫
θ( t1 – t2 ) V(t1) V(t2 ) dt1dt2 (5.24)Z tej przyczyny do wyrażenia dla Kn nie wchodzi czynnik (1/n!).
Rys. Szereg bornowski.
Pokażemy teraz, że swobodny propagator K0 jest po prostu funkcją Greena dla równania Schrödingera.
W tym celu podstawimy szereg bornowski (5.23) do wyrażenia (5.1) :
ψ(xf tf ) =
∫
K(xf tf ; xiti ) ψ(xiti ) dxi =∫
K0(xf tf ; xiti ) ψ(xiti ) dxi − (i/ħ )∫
K0(xf tf ; xt ) V(x, t )K0(xt ; xiti ) ψ(xiti ) dt dx dxi + ... (5.25)
Przeszliśmy tutaj od jednego wymiaru przestrzennego do trzech.
Jeśli przyjąć, ze szereg (5.25) jest zbieżny, to wkład nie wypisanych członów sprowadza się do zamianie ostatniego propagatora K0 na pełny propagator K, tak wiec :
ψ(xf tf ) =
∫
K0(xf tf ; xiti ) ψ(xiti ) dxi − (i/ħ )∫
K0(xf tf ; xt ) V(x, t ) ψ(x t) dx dt (5.26) Formalnie jest to równanie całkowe dla ψ. Załóżmy teraz, że w dalekiej przeszłości tj. przy ti → −∞, funkcja ψ jest swobodnym rozwiązaniem, tj. fala płaską φ, wtedy pierwszy członów wyrażeniu (5.26) również jest falą płaską, ponieważ jest on otrzymywany jako wynik swobodnej propagacji ψ(xi ti ) i możemy napisać :ψ(xf tf ) = φ(xf tf ) − (i/ħ )
∫
K0(xf tf ; xt ) V(x, t ) ψ(x t) dx dt (5.27) Funkcja falowa ψ(xf tf ) spełnia równanie Schrödingera :( ħ2 /2m ) ∇xf2 ψ(xf tf ) + iħ ∂ψ(xf tf )/∂tf = V(xf tf ) ψ(xf tf ) (5.28) Ponieważ φ(xf tf ) jest rozwiązaniem swobodnego równania ( przy V = 0 ), propagator K0 powinien spełniać równanie : ( ħ2 /2m ) ∇xf2 K0(xf tf ; xt ) + iħ ∂/∂ff K0(xf tf ; xt ) = iħ δ( xf – x ) δ( tf – t ) (5.29) które przedstawia sobą równanie dla funkcji Greena równania (5.28). Zauważmy, że obecności czynnika δ( tf – t ) w prawej części (5.29) należało się spodziewać, ponieważ do definicji (5.19) swobodnego propagatora K0 wchodzi wielkość θ( tf – t ). Zatem, propagator K0 jest funkcją Greena dla równania Schrödingera, tak jak już to twierdziliśmy.
Przejdziemy teraz do obliczenia amplitudy rozpraszania. W doświadczeniach nad rozpraszaniem, warunki są takie, że przy t →−∞ cząstka porusza się swobodnie, następnie jest rozpraszana, po czym znów porusza się swobodnie przy t = +∞. (* Zobacz dodatek własny 5.2 *). Przy takim podejściu napotykamy jednak na pewną sprzeczność – cząstka swobodna ( tj. cząstka o określonej energii i pędzie ) opisywana jest przez falę płaską, która rozciąga się w całej
przestrzeni i nieograniczonym czasie, włączając w to obszar działania potencjału V(x ), gdzie cząstka w żaden sposób nie może być swobodna !
Aby obejść tę trudność, powołujemy hipotezę adiabatyczną (* adiabatic hypothesis *) :
Potencjał V jest włączany , a następnie wolno wyłączany , tak że V = 0 przy t = ∞, zatem cząstka jest swobodna.
Potencjału nie powinno się włączać ani wyłączać zbyt szybko, ponieważ za pomocą przekształcenia Fouriera można pokazać, ze zależność V od czasu prowadzi do promieniowania i pochłaniania energii przez centrum rozpraszające, co nie powinno następować.
Powróćmy do zagadnienia rozpraszania. Warunek początkowy jest taki, że ψ jest falą płaską : ψin (xi ti ) – fala płaska.
Zakładamy ponadto, że V →0 przy dużych ujemnych wartościach t i, że wartość ti leży daleko w przeszłości.
Pierwsze bornowskie przybliżenie wynikające z (5.25) daje :
ψ(+) (xf tf ) =
∫
K0(xf tf ; xiti ) ψin (xi ti ) dxi − (i/ħ )∫
K0(xf tf ; xt )V(x, t )K0(xt ; xiti ) ψin (xi ti ) dxdxi dt (5.30) Górny indeks funkcji falowej ψ(+) (xf tf ) oznacza, ze odpowiada ona fali, swobodnej przy t = −∞, a zatem odpowiada propagatorowi „opóźnionemu” K0(xt ; x’ t’ ), który zeruje się przy t’ > t.Na takiej podstawie możemy zapisać rozwiązanie ψ(-)(x1t1 ), które odpowiada fali swobodnej przy t = ∞ ( ψout ), oraz propagatorowi „przedwczesnemu” K0(tx ; x’ t’ ), który zeruje się przy t’ < t.
Interesuje nas jednak amplituda prawdopodobieństwa znalezienia cząstki końcowej w stanie o określonej wartości pędu, tj. fali płaskiej ψout. Nazywa się ona amplitudą rozpraszania i oznaczana jest symbolem S, formalnie przedstawia ona całkę nakrywania funkcji falowych (* overlap of the wave functions *) :
S =
∫
ψout* (xf tf ) ψ(+) (xf tf ) dxf =∫
ψout* (xf tf ) K0(xf tf ; xiti ) ψin (xi ti ) dxi dxf −− (i/ħ )
∫
ψout* (xf tf ) K0(xf tf ; xt )V(x, t) K0(xt ; xiti ) ψin (xi ti ) dxf dx dxi dt ==
∫
ψout* (xf tf ) φ(xf tf ) dxf − (i/ħ )∫
ψout* (xf tf ) K0(xf tf ; xt )V(x, t) K0(xt ; xiti ) ψin (xi ti ) dxf dx dxi dt (5.31) gdzie : φ(xf tf ) podobnie jak ψin (xi ti ) – jest falą płaską.Jeśli pęd początkowy i końcowy są równe odpowiednio : pi = ħki , pf = ħkf ,to przy normalizacji w pudle (* box normalisation *) :
ψin (xt ) = (1/√τ ) exp[ (i/ħ ) ( pi x – Eit )] (5.32)
ψout (xt ) = (1/√τ ) exp[ (i/ħ ) ( pf x – Eft )] (5.32)
gdzie : E = p2/2m, τ - objętość pudełka, która jest oczywiście dowolna.
Podstawiając wyrażenia (5.32) do pierwszego członu zależności (5.31) oraz wykorzystując wzór :
∫
eiqx dx = (2π)3δ(q )jak również przyjmując dla wygody τ = (2π)3 , otrzymujemy :
Sfi = δ( ki – kf ) − (i/ħ )
∫
ψout* (xf tf ) K0(xf tf ; xt )V(x, t) K0(xt ; xiti ) ψin (xi ti ) dxf dx dxi dt (5.33) Widać zatem, że amplituda rozpraszania jest elementem macierzowym macierzy S, przy czym do ostatniego wyrażenia wchodzi element (fi ). Jest to właśnie macierz rozpraszania lub inaczej macierz S (* ang. scattering *)Pierwszy człon odpowiada rozpraszaniu bez oddziaływania i daje nam prawo zachowania pędu i jednostkową macierz S.
Oddziaływania właściwe przedstawia drugi człon (5.33), a amplituda prawdopodobieństwa tego, że określony „out”-stan otrzymywany jest z określonego „in”-stanu, jest równa :
A = − (i/ħ )
∫
ψout* (xf tf ) K0(xf tf ; xt )V(x, t) K0(xt ; xiti ) ψin (xi ti ) dxf dx dxi dt (5.34) Mamy zatem wyrażenie dla amplitudy rozpraszania poprzez swobodny propagator K0 i potencjał oddziaływania V.Na podstawie wyrażenia (5.34) możemy zestawić zbiór prostych zasad, określających amplitudę rozpraszania. Są to tzw.
zasady Feynmana. (* Feynman rules *)
Amplitudę (5.34) ( która jest przybliżeniem pierwszego rzędu ) możemy przedstawić w postaci następującego diagramu :
(5.35) Oczywiście, zasady przyporządkowujące temu diagramowi wyrażenie dla amplitudy rozpraszania, przedstawiają sobą następujące zasady odpowiedniości :
( linii odpowiada człon K0(xf tf ; xiti ), a łamanej (i/ħ ) V(xt ) i całkowanie po x i t )
(5.36) Oprócz tego mnożymy przez ψin i ψout* końce diagramu i całkujemy po dwóch odpowiednich zmiennych
przestrzennych.
Zatem, amplituda procesu drugiego rzędu (* dana diagramem *) :
(5.37) ma postać :
A(2) = − (i/ħ )2
∫
ψout* (xf tf ) K0(xf tf ; x’t’ )V(x’, t’ ) K0(x’t’ ; xt )V(x , t) K0(xt ; xiti ) dxidx dtdx’dt’ dxfZasady (5.36) nazywają się zasadami Feynmana. W nierelatywistycznej MQ, z którą mamy do czynienia obecnie, zasady te są konieczne dla prowadzenia rachunków, w KTP, którą rozważymy w następnym rozdziale, zasady te silnie
upraszczają obliczenia.
Zasady (5.36) zapisane są w przestrzeni współrzędnych. W wielu obliczeniach, jednakże dogodnie jest pracować w przestrzeni pędów, zatem w pozostałej części niniejszego paragrafu wprowadzimy odpowiednie zasady Feynmana w przestrzeni pędów.
Niech ℜ(pt ; p0t0 ) – będzie amplitudą prawdopodobieństwa tego, że cząstka, posiadająca pęd p0 w chwili t0 , będzie zarejestrowana w późniejszej chwili t1 z pędem p1. Amplituda ta dana jest przez wyrażenie :
ℜ(pt ; p0t0 ) =
∫
exp[ (i/ħ )p1x1 ] K1(x1t1 ; x0t0 ) exp[ (i/ħ )p0x0 ] dx0dx1 (5.38) Swobodny propagator K1(x1t1 ; x0t0 ) jest trójwymiarowym uogólnieniem wyrażenia (5.19), tj. :K1(x1t1 ; x0t0 ) = θ(t1 – t0 )[ m /iħ( t1 – t0 )]3/2 exp{ (im/2ħ )[ (x0 – x1 )2/( t1 – t0) ]} (5.39) Zatem ℜ ma postać :
ℜ(p1t1 ; p0t0 ) = θ(t1 – t0 )[ m /iħ( t1 – t0 )]3/2
∫
exp[ (i/ħ ) ( p0x0 – p1x1)exp{ (im/2ħ )[ (x0 – x1 )2/( t1 – t0) ]}dx0dx1
Aby obliczyć tą całkę, wprowadzimy następujące zmienne : x = x0 – x1 ; X = x0 + x1 ; p = p0 – p1 ; P = p0 + p1 w ten sposób :
2( p0x0 – p1x1 ) = Px + pX
Jakobian tego przekształcenia jest równy (½ )3 = 1/8 i otrzymujemy :
ℜ(pt ; p0t0 ) = θ(t1 – t0 )(α/iħ )3/2 1/8
∫
exp[ (i/2ħ ) pX ] dX∫
exp[ (i/2ħ ) Px ] eiαx2 dx gdzie : α = m/2ħ ( t1 – t0).Pierwsza całka jest równa 8(2πħ )3δ(p ) = 8(2πħ )3δ(p0 – p1), tak więc : ℜ(p1t1 ; p0t0 ) = (2πħ )3θ(t1 – t0 )δ( p0 – p1) exp[ - (1/8mħ) P2( t1 – t0 ) ]
Zauważmy, że δ-funkcja wymaga równości p0 = p1zatem propagacja zachodzi tylko przy warunku zachowania pędu.
I dalej, ponieważ P2 = 4p02 ostatecznie mamy :
ℜ(p1t1 ; p0t0 ) = (2πħ )3θ(t1 – t0 )δ( p0 – p1) exp[ - (1/2mħ) ip02( t1 – t0 ) ] (5.40) Taki propagator, jak już powiedziano daje nam amplitudę prawdopodobieństwa obserwacji cząstki o pędzie p1 w chwili t1 , jeśli była ona obserwowana z pędem p w chwili t0.
Obraz Fouriera tej wielkości, zadawany jest poprzez odwróconą zależność (5.38) i jest równy oczywiście K0(x0t0 ; x1t1 ). Wykorzystując wyrażenie (5.40), otrzymujemy :
K0(x0t0 ; x1t1 ) = [ 1/(2πħ )6 ]
∫
exp[ (i/ħ ) p1x1] ℜ(p1t1 ; p0t0 ) exp[ -(i/ħ ) p0x0] dp0dp1 == θ(t1 – t0 ) [ 1/(2πħ )3 ]
∫
exp{(i/ħ ) [ q ( x1– x0 ) – (q2/2m ) ( t1– t0 )] }dq (5.41) Wykorzystamy to wyrażenie przy obliczaniu rozpraszania coulombowskiego w następnym paragrafie.Na zakończenie obecnego paragrafu obliczymy obraz Fouriera względem zmiennej t z tą myślą, aby czas i przestrzeń były rozpatrywane symetrycznie. Jest to konieczne w przypadku relatywistycznym.
Szukany operator ma postać :
k0(p1E1 ; p0E0 ) =
∫
exp[ (i/ħ ) E1t1] K0(p1t1 ; p0t0 ) exp[ -(i/ħ ) E0t0] dt0dt1== (2πħ )3 δ( p0 – p1)
∫
θ(τ ) exp[ - (1/2mħ) ip12τ ] exp[ (i/ħ ) (E1t1 – E0t0 )] dt0dt1 (5.42) gdzie : τ = t1 – t0Rozpatrując τ i t0 jako zmienne niezależne, otrzymujemy : ∞
, a zatem jest ona rozbieżna przy rzeczywistym ω. Aby uczynić ją zbieżną, należy zamienić ω na wielkość ω + iε,
gdzie ε – mała dodatnia wielkość. Wtedy całka będzie równa i/ ( ω+ iε ) ( równoważnie obraz Fouriera funkcji θ(t ) dany jest przez wyrażenie : θ(t ) = lim (1/2π)
∫
exp(iωτ ) [ 1/ ( ω – iε )] dωε→0+
)
Podstawiając odpowiednią wartość ω, otrzymujemy :
k0(p1E1 ; p0E0 ) = (2πħ )4 δ( p0 – p1) δ(E0 – E1) [ iħ / ( E – p12/2m + iε ) ] (5.43) Jak można było przewidzieć, w tym wyrażeniu dla propagatora uwzględnia się prawo zachowanie energii i pędu.
Granicę ε → 0 należy rozumieć w sensie wyrażenia (5.43).
Zauważmy ważny moment – w przypadku cząstki opisywanej mechaniką falową, energia E nie koniecznie jest równa p2/2m. Wielkości E i p są zmiennymi niezależnymi ( wykorzystywanymi po to, aby określić przekształcenia (obrazy ) Fouriera funkcji zależnych od t i x ). Tylko w przypadku klasycznej cząstki punktowej, opisywanej w MQ pakietem falowym o zerowym rozmiarze, mamy E = p2/2m. W tym granicznym przypadku propagator, wypisany powyżej posiada biegun (* ang. pole *). Propagacja zachodzi dla dowolnych wartości E i p.
Prosty w zasadzie, ale uciążliwy rachunek pokazuje, że jeśli wprowadzimy przekształcenie Fouriera potencjału V(x, t) zgodnie z zależnością :
V(x, t) =
∫
exp[ (i/ħ ) ( qx – Wt ) ] v(q, W )dq dW (5.44)To amplitudę (5.34) można wyrazić przez k0 i v oraz przedstawić w przestrzeni pędów poprzez następujący diagram :
Sens, którego zadany jest przez zasady Feynmana :
Są to zasady Feynmana w przestrzeni pędów. Do wyrażenia dla amplitudy rozpraszania A wchodzą wielkości ψout i ψin ,a całkowanie prowadzimy w nim po wszystkich istotnych zmiennych.