ło więc pytanie, jak scharakteryzować słabą zbieżność ciągu procesów na C([0, 1]) za pomocą ich rozkładów skończenie wymiarowych, tyle że rozpatrywanych równocze-śnie – biorąc jednoczerównocze-śnie pod uwagę wszystkie rozkłady skończenie wymiarowe i na-kładając odpowiedni warunek jednostajności na ich zbieżność. W roku 1961 ukazała się w „Annals of Mathematical Statistics” praca Roberta Bartoszyńskiego, rozwiązująca ów problem w przypadku nieporównanie bardziej ogólnym, a mianowicie w przypadku miar probabilistycznych na metrycznej przestrzeni zupełnej i ośrodkowej (przy czym, jak zauważył w swojej pracy autor, założenie zupełności można było łatwo usunąć, nieznacznie tylko modyfikując dowody). Z twierdzeń ogólnych dla miar na C([0, 1]) Bartoszyński otrzymał charakteryzację słabej zbieżności miar probabilistycznych. Uzyskane wyniki weszły na stałe do literatury.
Młodym Bartoszyńskim, jeszcze na studiach, opiekował się prof. Marek Fisz, który też ściągnął go do IM PAN, do prowadzonego przez siebie Działu Statystyki Matematycznej. W Instytucie spotkał tych, którym najbardziej na sercu leżały zastosowania matematyki – prof. Jana Oderfelda i, co prawda mieszkającego we Wrocławiu, ale sprawującego pie-czę nad wszystkimi matematykami PAN-owskimi zajmującymi się zastosowaniami, prof. Hugona Steinhausa. Ci trzej uczeni na pewno wywarli wpływ na młodego, znakomicie zapowiadającego się probabilistę. Czwarty był William Feller, czy ściślej – jego dzieło, które bez wątpienia współwyznaczyło naukową drogę Roberta Bartoszyńskiego, a tak-że jego podejście do dydaktyki. Niezrównany kunszt warsztatowy Bartoszyńskiego, zdolność pięknego rachowania, głębia myśli probabilistycznej zostały wprzęgnięte do pracy w dziedzinie teorii procesów stochastycznych i przede wszystkim probabilistycz-nego modelowania zjawisk biologicznych. Świat zapamiętał prof. Bartoszyńskiego jako wybitnego „bioprobabilistę”.
Pracom nad modelami towarzyszyły ważne lub bardzo ważne prace z dziedziny pro-cesów stochastycznych, często inspirowane badaniami nad modelami biologicz-nymi: między innymi już wspomniane prace nad charakteryzacją słabej zbieżności; prace związane z modelowaniem epidemii, dotyczące asymptotyki procesów gałąz-kowych; zasada niezmienniczości dla błądzenia losowego „obserwowanego od czasu do czasu przez jakiś czas, być może za każdym razem innej długości, ale wspólnie ograniczony”; praca na temat prędkości zbieżności w słabym prawie wielkich liczb, rozwijająca wcześniejsze badania Erdösa, Hsu i Robbinsa oraz Révésza; analiza su-perkrytycznych liniowych procesów urodzin i śmierci z katastrofami prowadzącymi do wymarcia części populacji (zgodnie z rozkładem dwumianowym, w którym praw-dopodobieństwo zabicia jednostki jest proporcjonalne do czasu, jaki upłynął od po-przedniej katastrofy); analiza procesu kolejkowego z wykładniczym czasem między przybyciami klientów, wykładniczym czasem obsługi, gdy jedyna obsługująca ma-szyna pracuje, wykładniczym czasem pracy maszyny do jej zepsucia, wykładniczym czasem naprawy maszyny oraz stałym prawdopodobieństwem odejścia klienta pod-czas naprawy maszyny obsługującej.
Pierwszym dużym dziełem Roberta Bartoszyńskiego z dziedziny modelowania zjawisk biologicznych była analiza zjawiska epidemii choroby zakaźnej. Modele klasyczne
opie-rały się na procesach Markowa i założeniu proporcjonalności wiążącej liczbę nowych zachorowań w krótkim przedziale czasu zarówno z liczbą jednostek już zarażonych, jak i narażonych na zarażenie. W modelach takich nie było praktycznej możliwości uwzględnienia geograficznej (czy innej) niejednorodności środowiska, w którym roz-wija się epidemia. Teoretycznie można było przyjąć, że jednostki nie tylko różnią się sta-nem zdrowia, lecz należą ponadto do różnych „kategorii”, ale prowadziło to do modeli zbyt złożonych, by można było wyciągnąć z nich jakieś wnioski. Wprowadzenie modeli opartych na procesach gałązkowych i podjęcie badań metodami właściwymi analizie takich procesów pozwoliło Bartoszyńskiemu podać wiele nowych wyników, opisują-cych warunki zaniku lub „zwycięstwa” (populacja zarażonych dąży do nieskończoności) epidemii. Bartoszyński uwzględniał przy tym albo migrację jednostek w środowisku, albo zmiany zaraźliwości w czasie rozwijania się epidemii, albo możliwość wykrycia choroby u jednostki i jej wyeliminowania z populacji. Na przykład w tym ostatnim przy-padku poczynione zostały następujące założenia:
– każda zarażona jednostka przechodzi przez okres inkubacji o długości X, a następnie przez okres, w którym choroba jest zaraźliwa, o długości Y ; dany jest łączny rozkład zmiennych X i Y;
– podczas choroby, trwającej X +Y (powiedzmy dni), choroba może zostać wykryta i jej nosiciel usunięty z populacji; warunkowe prawdopodobieństwo wykrycia danego dnia, pod warunkiem niewykrycia wcześniej, wynosi 1–α podczas inkubacji i 1–β pod-czas fazy zaraźliwości choroby;
– każdego dnia zaraźliwości każda niewykryta jednostka spotyka K jednostek zdro-wych, gdzie K jest zmienną losową o znanym rozkładzie i średniej r; liczby kontaktów w różnych dniach są niezależne i mają ten sam rozkład;
– każdy kontakt ze zdrową jednostką prowadzi do zarażenia z prawdopodobieństwem
γ, niezależnie od innych kontaktów;
– opisane wyżej zdarzenia są niezależne dla różnych jednostek.
Podane założenia określają proces gałązkowy {Zn} liczby zarażonych jednostek w n-tym pokoleniu rozwoju epidemii. O procesie Zn wiadomo, że
P{lim Zn = 0 lub lim Zn = ∞} = 1.
Udowodnione w pracy pt. Branching Processes and Models of Epidemics (Dissertationes Math., 61 (1969)) twierdzenie podaje warunek konieczny i wystarczający zaniku epi-demii (P{lim Zn = 0} = 1), wiążący funkcję tworzącą rozkład łączny zmiennych X i Y oraz stałe α, β, γ i r. Warto tu zwrócić uwagę, że wielkości, w języku których wyrażony został wspomniany warunek konieczny i wystarczający, można w praktyce wyznaczyć. Twier-dzenie to przytoczyliśmy po to, by pokazać, że Bartoszyński zawsze przykładał ogrom-ną wagę do tego, by jego analizy odnosiły się do rzeczywistych problemów, były wolne od nieuprawnionych założeń upraszczających oraz prowadziły do wyników mających rzeczywiście praktyczne znaczenie.
Nie sposób, choćby pobieżnie, omówić wszystkie dziedziny, w których modele zapro-ponowane przez Roberta Bartoszyńskiego znalazły sobie trwałe miejsce w literaturze.
Przykładowo, omawiając problematykę związaną z analizą rozwijania się epidemii, pominęliśmy podany i zbadany w wymienionej w poprzednim akapicie pracy model rozprzestrzeniania się chorób niezakaźnych. Wspomnimy jednak jeszcze o procesach znanych dziś w literaturze pod nazwą procesów Bartoszyńskiego, czyli o procesach związanych z analizą niebezpieczeństwa wścieklizny. Chodzi tu o proces stochastycz-ny, opisujący liczbę wirusów wścieklizny w centralnym układzie nerwowym człowie-ka zarażonego tą chorobą oraz o losowy moment wystąpienia pierwszych objawów choroby (ten moment może nigdy nie nastąpić). W największym skrócie, realizacje procesu liczby wirusów wzrastają skokami i maleją wykładniczo między skokami, przy czym szybkość malenia zmienia się w chwili szczepienia; wielkości skoków są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie; momenty skoków są także zmiennymi losowymi, przy czym intensywność skoków jest proporcjonalna do wartości procesu w danej chwili. W jednej z prac moment wystąpienia pierwszych objawów wścieklizny równy jest chwili przekroczenia przez proces liczby wirusów zadanego progu. W innej pracy moment ten jest pierwszym zdarzeniem w pewnym procesie punktowym, którego intensywność jest proporcjonalna do wartości proce-su liczby wirusów. Zasadnicze wyniki prof. Bartoszyńskiego dotyczyły prawdopodo-bieństwa tego, że czas oczekiwania na wystąpienie pierwszych objawów choroby jest większy od zadanej wartości.
Wspomnimy także o pracach prof. Bartoszyńskiego na polu modelowania interakcji między drapieżnikami i ofiarami (m.in. praca Chances of Survival under Predation, Math. Biosci., 33 (1977), 135–144) oraz serii pionierskich prac dotyczących modelowania roz-woju nowotworu złośliwego (dalej zwanego rakiem; m.in. prace ze współpracownika-mi pt. Nonparametric Techniques for Estimating the Intensity Function of a Cancer Related
Nonstationary Poisson Process, Ann. Statist., 9 (1981), 150–160, On Estimating the Growth of Tumors, Math. Biosci., 67 (1983), 145–166, Estimation of Human Tumor Growth Rate from Distribution of Tumor Size at Detection, J.N.C.I., 72 (1984), 31–39, Some Stochastic Models on Cancer Metastases, Stochast. Models, 1 (1985), 317–339). W przypadku
mode-lowania interakcji prof. Bartoszyński, wspólnie z Wolfgangiem Bühlerem, rozważał dwa typy modeli. W pierwszym modelu liczebność ofiar rosła tylko w regularnie powtarza-jących się chwilach rozmnażania, przy czym każdy osobnik rozmnażał się niezależnie i zgodnie z tym samym rozkładem liczby dzieci, zadanym taką funkcją tworzącą f, że
f(0) > 0 oraz pochodna f(1) ma znaną wartość. Między rozmnożeniami liczebność ofiar
jest czystym liniowym procesem śmierci o intensywności będącej sumą dwóch skład-ników – składnika stałego i składnika proporcjonalnego do liczebności drapieżskład-ników. Proces drapieżników jest liniowym procesem urodzin i śmierci o stałych intensywno-ściach urodzin oraz śmierci i zależnej od czasu intensywności imigracji. Badania opiera-ły się tu na własnościach Markowa i zauważeniu, że pewna funkcja liczebności ofiar jest martyngałem. W drugim modelu rozmnażanie się w danym momencie populacji ofiar opisane zostało za pomocą procesu Galtona-Watsona w losowym środowisku (z loso-wością „środowiska” wynikłą z działania drapieżników przed momentem rozmnożenia). W tym drugim modelu proces drapieżników nie musiał być procesem urodzin i śmierci z imigracją i ponadto proces ów mógł na liczebność ofiar wpływać inaczej niż w mode-lu pierwszym. Autorzy potrafili rozwiązać problem ze stacjonarnym i niestacjonarnym
procesem zmiany środowiska. Zasadniczym przedmiotem rozważań była analiza praw-dopodobieństwa przeżycia ofiar.
Badania nad rozwojem raka rozpoczął prof. Bartoszyński wspólnie z Jamesem Thomp-sonem oraz współpracownikami tego ostatniego z Instytutu Raka w Houston (w swojej pracy korzystali także z bardzo dobrej bazy danych warszawskiego Instytutu Onkologii). Starając się te ogromnie istotne i rozległe badania zarysować w lapidarnym skrócie, trze-ba przynajmniej wymienić zasadnicze kierunki trze-badawcze: modelowanie wzrostu guza za pomocą wspólnej dla wszystkich guzów funkcji wzrostu (ale w jednej z prac ze współ-czynnikiem skalującym różnym dla różnych pacjentów, opisywanym rozkładem gamma); poissonowski model chwili wykrycia guza z intensywnością proporcjonalną do jego wiel-kości; niestacjonarny poissonowski model chwil przerzutów; modyfikacje podanych mo-deli, wynikłe z obserwowanej niezgodności między obserwacjami rozwoju pewnych ty-pów raka a wnioskami płynącymi ze stosowania tych modeli; wspólna z Premem S. Purim analiza modelu interakcji między liczebnością komórek rakowych oraz liczebnością an-tyciał. Każdy z tych kierunków miał wielkie znaczenie dla lepszego zrozumienia rozwoju raka, zaś wyprowadzenie z przyjętych założeń o modelu interesujących twierdzeń wy-magało zaangażowania do pracy umiejętności obliczeniowych Roberta Bartoszyńskiego. Każdy z tych kierunków badań nad rozwojem raka był nadzwyczaj ciekawy. Na przy-kład opracowane przez Bartoszyńskiego i in. pierwsze modele powstawania przerzu-tów implikowały, jak się okazało, że przerzuty powstają z dużym prawdopodobień-stwem na krótko przed chwilą, w której guz staje się wykrywalny. To z kolei implikowało stosunkowo długi czas do wykrycia przerzutu (guz wtórny musiał urosnąć) i zarazem stymulowało badania nad poprawą metod (przyspieszeniem chwili) wykrycia guza pierwotnego. Tymczasem, przynajmniej w przypadku pewnych typów raka, ów czas do kolejnego wykrycia guza okazał się zaskakująco krótki. Potrzebne były więc nowe modele, które nie tylko lepiej opisałyby takie typy raka, ale także zasugerowały inny sposób walki z chorobą, nieprzeceniający roli wczesnego usunięcia guza pierwotnego. Kończąc to niepełne i bardzo skrótowe spojrzenie na dorobek prof. Bartoszyńskiego, na który złożyły się 73 prace, należy poruszyć jeszcze przynajmniej dwie kwestie. Po pierwsze w dorobku tym znajdują się także znakomite prace metodologiczne, na przy-kład z pogranicza matematyki i podstaw prakseologii (z początku lat 60. ub. wieku) oraz ważne prace ściśle statystyczne, na przykład te, które bezpośrednio podejmo-wały problemy estymacji czy testowania. Inne dotykały metodologicznych podstaw statystyki, jak fundamentalna praca na temat redukowalności struktur statystycznych z roku 1980 lub piękne prace z taksonomii opartej na subiektywnych klasyfikacjach (m.in. On the Constructions and Evaluation of Subjective Classifications, Appl. Math., 12 (1971), 1–21, oraz On a Metric Structure Derived from Subjective Judgments: Scaling
un-der Perfect and Imperfect Discrimination, Econometrica, 42 (1974), 55–71). Inne prace
miały znaczenie podstawowe dla statystyki, gdyż lepiej uzasadniały stosowaną już przez statystyków metodę. Należy do nich jedna z ostatnich prac prof. Bartoszyńskie-go, napisana wspólnie z Jen-Fue Maa i Dennisem Pearlem, Reducing multidimensional
1069–1074. Mianowicie, najbardziej popularną techniką porównywania dwóch roz-kładów F i G na Rk na podstawie dwóch prób wektorów losowych, X ~ F oraz Y ~ G jest analiza jednowymiarowych rozkładów odległości h między elementami prób. Przy bardzo ogólnych założeniach o funkcji h autorzy wykazali, że zarówno równość rozkładów wewnątrz próby, czyli równość rozkładów odległości h(X1 X2) oraz h(Y1 Y2), jak i równość
rozkładów odległości między próbami, czyli równość rozkładów odległości h(X1 X2) oraz
h(X3 Y3), równoważna jest równości rozkładów F i G.
Ostatnią poruszoną kwestią niechaj będzie działalność popularyzatorska i dydaktyczna prof. Bartoszyńskiego, a w tym opus magnum profesora oraz Magdaleny Niewiadomskiej- -Bugaj, czyli podręcznik Probability and Mathematical Statistics (Wiley, New York, NY, 1996). Robert Bartoszyński był redaktorem naczelnym „Matematyki Stosowanej” praktycznie od początku, bo od roku 1972 (pierwszy numer pisma ukazał się w roku 1973) do roku 1982. Od roku 1975 do 1990 był członkiem Komitetu Redakcyjnego „Zastosowań Matematyki”. Wystarcza spojrzeć na spis jego publikacji, by zobaczyć, jak wiele prac zamieścił w tych czasopismach. Robert Bartoszyński był prawdziwym me-cenasem tych czasopism, tak jak był meme-cenasem znanych kiedyś Kursów Zastosowań Matematyki.
Profesor Bartoszyński przetłumaczył książkę Fellera An Introduction to Probability
The-ory and Its Applications, vol. I and vol. II na język polski (pierwszy tom wspólnie z B.
Bieleckim) i książkę Fisza Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna na język angielski. Kochał uczyć i był wspaniałym nauczycielem akademickim. Z tej miło-ści, i takiej samej miłości do probabilistyki, powstał wspomniany wyżej podręcznik. Na łamach biuletynu Międzynarodowego Instytutu Statystycznego (ISI) J. L. Teugels tak opisywał ten podręcznik:
To książka bardzo różna od typowych podręczników z definicjami, twierdzeniami, dowodami i przykładami. Oczywiście wszystko to można tam także znaleźć, ale jej styl czyni ją zaskakująco nietypową. Pojęcia i metody ilustrowane są przykładami, które w istocie tworzą kręgosłup książki. Nauczyciele poszukujący przykładów inspirujących do myślenia stochastycznego na pewno ła-two w niej znajdą coś szczególnie odpowiadającego ich gustom. Pokazane jest „dlaczego” meto-dy działają, a nie tylko „jak” działają. By pomóc czytelnikowi skłonnemu do technicznej przygometo-dy, książka zawiera rozdziały oraz podrozdziały zaznaczone gwiazdką i dla niego tylko przeznaczone. To książka odświeżająca, którą należy gorąco polecić, nawet do samodzielnego studiowania, tak bowiem wielkie bogactwo inspirujących problemów znajduje się na końcu każdego rozdziału.
Czytelnicy czują w niej ducha Fellera i bez trudu dostrzegają głębię myśli, której jest owocem.
Profesor Bartoszyński cieszył się wielkim i jakże zasłużonym uznaniem na całym świe-cie. Było członkostwo ISI i członkostwo Instytutu Matematycznej Statystyki (IMS), liczne zaszczyty i zaproszenia. Wszyscy ogromnie go poważali i lubili, każde spotkanie z nim było radością – intelektualną i zwykłą, ludzką. Zachwycał jego delikatny, łagodny, ale jakoś ironiczny, rzec można, filozoficzny zmysł humoru. Kto spotkał Roberta
Bartoszyń-skiego od razu wiedział, z jak znakomitym „matematykiem-modelarzem” i nauczycie-lem ma do czynienia. Dla swych kolegów i koleżanek wiele znaczył jako wspaniały, pe-łen przyjaźni i dobroci człowiek.
Niniejszy biogram jest skróconą wersją biogramu, jaki ukazał się w „Wiadomościach Matematycznych” XXXV (1999).
Dobiesław Bobrowski urodził się 7 lipca 1927 roku w Zbąszyniu. Ojciec Włodzimierz był ogrodnikiem i administratorem domów, a matka Rozalia z Konowalskich – gospodynią domową. Dobiesław przebywał w Zbąszyniu do roku 1939 i tam ukończył sześć klas szkoły powszechnej. W grudniu tegoż roku został wraz z rodzicami i siostrą wysiedlony do wsi Paprotnia w powiecie sochaczewskim. Tam uczęszczał na komplety oraz samo-dzielnie przygotowywał się do matury. Od stycznia 1944 roku pracował na dworcu ko-lejowym w Sochaczewie jako pomoc biurowa. W sierpniu 1944 roku wywieziony został na przymusowe roboty do Niemiec. Pracował jako robotnik przeładunkowy na dworcu szczecińskim w Berlinie. W grudniu 1944 roku udało mu się zbiec do Paprotni, gdzie ukrywał się do końca wojny.
Po wyzwoleniu zamieszkał w Poznaniu i podjął naukę w Państwowym Gimnazjum i Liceum im. św. Jana Kantego. Świadectwo dojrzałości uzyskał w 1946 roku. W latach 1945–1947 należał do Związku Młodzieży Demokratycznej i z ramienia tego związku uczestniczył w Światowym Festiwalu Młodzieży Demokratycznej w Pradze. W latach akademickich 1946–1951 studiował matematykę na Wydziale Matematyczno-Przyrod-niczym Uniwersytetu Poznańskiego. Stopień magistra filozofii w zakresie matematyki otrzymał w 1951 roku. Pracę magisterską Bezaksjomatyczne systemy rachunku zdań na-pisał pod kierunkiem profesora Kazimierza Ajdukiewicza. Od 1946 roku do 1951 roku był kontraktowym nauczycielem matematyki i fizyki w Gimnazjum Handlowym i Pań-stwowym Zakładzie Kształcenia Administracyjno-Handlowego w Poznaniu, a w latach 1951–1957 w Technikum Statystycznym w Poznaniu. Od 1949 roku do 1951 roku praco-wał w Katedrze Teorii i Metodologii Nauk na Wydziale Matematyczno-Przyrodniczym Uniwersytetu Poznańskiego w charakterze kontraktowego zastępcy asystenta. Kate-drą kierował Kazimierz Ajdukiewicz. Od 1951 roku zatrudniony został jako asystent w Katedrze Matematyki na Wydziale Elektrycznym Szkoły Inżynierskiej w Poznaniu, a od 1955 roku jako adiunkt na Politechnice Poznańskiej. Kierownikiem Katedry był