Klasyczna teoria perturbacji
3.4 Twierdzenie Kołmogorowa-Arnolda-Mosera
Wspomniany, zasadniczy przełom związany jest z pojawieniem się twierdzenia sformułowanego w 1954 roku przez Kołmogorowa, a następnie udowodnionego na początku lat 60-tych XX wieku, kolejno przez Arnolda i Mosera
[ 14, 15, 16 ]. Wykorzystując przyjęte przez Arnolda oznaczenia, załoŜymy, Ŝe pewna ( całkowalna) funkcja Hamiltona H0 zaburzona za pomocą funkcji H1 w następujący sposób :
H = H0(I) + H1(I, θθθθ ) (3.4.1)
Gdzie H1 powinna być periodyczna względem zmiennych kątowych tj. H1(I, θθθθ + 2π ) = H1(I, θθθθ ) i w określonym sensie powinna być „dostatecznie mała” tj. H1<< 1
( Przykładowo moŜna uwaŜać, Ŝe H1 pomnoŜona jest przez mały parametr ε ) Równania Hamiltona w tym przypadku mają postać :
I•
i = -∂H1/∂θ , θ•i = ωi (I) + ∂H1/ ∂Ii (3.4.2)
Gdzie : ωi - częstości nieperturbowane tj. ωi = ∂H0/∂Ii.
Dla większości warunków początkowych Kołmogorow naszkicował dowód stwierdzenia, Ŝe ruch (3.4.1) pozostaje periodycznym tj. ograniczony jest torusami, i miara ( w sensie Lebesgue’a ) dopełnienia do ruchu quasi-periodycznego ( tj. ruchu chaotycznego ) jest mała przy warunku, Ŝe H1 jest małe.
Twierdzenie KAM formułuje się przy załoŜeniu analityczności hamiltonianu w obszarze zespolonym Ω, przestrzeni fazowej oraz nieosobliwości ruchu nieperturbowanego tj. :
det | ∂ωi/∂Ij | = det | ∂2H0/∂Ii∂Ij | ≠ 0 (3.4.3)
Następny krok polega na tym, aby w układzie nieperturbowanym uzyskać zgodnie z odpowiednim zbiorem częstości ω = ω(I) określony torus ( oznaczmy go przez T0 ). W tym celu wybierzmy wektor niewspółmiernych częstości ω = ω* ( tj. ω k ≠ 0 dla wszystkich ki ) a następnie zadajmy inwariantny torus T0(ω*) przez nieperturbowany układ równań : I = I*, gdzie : ω(I*) = ω*. W ten sposób układ charakteryzujemy częstościami ω* na T0(ω*) i θθθθ• = ω* jest potokiem liniowym na torusie T0.
Twierdzenie ( [2] , twierdzenie 21.7 ) JeŜeli H1 jest dostatecznie mały, to praktycznie dla wszystkich ω* istnieje taki inwariantny torus T(ω*) układu perturbowanego, Ŝe T(ω*) jest „bliski” T0 (ω).
Oprócz tego torusy T(ω*) stanowią zbiór o dodatniej mierze, dopełnienie której dąŜy do zera przy | H1| → 0.
Dowód tego twierdzenia – w znaczącym stopniu nie trywialny, mimo prostoty jego sformułowania – naleŜy do Arnolda (1963). Wersja udowodniona przez Mosera (1962) związana jest z klasą równowaŜności odwzorowań ( zobacz
podrozdział 3.5 w rozdziale 4 ). Nie będziemy tutaj prowadzili pełnego dowodu, w to miejsce spróbujemy naszkicować jego zasadnicze idee, pozwalające wyjść poza dany formalizm. Wartości tego twierdzenia trudno jest ocenić, pozwoliło ono wyjść z impasu „małych mianowników” w klasycznej teorii perturbacji i stanowi ono punkt wyjściowy w
rozumieniu natury pojawiania się chaosu w układach hamiltonowskich.
ZauwaŜmy, Ŝe zgodnie z filozofią twierdzenia KAM, róŜni się ono od teorii perturbacji. Zamiast próby budowania globalnych rozwiązań równania Hamiltona-Jakobiego, na drodze analizy ruchu nieperturbowanego, autorzy twierdzenia KAM poszli drogą dowodu istnienia, oddzielnych torów – odpowiadających określonym warunkom – w (słabo) perturbowanym układzie. Przy tym udało się im udowodnić, Ŝe warunkiem istnienia danego torusa T(ω*) jest istotna niewymierność częstości ω*. Podejście to przypomina poszukiwanie konkretnego pierwiastka równania algebraicznego.
Dwoma podstawowymi filarami dowodu omawianego twierdzenia są :
1) „SuperzbieŜna” procedura uzyskiwania pierwiastków, przedstawiająca sobą analog starej metody Newtona dla przestrzeni funkcjonalnej. Procedura ta charakteryzuje się piękną własnością zbieŜności, która moŜe
„zakrywać” rozbieŜność, występującą w tradycyjnej teorii perturbacji.
2) Teoretyczno-ilościową analizę określającą stopień niewymierności częstości ω* , wymagana dla istnienia
„pierwiastka” ( tj. torusa T(ω*) ) 3.4.a SuperzbieŜna teoria perturbacji.
Superzbiezność metody Newtona poglądowo ilustruje się na przykładzie obliczania zera pewnej funkcji ( f(x) = 0 ) przy pewnym warunku początkowym x = x0. Rozkład f(x) w pobliŜu tego punktu daje nam :
∞
MoŜemy zatem zbudować „szereg teorii perturbacji) w celu obliczenia „pierwiastka” x. ZauwaŜmy, Ŝe zapisany szereg ma postać
ΣΣΣΣ
cnεn , gdzie wszystkie współczynniki cn są funkcjami „nieperturbowanego” rozwiązania :cn = cn ( fi , i = 1, 2, ... ), gdzie fi = ( ∂if/∂xi ) | x =x0. Konstrukcja ta jest rozłoŜeniem regularnym teorii perturbacji , typu jaki wprowadziliśmy w rozdziale 3.1.a.
Rozpatrzmy teraz metodę Newtona. Rozpoczynając z punktu x0 , przybliŜenie x1 znajdujemy ze wzoru : f(x) = f (x0 + ( x – x0)) ≈ f(x0) + ( x – x0) f ’(x0 ) = 0
i ma ono postać : x1-x0 = - f(x0 )/ f ’(x0) ≡ ε1 Wykorzystując przybliŜenie dla x1:
f(x) = f (x1 + ( x – x1)) ≈ f(x1) + ( x2 – x1) f ’(x1 ) = 0
Otrzymujemy :
x2 -x1 = - f(x1 )/ f ’(x1) ≡ ε2
Kolejne powtórzenie tych operacji prowadzi do zaleŜności :
xn-xn-1 = - f(xn-1) / f ’ (xn-1) ≡ εn (3.4.4)
ZbieŜność moŜemy określić, oceniając εn+1 poprzez pojęcie ε. W danym przypadku mamy : f(xn) ≈ f(xn-1) + (xn –xn-1) f ’(xn-1) + … = f (xn-1) + ε f ’(xn-1) + ½ ε2 f ’’(xn-1) …
Zatem, εn+1 = O( εn2 ). A to oznacza, Ŝe wprowadzona iteracja jest zbieŜna w sposób kwadratowy tj. :
( x – x0) =
ΣΣΣΣ
cnεn =ΣΣΣΣ
cnε2n = c1ε + c2ε2 + c3ε4 + c4ε8 + ... (3.4.5) gdzie : cn= cn(xn-1)Taka zbieŜność w sposób zasadniczy róŜni się od przybliŜenia regularnego teorii perturbacji i jest ona wywołana tym, Ŝe f na kaŜdym kroku iteracji oceniana jest poprzez pryzmat poprzedniego rozwiązania, a nie poprzez poprzedni
rozwiązanie perturbowane x0. Właśnie ta osobliwość leŜy u podstaw własności zbieŜności twierdzenia KAM.
3.4.b Teoretyczno-numeryczne własności częstości.
Twierdzenie KAM moŜe być sformułowane równieŜ w następujący sposób:
Przy dostatecznie małych zaburzeniach praktycznie wszystkie torusy są zachowane.
WaŜne i subtelne zadanie polega na uściśleniu wyraŜeń : „dostatecznie małe” i „praktycznie wszystkie”.
Drugie z tych określeń definiujemy na podstawie teoretyczno-numerycznych własności ω*, analiza tego problemu przedstawia jeden z dwóch aspektów wyraŜonego twierdzenia.
Twierdzenie wyklucza torusy charakteryzowane przez wymierne ilorazy częstości, dla których spełnione są n-1 warunków postaci :
ω k = 0
(3.4.6)
Takie torusy w pewnym sensie ( sens ten wyjaśnimy później ) „rozruszają się”.
MoŜe się wydawać, Ŝe taka logika jest sprzeczna z wprowadzonymi wcześniej ( przy omówieniu problemu małych mianowników ) faktami, Ŝe dowolna liczba niewymierna moŜe być dowolnie dokładnie przybliŜona przez liczbę wymierną. To dawałoby podstawę twierdzenia, Ŝe jednak wszystkie torusy zostaną zachowane.
Właśnie tu wynika pytanie o sens wyraŜenia „praktycznie wszystkie” i jego związek z teoretyczno-numerycznym zagadnieniem – w jakim stopniu moŜemy dokona przybliŜenia liczby niewymiernej liczbą wymierną.
W przypadku układu o dwóch stopniach swobody warunek zamkniętości trajektorii ma postać : ω1/ω2 = σ = r/s , r, s – liczby całkowite.
Dla ruchu quasi-periodycznego iloraz częstości σ jest wyraŜony przez liczbę niewymierną i nie moŜe być wyraŜony ściśle przez zaleŜność r/s, a tylko przybliŜone dowolnie dokładnie liczbą wymierną.
Prostym przykładem wymiernego przybliŜenia dla liczby niewymiernej jest przybliŜenie liczby π = 3.141592654...
σ ≈ r/s = 3/1, 31/10, 314/100, 3142/1000, ....
co jest grubym przybliŜeniem liczby π. Dla takiego przybliŜenia otrzymujemy :
| σ - r/s | < 1/s (3.4.8)
Najlepsze przybliŜenie osiągamy stosując ułamki łańcuchowe postaci :
(3.4.9)
Liczby ai otrzymujemy w następujący sposób : a0 – jest częścią całkowitą σ, a1 – jest częścią całkowitą odwrotności liczby σ - a0 , a2 – jest częścią całkowitą odwrotności pozostałości a1 itd. Przykładowo :
PrzybliŜenia za pomocą ułamka łańcuchowego obrazują szereg :
(3.4.10)
Kolejnymi przybliŜeniami liczby π są wartości : σ1 = 22/7 = 3,1429...
σ2 = 333/106 = 3,14151...
σ3 = 255/113 = 3,1415929...
Ostatnie przybliŜenie znane było matematykom chińskim w V wieku.
Szereg σn jest zawsze zbieŜny a kolejne przybliŜenia przy tym są albo większe albo mniejsze od σ. Oprócz tego moŜna pokazać, Ŝe :
| σn – (rn/ sn ) | < 1/ sn sn-1 (3.4.11)
tj. kolejne przybliŜenia są zbieŜna w skrajnym przypadku jak 1/ s2 , podczas gdy przybliŜenie dziesiętne jest zbieŜne zaledwie jak 1/s.
Istnieje bogata teoria ułamków łańcuchowych. (* zobacz dodatek E – przypis własny *).
Niektóre liczby ( takie jak liczby przestępne typu π, e )
(* liczby przestępne to liczby które nie są rozwiązaniami Ŝadnego układu równań algebraicznych – przypis własny *) mają nadzwyczaj szybkozbieŜne przybliŜenia. Najwolniej zbieŜne są liczby niewymierne wyraŜane przez pierwiastki kwadratowe, Lagrange pokazał, Ŝe dla tej klasy liczb ułamki łańcuchowe są periodyczne, przykładowo :
Znany „złoty podział” równieŜ jest liczbą niewymierną :
To co powiedziano o ułamkach łańcuchowych nie wyczerpuje oczywiście całości wiedzy o nich ( pominąłem np.
rozwinięcie liczby e3 ). Ułamki łańcuchowe mogą być równieŜ wykorzystane jako rozwinięcia funkcji - Euler wykorzystał je dla uzyskania rozwiązania równania Riccati’ego. ( zobacz np. [6] , str. 178 ]
Zgodnie z twierdzeniem KAM zachowane torusy spełniają warunek niewymierności :
| ( ω1/ ω2 ) – r/s | > K(ε)/ s2,5 ; dla wszystkich r, s (3.4.12) O K(ε) wiadomo tylko to, Ŝe K(ε) → 0 przy ε → 0. Torusy „rozruszane” obrazują zbiór dopełniający i spełniają warunek
| ( ω1/ ω2 ) – r/s | < K(ε)/ s2,5 ; dla wszystkich r, s (3.4.13) Jest to silniejsze ograniczenie, niŜ ścisły warunek współmierości : n1ω1+ n2ω2 = 0.
Razem z nim jest ono wystarczające dla zapewnienia skończoności miary zbioru torusów zachowanych. Jest to bardziej zrozumiałe, jeŜeli rozpatrzymy całkę pojedynczą i wykluczymy z obszaru całkowania obszary o szerokości K(ε)/ s2,5 , tak jak to pokazano na rysunku 3.1.
Ogólny szereg wykluczonych obszarów ma postać :
∞ ∞
ΣΣΣΣ
( K/ s2,5 ) s = KΣΣΣΣ
1/ s1,5 ≈ Ks=1 s=1 i dąŜy do zera przy ε → 0.
Rys. 3.1 Wykluczanie obszarów o szerokości K(ε)/ s2,5 w wymiernych punktach całki pojedynczej.
Była to tylko gruba ocena ( z góry). W rzeczywistości dowolny obszar K(ε)/ sµ ,przy µ > 2 zapewnia skończoność miary torusów zachowanych. (* Piękna ilustracja tej idei podana jest w [11] na str. 6 – przypis autora *)
3.4.c Inne aspekty twierdzenia KAM.
Omawiane twierdzenie wymaga równieŜ aby perturbacja była „dostatecznie mała”. Jednak do tej pory nie określono co dokładnie znaczy „dostatecznie mała”. Pierwotne oceny miały rząd 10-48 ( jednostka dowolna). Z tego punktu widzenia istotne jest, Ŝe twierdzenie dowodzi istnienia torusów po prostu przy pewnym zaburzeniu.
Eksperymenty numeryczne wskazują na zachowanie torusów przy zaburzeniach znacznie przewyŜszających te o których mowa w omawianym twierdzeniu. ZauwaŜmy równieŜ , Ŝe nie jest wymagana nawet analityczność hamiltonianu tj.
wymaganie H0 = H0(I). Moserowski wariant twierdzenia KAM wymaga istnienia tylko pierwszych 333 pochodnych.
Ostatnie prace sugerują , Ŝe liczba ta moŜe by mniejsza.
Twierdzenie KAM nie mówi niczego o losie „wymiernych” torusów tj. torusów które przy zaburzeniu w określonym sensie zostają rozruszane. Właśnie te rozruszane torusy stają się „zarodnikami” zachowań chaotycznych obserwowanych w układach niecałkowalnych. W jaki sposób to się odbywa , powiemy w rozdziale 4.