(* Self-energy operator and vertex function *)
Sformułowawszy zasady Feynmana, możemy teraz obliczyć amplitudę dowolnego procesu w dowolnym rzędzie teorii zaburzeń. Przy tym, w sposób naturalny pojawia się pytanie : czy istnieją jakiekolwiek następstwa inwariantności cechowania dla procesów fizycznych, które spełnione byłyby we wszystkich rzędach teorii zaburzeń, lub innymi słowami – takie następstwa, które są spełnione w sposób ścisły ?
Okazuje się, że takie następstwa mają miejsce w QED nazywają się one tożsamościami Warda. Istnieją również uogólnienia tych tożsamości na przypadek nieabelowy. Uogólnienia te odgrywają kluczową rolę w dowodzie
renoramlizowalności teorii z cechowaniem, a renormalizowalność jest konieczna po to, aby dana teoria miała sens i była prawdopodobna. Tożsamości Warda i ich uogólnienia formułuje się dla pełnych propagatorów i funkcji
wierzchołkowych – w niniejszym paragrafie naszym zadaniem będzie określenie tych właśnie obiektów.
W poprzednim rozdziale widzieliśmy, jak wykorzystywana jest teoria zaburzeń w celu obliczenia 2- i 4-punktowych funkcji Greena, a tzn. i procesów rozpraszania. Przekonaliśmy się, że masa cząstki określana jako biegun funkcji 2-punktowej, nie pokrywa się z gołą masą, a jest równa m + δm, przy czym w teorii φ4 mamy :
δm2 = -(1/2 )ig∆F(0).
Chcemy teraz rozpatrzyć problem sumowania wszystkich rzędów, a zatem ( zakładając, że teoria zaburzeń ma sens fizyczny ) również problem otrzymywania ścisłych funkcji Greena. W pierwszej kolejności będziemy mieli do czynienia z teorią φ4, wychodząc jednak poza jej ramy przy rozpatrywaniu inwariantności cechowania ( teoria φ4 nie jest teorią z cechowaniem )
Na początku przypomnimy pewne wyniki uzyskane w rozdziale 6 i wprowadzimy pewne nowe oznaczenia.
Poprzez Z oznaczaliśmy funkcjonał tworzący n-punktowych funkcji τ (x1, ... , xn ) lub funkcji Greena Gn
(x1, ... , xn ) τ (x1, ... , xn ) = Gn
(x1, ... , xn ) = (1/in ) δn Z[J] / δJ(x1) ... δJ(xn ) | J=0 (7.66) Funkcje te zawierają spójne ( lub nieprzywiedlne ) i niespójne ( przywiedlne ) części, przykładowo [ wzór(6.100) ] :
pierwsze jego dwie składowe są przywiedlne, a ostatnia nieprzywiedlna.
Do rozpraszania dają wkład tylko spójne funkcje Greena, które generowane są przez funkcjonał W, przy czym Z = eiW ,tak, że spójne funkcje Greena mają postać :
iφ (x1, ... , xn ) G(n)
c (x1, ... , xn ) = (1/in-1 ) δn W[J] / δJ(x1) ... δJ(xn ) | J=0 (7.68) W teorii φ4 z (7.67) otrzymujemy :
G4c = - ig
x
+ O(g2 ) (7.69)Widzieliśmy, że wielkość Gn może być wyrażona poprzez funkcje Gc – jest ona równa funkcji C(n)
c plus pochodna funkcji G(m)c tj. spójnych funkcji m-punktowych niższego rzędu m < n.
Było to użyteczne uproszczenie, oparte na klasyfikacji diagramów. Wprowadzimy teraz dalsza część tej klasyfikacji.
Pomijając współczynniki liczbowe, takie jak np. i ( spójną ) 2-punktową funkcje we wszystkich rzędach można przedstawić następująco :
Wszystkie te diagramy są spójne ( nieprzywiedlne) i musimy znaleźć metodę ich sumowania.
Otrzymywana przy tym suma nazywa się całkowitym lub (* complete or dressed *) ubranym propagatorem i jest oznaczana w następujący sposób :
Człony rzędu g i wyższe zwiększają wartość masy fizycznej – gołej „masy” m, a zatem prowadzą do pojawienia się
„energii własnej”. Wszystkie wprowadzone powyżej diagramy dają wkład do energii własnej.
Rozpatrzmy teraz diagram rzędu g2 :
Odpowiadające mu wyrażenie można przedstawić w postaci iloczynu :
Pierwszy i ostatni czynnik – są to po prostu propagatory zewnętrzne, które są ogólne dla wszystkich diagramów, dlatego wprowadzimy tzw. „odcięte diagramy” (* truncated diagrams *), mnożąc wyrażenia odpowiadające zewnętrznym końcom diagramu, przez wielkości odwrotne do propagatorów. Takie diagramy oznaczymy przez linie przerywane, np. :
Drugim diagramem rzędu g2 jest diagram :
a trzecim, diagram :
Analogicznie można rozpatrywać diagramy rzędu g3 i wyższych rzędów.
Jeśli chodzi o trzy wymienione powyżej diagramy rzędu g2 ,to pierwszy z nich przedstawia sobą iloczyn diagramów niższego rzędu, a dwa pozostałe – nie, związane jest to z tym, że pierwszy diagram zawiera propagator. Taki diagram nazywa się diagramem jednocząstkowo-przywiedlnym (* one particle reducible *). Można go podzielić na dwa diagramy, jeśli tylko przetniemy jego linie wewnętrzną. Własność ta jest niesłuszna dla innych diagramów, które z tego powodu nazywa się „jednocząstkowo-nieprzywiedlnymi” (* one particle irreducuble *) (1PI-diagramy ).
Opierając się na tej klasyfikacji, zdefiniujemy silnie spójną energetycznie-własną część (* self-energy part *) diagramu jako sumę 1PI-diagramu i oznaczymy ją następująco :
Zatem, całkowity propagator (7.70) ( w przestrzeni pędów ) może być wyrażony przez goły propagator (* bare propagator *) G0 (p) = i / ( p2 – m2 ) i silnie spójną, energetycznie-własną funkcje :
lub w postaci diagramu :
Definiując masę fizyczną mfiz jako biegun całkowitego propagatora :
Gc(2)(p) = i / ( p2 – mfiz2 ) (7.75)
Porównując ją z (7.73), otrzymujemy następującą zależność :
mfiz2 = m2 +
ΣΣΣΣ
(p) (7.76)która uzasadnia nazwę energetycznie-własnego członu
ΣΣΣΣ
. Człon ten reprezentuje zmianę masy od wartości „gołej” do„fizycznej”, obliczaną dla wszystkich rzędów teorii zaburzeń.
Z zależności (7.73) wynika następująca równość :
Gc(2)(p)-1 = G0(p)-1 – (1/i )
ΣΣΣΣ
(p) (7.77)Tak, że wielkość odwrotna do funkcji 2-punktowej, zawierają oprócz odwrotnego gołego propagatora tylko 1PI-diagramy. Jest ona przykładem funkcji wierzchołkowej i może być ona uogólniona.
Dwupunktowa funkcja wierzchołkowa Γ(2)(p) definiowana jest następująco :
Gc(2)(p) Γ(2)(p) = i (7.78)
Wraz z zależnością (7.77) prowadzi to do równości :
Γ(2)(p) = p2 – m2 –
ΣΣΣΣ
(p) (7.79)Pokażemy teraz, że istnieje funkcjonał tworzący dla funkcji Γ(n)(p). Oznaczany jest on przez Γ[φ] i określony jest na podstawie przekształcenia Legendre’a funkcjonału :
W[J] = Γ[φ] +
∫
dx J(x) φ(x) (7.80)Stąd wynika, że :
δW[J] /δJ(x) = φ(x) , δΓ[φ]/δφ(x) = - J(x) (7.81)
Dla propagatora otrzymujemy :
G(x, y) = - δ2W[J] /δJ(x)δJ(y) = - δφ(x)/δJ(y) (7.82)
Zdefiniujemy teraz jądro :
Γ(x, y) = δ2Γ[φ] /δφ(x)δφ(y) = - δJ(x)/δφ(y) (7.83)
Jest on oczywiście, odwrotne do propagatora tj. :
∫
dz G(x, z) Γ(z, y) = −∫
dz δ2W[J] /δJ(x)δJ(z) δ2Γ[φ] /δφ(z)δφ(y) =∫
dz ( δφ(x)/δJ(z)) (δJ(z)/δφ(y) ) =δφ(x)/δφ(y) = δ(x – y ) (7.84)
W istocie obrazem Fouriera tej równości powinna być równość : G( p, - p) Γ(p, -p ) = 1
a nie równość (7.78), która zawiera i w prawej części [ w której podstawiliśmy G(p, -p) = G(p) ].
Taką niewielką rozbieżność możemy wyeliminować, jeśli zdefiniujemy przekształcenia Fouriera jako :
G(x, y) = [ 1/(2π)8 ]
∫
dp dq exp[ i(px +qy ) G~(p, q ) (7.85)G~(p, q) =
∫
dx dy exp[ -i(px +qy ) G(p, q ) (7.86) i uwzględnić, że na mocy translacyjnej inwariantności :G~(p, q) = (2π)4 δ(p + q) G(p, q) (7.87)
( wszystkie całki δ-funkcji oraz iloczyny skalarne, wprowadzone powyżej, są oczywiście czterowymiarowe ) Jednocześnie dla 2-punktowych funkcji wierzchołkowych mamy :
Γ(x, y) = [ 1/(2π)8 ]
∫
dp dq exp[ i(px +qy ) Γ~(p, q ) (7.88)Γ~(p, q) = −i
∫
dx dy exp[ −i(px +qy ) Γ(p, q ) (7.89) I(p, q) = (2π)4 δ(p + q) Γ(p, q ) (7.90) Równania (7.84) i (7.78) są teraz zgodne (uzgodnione).Zróżniczkujmy obie części równania (7.84) :
∫
dz δ2W[J] /δJ(x)δJ(z) δ2Γ /δφ(z)δφ(y) = - δ( x – z’ ) po J(x’’ ) z uwzględnieniem zależności :δ/δJ(x’’ ) =
∫
dz’’ δφ(z’’ )/δJ(x’’ ) δ/δφ(z’’ ) = −∫
dz’’ G(x’’ , z’’ ) δ/δφ(z’’ ) Otrzymamy :∫
dz δ3W /δJ(x)δJ(x’’ )δJ(z) δ2Γ /δφ(z)δφ(z’ ) –∫
dz dz’’ δ2W /δJ(x)δJ(z) G(x’’, z’’ ) δ3Γ /δφ(z)δφ(z’ )δφ(z’’ ) = 0 i zatem :∫
dz δ3W /δJ(x)δJ(x’’ )δJ(z) Γ(z, z’ ) +∫
dz dz’’ G(x, z) G(x’’, z’’ ) δ3Γ /δφ(z)δφ(z’ )δφ(z’’ ) = 0Pomnożymy teraz obie strony ostatniej równości przez G(x’, z’ ) i scałkujemy po z’ z uwzględnieniem wzoru (7.84), to daje nam :
δ3W /δJ(x)δJ(x’’ )δJ(x’’) = −
∫
dz dz’ dz’’ G(x, z) G(x’, z’ ) G(x’’, z’’ ) δ3Γ /δφ(z)δφ(z’ )δφ(z’’ ) (7.91) Wskazuje ono na to, że spójna 1PI 3-punktowa funkcja przedstawia sobą nic innego jak nieprzywiedlną 3-punktową funkcje wierzchołkową, dla której liniami zewnętrznymi są propagatory. W postaci diagramów fakt ten przedstawiono na rysunku 7.1Rys. 71. Dwie reprezentacje dla zależności (7.91).
Zależność (7.91) można obrócić z pomocą wzoru (7.84), otrzymując :
δ3Γ /δφ(y)δφ(y’ ) δφ(y’’ ) = −
∫
dx dx’ dx’’ Γ(x, y) Γ(x’, y’ ) Γ(x’’, y’’ ) δ3W /δJ(x)δJ(x’ )δJ(x’’ ) (7.92) Ponieważ funkcje Γ(x, y) itp. są odwracalnymi propagatorami, to w prawej części powyższego równania stoi odcięta spójna funkcja 3-punktowa, pokrywająca się z 1PI 3-punktową funkcją.Różniczkując obie części równości (7.91) jeszcze raz, dojdziemy do wyrażenia dla funkcji 4-punktowej, które graficznie przedstawia rysunek 7.2
Rys. 7.2
Spójna funkcja 4-punktowa, jak łatwo zauważyć, zawiera 1PI- część (pierwszy człon po prawej ), której liniami zewnętrznymi są propagatory i trzy jedno-cząstkowe przywiedlne części, związane wzajemnie „crossingiem”
Z 1PI-funkcją Γ spotkamy się przy wprowadzaniu uogólnionych tożsamości Warda, jak również w następnym rozdziale przy omawianiu zagadnień spontanicznego naruszenia symetrii.
Wyprowadzona zależności ( lub schematycznie diagramy na rys. 7.1, 7.2 ) pokazują, że teoria może być zbudowana z wykorzystaniem albo W[J], albo Γ[φ], gdzie δW/δJ = φ , δΓ/δφ = - J oraz :
W = Γ +
∫
Jφ (7.93)To przekształcenie Legendre’a dopuszcza prostą interpretacje geometryczną i jest standardowo wykorzystywane również w termodynamice.
W istocie okazuje się bowiem, że istnienie dowolnie bliska analogia między KTP i mechaniką statystyczną ( termodynamiką ), która ujawnia się w podanym sformułowaniu KTP.
Niniejszy paragraf zakończymy rozpatrzeniem tego właśnie zagadnienia.