3.1 Lagranżjanowskie sformułowanie mechaniki cząstek

Rozdział 3. Sformułowanie Lagrange’a mechaniki, symetrie i pola cechowania.

§ 3.1 Sformułowanie Lagrange’a mechaniki cząstek.

(* Zobacz tekst pt. „Wprowadzenie do mechaniki analitycznej” *)

Wcześniej rozpatrywaliśmy tylko pola, odpowiadające cząstkom swobodnych o spinie ½ , takim jak elektron oraz cząstkom o spinie 1, takim jak foton. Jest jednak zupełnie jasne ( jest to prawie tautologia ), że możemy obserwować cząstki tylko dzięki ich oddziaływaniu. Zatem, ogromne znaczenie ma pytanie o to jak opisać oddziaływania cząstek w teorii pola. W latach 50-tych i 60-tych dopuszczano pewną dowolność w wyborze oddziaływania. Przykładowo, oddziaływanie pion –nukleon można było przedstawić albo w postaci ψ−Nγ5ψNφπ , albo w postaci

ψ−Nγµγ5ψN∂µφπ . Współczesne teorie nie dopuszczają takiej swobody. Wychodzą one od tego, że postać

oddziaływania między polami fundamentalnymi ( takimi jak elektrony, kwarki, wektorowe bozony oddziaływań słabych itd. ) dyktowany jest przez zasadę inwariantności cechowania. Zasada ta wynika z wymogu, aby wielkości zachowane, były zachowane nie tylko globalnie, ale i lokalnie. Globalne prawo zachowania ładunku elektrycznego byłoby spełnione, jeśli ładunek elektryczny, powiedzmy 10 [Q] znikając na Ziemi natychmiast pojawiłby się np. na Marsie. Jednakże pod pojęciem „zachowania ładunku” standardowo rozumiemy coś więcej. Takie zniknięcie jest niedopuszczalne, ponieważ standardowe wyobrażenia dotyczące ciągłości wymagają, aby znikanie ładunku w jednym punkcie powodowało pojawienie się prądu, dzięki któremu jest możliwe pojawienie się ładunku w drugim punkcie. (* oczywiście nie natychmiastowe *)

Takie zagadnienia stanowią treść twierdzenia Noether, które wiąże symetrie z prawami zachowania w ramach lagranżjanowskiego sformułowania teorii pola. Przy tym okazuje się, że dla tego, aby zachodziła symetria lokalna, konieczne jest aby istniało bezmasowe pole cechowania o spinie 1, oddziaływanie którego z polami „materii”

wyznaczone jest w sposób jednoznaczny.

Zasada ta daje nam pola EM, oddziaływań słabych i silnych, którym jako bozon pól cechowania odpowiada foton, bozon pośredniczący i gluon.

Zatem, rozpoczniemy od rozpatrzenia lagranżjanowskiego sformułowania teorii pola, która odgrywa nadzwyczaj ważną rolę we współczesnych wyobrażeniach dotyczących oddziaływań i symetriach. W fizyce klasycznej pod pojęciem sformułowania lagranżjanowskiego rozumiemy „zasadę najmniejszego działania”. Daje nam to dynamiczną zasadę, na podstawie której oparte jest sformułowanie zagadnienia. Kiedy w następnych rozdziałach przejdziemy do rozpatrzenia KTP, wykorzystamy również sformułowanie Lagrange’a w ramach feynmanowskiego formalizmu całkowania

funkcjonalnego, który jest ściśle związany ze sformułowaniem klasycznej teorii pola, opartego na zasadzie najmniejszego działania.

Najprostszym polem klasycznym, które rozpatrzymy, jest pole skalarne. Jednak, aby się zapoznać z metodami formalizmu Lagrange’a na początku rozpatrzymy mechanikę klasyczną cząstek punktowych i wyprowadzimy prawo ruchu Newtona z zasady najmniejszego działania.

§ 3.1 Lagranżjanowskie sformułowanie mechaniki cząstek.

W MK cząstka idealizowana jest w postaci punktu o masie m. Niech w chwili t znajduje się ona w położeniu x(t).

Jeśli cząstka porusza się w obszarze w którym energia potencjalna jest równa V(x), to drugie prawo Newtona mówi :

m d2x/dt2 = F = - dV/dx (3.1)

gdzie : F – jest siłą działającą na cząstkę.

Zasada najmniejszego działania daje możliwość wyprowadzenia tego równania. Lagranżjan L określony jest poprzez zależność :

L = T – V = ½ m ( dx/dt )2 – V(x) (3.2)

Gdzie : T i V – jest odpowiednio energią kinetyczną i potencjalną.

Działanie S określone jest poprzez zależność :

S =

∫

L dt (3.3)

Gdzie całkujemy po całej drodze od t1 do t2 jak to pokazuje rysunek 3.1 : t2

S =

∫

L( x, x^• ) dt (3.4)

t1

Rys. 3.1 Trajektoria w CP. Rys. 3.2 Niektóre z nieskończonej liczby trajektorii, przechodzących przez dwa punkty

Teraz i dalej wykorzystamy oznaczenia : dx/dt = x^• , d2x/dt2 = x^••

Przy przemieszczaniu się z punktu x(t1) do punktu x(t2 ) cząstka może poruszać się po jednej z nieskończenie wielu możliwych trajektorii typu przedstawionych na rysunku 3.2. Którą z nich cząstka wybiera w rzeczywistości ?

Odpowiedź na to pytanie daje nam zasada najmniejszego działania, która głosi, że dla trajektorii rzeczywistej wielkość S jest minimalna (* tak naprawdę zasada ta mówi, że S jest ekstremalna – minimalna lub maksymalna. Zobacz tekst pt.

„Wprowadzenie do mechaniki analitycznej” *)

Pokażemy teraz, że fakt ten prowadzi do prawa Newtona. W tym celu rozpatrzmy wariacje trajektorii : x(t) → x’(t) = x(t) + a(t) , a << x

Cząstka powinna znajdować się w punkcie x(t1) w chwili czasu t1 i w punkcie x(t2 ) w chwili t2. Zatem, punkty końcowe trajektorii są ustalone , a zatem :

a(t1 ) = x(t2 ) = 0 (3.5)

Po podstawieniu x → x’ działanie S przyjmuje postać

:

t2 t2

S → S’ =

∫

[ ½ m ( x^• + a^• )2 – V( x + a ) ] dt =

∫

{ ½ mx^•2 + mx^•a^• – [ V(x ) aV’(x )] dt + O(a2 ) = t1 t1

t2

= S +

∫

[ mx^•a^• – aV’(x ) ] dt ≡ S + δS t1

gdzie : t2

δS =

∫

[ mx^•a^• – aV’(x ) ] dt (3.6)

t1

V’(x) = dV(x)/dx

Jeśli wielkość S jest minimalna, to przy wariacji względem x mamy δS = 0. Pierwszy człon w wyrażeniu dla δS można scałkować przez części, co daje :

t2 t2 t2 t2

∫

x^•a^• dt = x^•a

|

−

∫

a x^••dt = −

∫

a x^••dt = −

t1 t1 t1 t1 [ ostatnia równość wynika z wzoru (3.5)]

Zatem dochodzimy do zależności : t2

δS = −

∫

[ max^•• – aV’(x ) ] dt = 0

t1

która jest spełniona, jeśli słuszna jest równość :

mx^•• = – V’(x ) (3.7)

która jest niczym innym jak prawem Newtona (3.1).

§ 3.2 Rzeczywiste pole skalarne, zasada wariacyjna i twierdzenie Noether.

Przejście od cząstki punktowej, znajdującej się w położeniu x(t), do pola φ(xµ ) = φ(x, y, x, t ) możemy poglądowo przedstawić jako „zamianę” x na φ, a t na xµ. Pole skalarne φ spełnia równanie Kleina–Gordona (2.16) :

( + m2 )φ = 0 (3.8)

jednakże powinno być jasne, że przy danym podejściu φ interpretujemy jako pole skalarne, a nie jako jednocząstkową funkcje falową, tak jak to było w rozdziale 2. W tym przypadku możemy zapytać czym jest m ?

Odpowiedź na to pytanie podamy w rozdziale 4, gdzie zobaczymy, że w wyniku kwantowania klasycznego pola skalarnego dochodzimy do jego interpretacji jako cząstek i, że takie cząstki posiadają masę m.

(* Zobacz tekst pt. Wprowadzenie do klasycznej teorii pola” , jak również dodatek w tłumaczeniu książki

„Klasyczne pola cechowania – Teorie bozonowe”; Dodatek 3 Klasyczna teoria pola. *)

Pokażemy teraz w jak wprowadzić równanie (3.8) z zasady wariacyjnej, zastosowanej do działania :

S =

∫

_{£( φ, ∂µφ ) d4x} (3.9)

Gdzie : ∂µφ ≡ ∂φ/dxµ

Wyrażenie (3.9) należy porównać z wyrażeniem (3.3) i (3.4). Funkcje £ nazywamy gęstością funkcji Lagrange’a, ponieważ wielkość

L =

∫

£ d3x

jest lagranżjanem.

Jednakże £ będziemy nazywali po prostu lagranżjanem. Zazwyczaj zakłada się, że £ zależy tylko od pola φ oraz od jego pierwszych pochodnych. Nie ma tu jednak konieczności, ponieważ wnioski, które wyprowadzimy dalej pozostają słuszne również w tym przypadku, kiedy £ zależy od pochodnych drugiego lub wyższych rzędów. Jednak dla uproszczenia będziemy przyjmować, że powyższy warunek jest spełniony. Zobaczymy, ze równanie Kleina-Gordona można wyprowadzić z następującego lagranżjanu :

£ = ½ (∂µφ ) ( ∂µφ ) – ½ m2φ2 = ½ [ (∂0φ )2 – (∇φ)2 – m2φ2 ] (3.10)

Rys. 3.3 Pole φ wydziela obszar R w CP.

Pole φ wypełnia 4- wymiarowy obszar R w CP, tak jak to schematycznie przedstawiono na rysunku 3.3.

W charakterze powierzchni przestrzennopodobnych – początkowej i końcowej, można wziąć przekroje t = t1 i t = t2 , które to tworzą część brzegu ∂R obszaru R. Rozpatrzmy teraz wariacje zmiennej polowej φ i wariacje współrzędnych x.

Wariacje te są równe zeru na brzegu ∂R :

xµ → x’µ = xµ + δxµ (3.11)

φ(x) → φ’(x) ≡ φ(x) + δφ(x) (3.11)

Dogodnie jest rozważyć przypadek, kiedy £ jawnie zależy od xµ :

£ = £ ( φ, ∂µφ , xµ ) (3.12)

Tak mamy w sytuacji, kiedy φ oddziałuje z źródłem zewnętrznym i nie mamy do czynienia z układem zamkniętym.

Ważne jest zauważyć , że wariacja δφ tak jak to określono we wzorze (3.11), jest wariacją funkcjonalną wielkości φ : φ’ porównywane jest z φ w tym samym punkcie CP xµ. Możemy jednak określić wariacje zupełną ∆φ pola φ poprzez zależność :

φ’(x’ ) = φ(x) + ∆φ(x) (3.13)

W przybliżeniu pierwszego rzędu względem δφ mamy :

∆φ = φ’(x’ ) – φ(x’ ) + φ(x’ ) – φ(x) = δφ + (∂µφ )δxµ (3.14) Wariacja działania jest równa :

δS =

∫

£( φ’ , ∂µφ’ , x’µ ) d4x’ –

∫

£( φ , ∂µφ , xµ ) d4x

gdzie : d4x’ = J(x’/x) d4x, przy czym J(x’/x ) – jest jakobianem przekształcenia x → x’.

Z (3.11) wynika równość :

∂x’µ/ ∂xλ = δµλ + ∂λ δxµ tak, że :

J(x’ /x ) = det( ∂x’µ/ ∂xλ ) = 1 + ∂µ (δxµ ) Mamy zatem :

δS =

∫

( δ£ + £ ∂µδxµ ) d4x (3.15)

gdzie :

δ£ = (∂£/∂φ) δφ + [ ∂£/∂( ∂µφ )] δ(∂µφ ) + ( ∂£/∂xµ ) δxµ (3.16)

Z wzoru (3.11) wynika, że δ(∂µφ ) = ∂µ δφ na mocy czego z (3.15) I (3.16) wynika :

δS =

∫

{ ( ∂£/∂φ) δφ + [ ∂£/∂ (∂µφ) ] ∂µ(δφ ) + ∂µ( £δxµ ) } d4x (3.17) R

Gdzie całkujemy po obszarze R CP.

Trzeci człon w tym wyrażeniu przedstawia sobą dywergencje zupełną. Człon drugi można zatem przepisać tak, aby pojawiła się dywergencja zupełna :

[ ∂£/∂ (∂µφ) ∂µ(δφ ) ] = ∂µ [ ∂£/∂ (∂µφ) ∂µ(δφ ) ] − ∂µ[ ∂£/∂(∂µφ) ] δφ

Całki od dywergencji zupełnych po R można przeobrazić w całki powierzchniowe po ∂R, wykorzystując czterowymiarowe uogólnienie twierdzenia Gaussa (2.257), to daje nam :

δS =

∫

{ ( ∂£/∂φ) − ∂µ[ ∂£/∂ (∂µφ) ] } δφ d4x +

∫

{ [ ∂£/∂ (∂µφ) ] δφ + £δxµ } dσµ (3.18) R ∂R

Umówiliśmy się już wcześniej, że wariacje wielkości φ oraz xµ zerują się na brzegu R : δφ = 0 , δxµ = 0 na ∂R

Dlatego prawy człon w wyrażeniu (3.18) jest równy zeru i otrzymujemy warunek stacjonarności działania w postaci : ( ∂£/∂φ) −∂/∂xµ [ ∂£/∂ (∂µφ) ] = 0 (3.19) Równanie (3.19) nazywa się równaniem Eulera-Lagrange’a dla wielkości φ. Jest to równanie ruchu dla pola φ,

analogiczne do newtonowskiego równania ruchu dla masy punktowej. Jak już wiemy, szukanym równaniem ruchu jest równanie Kleina-Gordona i teraz łatwo pokazać, że tak jak przewidywaliśmy, podstawienie lagranżjanu (3.10) do równania Eulera-Lagrange’a prowadzi do równania Kleina-Gordona. Zapiszmy lagranżjan (3.10) w postaci :

£ = ½ gκλ (∂κφ) ( ∂λφ

) – ½

m2φ2

( przypomnijmy, że κ, λ są indeksami niemymi ). To daje nam :

∂£/∂ φ = - m2φ ; ∂£/∂ (∂µφ) = gµν (∂νφ) = ∂µφ zatem, równanie Eulera-Lagrange’a przyjmuje postać :

∂µ∂µφ + m2φ ≡ φ + m2φ = 0

tj. otrzymujemy równanie Kleina-Gordona. Jeśli czytelnikowi wydaje się to czymś nadzwyczajnym, to rozwiewamy wątpliwości – lagranżjan (3.10) został celowo tak wybrany aby otrzymać równanie Kleina-Gordona.

Rozpatrzmy teraz drugie następstwo zasady wariacyjnej. Polega ono na tym, że jeśli działanie nie zmienia się przy zmianie parametryzacji wielkości φ i xµ, lub innymi słowy jest ono inwariantne względem pewnej grupie przekształceń, działającej na φ i xµ, to istnieje jedna ( lub więcej ) wielkość zachowana tj. kombinacja pól i ich pochodnych, która jest inwariantna względem wymienionych przekształceń. Ten bardzo ważny wynik jest właśnie treścią twierdzenia Noether, które to odgrywa nadzwyczaj istotną rolę w teorii pola i fizyce cząstek. Z twierdzenia tego wynikają prawa zachowania energii, pędu momentu pędu oraz prawa zachowania liczb „kwantowych”, które mogą charakteryzować cząstki elementarne, do takich liczb należą m.in. ładunek elektryczny, izospin, kolor, itp. ( Zgodnie z nieścisłą, ale ogólnie przyjęta terminologią przyjęto nazywać izospin, dziwność itp. „liczbami kwantowymi”. W odróżnieniu od liczb kwantowych n, l, m dla przypadku atomu wodoru nie jest całkiem jasne, czy wskazane wielkości mają odniesienie do teorii kwantowej, tj. czy są one zależne od h. Ładunek elektryczny nie zależy od h i dlatego ściśle powiedziawszy nie jest liczbą kwantową )

Istnieją jednakże wielkości zachowane innego typu, które są wielkościami „topologicznymi” w swojej naturze ich zachowanie nie jest związane z twierdzeniem Noether. Zagadnienie to poruszymy w rozdziale 10.

Teraz przeanalizujemy dokładnie twierdzenie Noether, a następnie zastosujemy go do praw zachowania energii, pędu i momentu pędu.

Powróćmy do wyrażenia (3.18) dla wariacji działania i przepiszmy człon powierzchniowy w następujący sposób : δS =

∫

{ (∂£/∂φ) − ∂µ[ ∂£/∂ (∂µφ) ] } δφ d4x +

∫

{[ ∂£/∂ (∂µφ) ] [ δφ + (∂νφ ) dxν ] – { [ ∂£/∂ (∂µφ) ] (∂µφ) − δµν £ } R ∂R

δxν } dσµ

Jak widać dodaliśmy i odjęliśmy ten sam człon. Drugi nawias kwadratowy w drugiej całce zawiera wariacje zupełną

∆φ, określoną wzorem (3.14). Człon [ ∂£/∂ (∂µφ) ] (∂µφ) − δµν £ definiuje tensor energii-pędu θµ ν :

θµν = [ ∂£/∂ (∂µφ) ] (∂µφ) − δµν £ (3.20)

To, że podana wielkość istotnie odpowiada swojej nazwie, zostanie pokazane później. Dalej mamy :

δS =

∫

{ (∂£/∂φ) − ∂µ[ ∂£/∂ (∂µφ) ] } δφ d4x +

∫

{[ ∂£/∂ (∂µφ) ] ∆φ – θµν δxν } dσµ (3.21) R ∂R

Załóżmy teraz, że działanie S jest inwariantne względem pewnej grupy przekształceń działających na φ i xµ. Niech odpowiednie przekształcenia infinitezymalne mają postać :

∆xµ = Xµν δων , ∆φ = Φµδωµ

(3.22)

Gdzie : δων - infinitezymalny parametr, Xµ

ν – macierz, Φµ – zbiór liczb.

Jeśli ν – jest indeksem, to grupa przekształceń jest czteroparametrowa, jednakże nie będziemy się ograniczali do tylko do tego przypadku. Indeks ν może być podwójny, tak jak to ma miejsce w przypadku przekształceń Lorentza. Zatem, liczba parametrów nie koniecznie musi być równa cztery, chociaż forma zapisu (3.22), wydawałoby się, że to sugeruje.

Oprócz tego możemy rozpatrzyć ogólniejszy przypadek, kiedy mamy multiplet pól skalarnych φi . W tym przypadku φi będą przekształcały się zgodnie ze wzorem :

∆φi = Φij δωj (3.23)

Gdzie : Φ - macierz.

Jeśli przyjąć wzory (3.22) bezpośrednio i założyć, że pole przekształcone φ spełnia równanie (3.19), to z wymogu δS = 0 z uwzględnieniem (3.21) i (3.22) otrzymujemy :

∫

{ [ ∂£/∂ (∂µφ) ] Φν − θµκ Xκ

,a ponieważ obszar R jest dowolny, to otrzymujemy :

∂µ Jµ

ν = 0 (3.26)

Zatem, mamy prąd zachowany ( tj. o dywergencji równej zeru ) Jµν , którego istnienie wynika z inwariantności działania względem przekształceń (3.22). W tym tkwi przyczyna istnienia ładunku zachowanego ( nie zależnego od czasu ) Q, określonego jako :

Qν =

∫

_{Jµν dσµ}

σ

( całkujemy po hiperpowierzchni przestrzennopodobnej σµ )

Jeśli w charakterze powierzchni całkowania wybierzemy hiperpowierzchnię t = const., to otrzymamy :

Qν =

∫

_{J0ν d}3x (3.27)

V

( całkujemy po trójwymiarowej objętości V )

Zachowanie wielkości Qν można dowieść, całkując równanie (3.26) względem objętości V :

∫

∂0 J0

ν d3x +

∫

∂i Ji

ν d3x = 0 V V

Drugi człon możemy przekształcić w całkę powierzchniową na podstawie ( trójwymiarowego ) twierdzenia Gaussa i jak można się przekonać jest ona równa zeru, jeśli tylko powierzchnia jest wybrana wystarczająco oddalona.

W wyniku tego mamy wyrażenie :

d/dt

∫

_{J0ν d}3x = dQν/dt = 0 (3.28)

Jest to właśnie sens twierdzenie Noether.

Zastosujemy je teraz do przypadku, kiedy przekształcenie (3.22) jest translacją w przestrzeni i czasie. W tym przypadku mamy :

∆xµ = εµ , ∆φ = 0 (3.29)

Lub : Xµν = δµ

ν , Φµ = 0 (3.30)

Wymaganie takiej inwariantności jest bardzo fundamentalne – przedstawia ono bowiem warunek tego, ze ( dla układów zamkniętych ) prawa fizyki są translacyjnie – inwariantne, tj. jednakowe np. w Londynie i na Andromedzie, jak również inwariantne względem przesunięć w czasie, tj. jednakowe wczoraj, dzisiaj i jutro. Jeśli te warunki nie byłyby spełnione, to oczywiście sama nauka byłaby niemożliwa. Ze wzoru (3.30) i (3.25) widzimy, że prąd zachowany w tym przypadku ma postać :

Jµν = - θµ

ν (3.31)

A odpowiednie prawo zachowania zapiszemy w postaci :

d/dt

∫

θ0ν d3x = 0 (3.32)

Pokażemy teraz, że wielkość : Pν =

∫

_{θ0ν d3x}

Jest 4-pędem lub energią-pędem pola φ ( tym samym uzasadnimy nazwę „tensor energii-pędu dla θµν ) Wykorzystując (3.20) mamy :

∫

_{θ00 d3x =}

∫

{ [ ∂£/∂ (∂0φ) ] ∂0φ − £ } d3x =

∫

[ ( ∂£/∂φ^• ) φ^• − £ ] d3x (3.33) gdzie : φ^• = dφ/dt.

Przypomnijmy, że w mechanice punktu materialnego zależność między hamiltonianem i lagranżjanem [1, rozdział 7 ], jest następująca :

H =

ΣΣΣΣ

_{pi q}^•i – L

Gdzie pęd pi określony jest poprzez równanie : pi = ∂L/∂q^•i

Zapisując odpowiednie zależności dla przypadku pól, widać, że prawa strona równań (3.33) reprezentuje sobą energię pola. To, że wielkość

∫

θ01 d3x jest pędem, wynika prosto z tego, że wielkość ∂φ/dxµ przy przekształceniach Lorentza przekształca się jak 4- wektor, tj. w szczególności jak energia- pęd.

Zatem, zachowanie energii i pędu ma miejsce dla dowolnego układu, którego lagranżjan ( a zatem i działanie ) nie zależy od xµ. Jest to zgodne z wcześniejszą uwagą ( po wzorze (3.12), że taki układ nie może wymieniać energii i pędu ze swoim otoczeniem. Podstawiając lagranżjan (3.10) do wyrażenia (3.20) dla tensora energii- pędu θµν otrzymujemy :

θµν = (∂µ φ) (∂νφ ) – gµν£ (3.34)

Dane wyrażenie jest oczywiście, symetryczne względem indeksów µ i ν. Zatem, w przypadku pola skalarnego tensor energii-pędu jest symetryczny. Jednak nie zawsze tak jest. Z definicji (3.20) wynika, że tensor θµν ogólnie mówiąc, nie jest symetryczny. Jednocześnie nie jest on również określony w sposób jednoznaczny, możemy bowiem dodać do niego człon ∂λf µλν , gdzie fλµν = - f µλν , tak, że :

∂µ∂λ f λµν ≡ 0 (3.35)

Zatem, jeśli zdefiniujemy wielkość :

Tµν = θµν + ∂λf λµν (3.36)

którą będziemy nazywali kanonicznym tensorem energii- pędu, to otrzymamy :

∂µTµν = ∂µθµν = 0 (3.37)

przy czym, wielkość fµν może być wybrana w taki sposób, aby tensor Tµν był symetryczny. Całkowity 4- pęd układu przy tym nie zmienia się, ponieważ ( i = 1, 2, 3 ) :

∫

∂λ fλ0ν d3x =

∫

∂i fi0ν d3x =

∫

fi0ν dσi = 0 σ

( wykorzystano tutaj twierdzenie Gaussa )

Ostatnia równość wynika z tego, że powierzchnia σ znajduje się w nieskończoności, gdzie pola nie występują. Zatem, chociaż tensor energii- pędu nie jest określony w sposób jednoznaczny, sama energia i pęd określone są jednoznacznie.

Istnieją pewne powody ( dwojakiego rodzaju ) według których wymagamy, aby tensor energii- pędu był symetryczny.

Po pierwsze, zgodnie z OTW, jest to tensor wchodzący do prawej strony einsteinowskich równań pola :

Rµν – ½ gµν R = - ( 8πG/c2 ) Tµν (3.38)

i określa krzywiznę przestrzeni. Ponieważ tensor Ricciego Rµν i tensor metryczny są symetryczne, to tensor Tµν również powinien być symetryczny.

Po drugie, symetria tensora Tµν jest wymagana zgodnie z pewnymi własnościami związanymi z momentem pędu.

Wymagamy bowiem inwariantności działania względem obrotów przestrzennych :

δxi = εijxj , εij = - εji ( i, j = 1, 2,3 ) (3.39)

δφ = 0 (3.40)

Ponieważ grupa obrotów jest podgrupą grupy Lorentza, można w następujący sposób uogólnić zależność (3.39) :

δxµ = εµν xν , εµν = - ενµ (3.41)

Równość tę możemy zapisać w postaci :

δxµ = Xµρσ ερσ , Xµρσ = δµρxσ (3.42)

tak aby sprowadzić formę zapisu zgodna z (3.22). Przy tym indeks ν, wchodzący do wzoru (3.22), jest indeksem podwójnym. Z zależności (3.25) ( podstawiając Φ = 0 i Tµν w miejsce θµν ) otrzymujemy zachowany prąd Noether :

Jµρσ = - Tµκ Xκρσ = - Tµρxσ (3.43)

Ponieważ wielkość ερσ wchodząca do (3.42) jest antysymetryczna po ρ i σ, wkład do (3.42) daje tylko antysymetryczna po indeksach dolnych część wielkości X. Zatem, możemy dokonać zamiany :

Xµρσ→ ½ ( Xµρσ – Xµ σρ )

Dzięki czemu w miejsce (3.43) otrzymamy :

Jµρσ = - ½ ( Tµρ xσ – Tµσxρ ) (3.44)

Składowa tego prądu, odpowiadająca wartości µ = 0 ( z dokładnością do czynnika liczbowego ), przedstawia sobą gęstość momentu pędu pola. Moment pędu zadany jest wyrażeniem :

Mµν =

∫

( T0µ xν – T0ν xµ ) d3x (3.45)

a dywergencja tensora Ŧρµν jest równa zeru :

∂ρ Ŧρµν = 0 (3.48)

Podstawienie wyrażenia Ŧρµν = Tρµ xν – Tρν xµ do tej równości z uwzględnieniem tego, że ∂ρ Tρα = 0 ( wzór (3.37) ) oraz ∂ρ xα = δαρ, daje :

Tµν = Tνµ (3.49)

Zatem, aby spełnione jest prawo zachowania momentu pędu, tensor energii-pędu powinien być symetryczny. Jest to drugi powód dla którego wymagamy symetrii tensora Tµν.

Dla ścisłości, należy zauważyć, że trzema składowymi momentu pędu układu są trzy przestrzenne składowe tensora Mµν , określonego przez zależność (3.45) : M12 , M23 , M31. Trzy przestrzenno- czasowe składowe M01 ,M02 , M03 , opisują ruch środka masy układu i są zachowane dzięki inwariantności względem przekształceń czysto lorentzowskich ( „boostów” ) [ wzór (3.41) ].

Tymi wnioskami kończymy nasze badania praw zachowania – energii, pędu i momentu pędu. Wszystkie te prawa wynikają z symetrii CP na mocy twierdzenia Noether przy niezerowych wartościach wielkości Xµν , w zależności (3.25).

Zajmiemy się teraz ładunkiem elektrycznym, który jak wiadomo jest również wielkością zachowaną. Jeśli wynika to z symetrii działania, to co to jest za symetria ?

Nie jest ona w określony sposób związana z wielkościami Xµν we wzorze (3.25), ponieważ wszystkie takie symetrie zostały przez nas uwzględnione. Maksymalna symetria, którą możemy dysponować w przestrzeni Minkowskiego, składa się z translacji przestrzennych, przesunięć w czasie, obrotów i boostów. Wszystkie te symetrie już rozpatrzyliśmy.

Dowolna dodatkowa symetria powinna być związana z Φµ. Innymi słowy, pole skalarne powinno mieć więcej niż jedną składową ( Nie bierzemy pod uwagę przypadków pól spinorowych lub wektorowych, kiedy to różne składowe związane są poprzez przekształcenia CP. Następstwem tego faktu jest to, że zachowany tensor momentu pędu zawiera dodatkowe człony, interpretowane jako spin wewnętrzny i nie mające nic wspólnego z ładunkiem ! Pole Diraca w tym kontekście będzie rozpatrzone w dalszej kolejności ). W najprostszym przypadku pole φ posiada dwie składowe. Pole o dwóch składowych rzeczywistych, matematycznie jest równoważne jednemu polu zespolonemu., do którego rozpatrzenia przystąpimy teraz.

W dokumencie Kwantowa teoria pola Lewis H. Ryder (Stron 56-62)