Modele teoretyczne pojawiania się chaosu

W tym podrozdziale omówimy szereg teorii i związanych z nimi pojęć które były opracowane w celu objaśnienia mechanizmu pojawiania się turbulentności, obserwowanych np. w opisanych wcześniej eksperymentach.

5.3.a Teoria Landaua-Hopfa

Teoria ta była przedstawiona w początku lat 40-tych XX wieku. Jej idea polega na tym aby rozwiązanie równania Naviera-Stokesa przedstawi w postaci quasiperiodycznym a wraz ze wzrostem liczby Reynoldsa pojawiają się w nim coraz większe składowe częstości :

W miarę jak R→ ∞ prędkość pojawiania się nowych częstości podwaja się. ZaleŜności częstości zakładamy jako niewymierne, zatem wraz ze wzrostem ich liczby spektrum ( szybko) staje się coraz bardziej złoŜone, w ten sposób , Ŝe po pewnym czasie trudno odróŜnić go od spektrum ruchu istotnie chaotycznego.

Od razu powiedzmy , Ŝe takie przedstawienie nieskończonej quasiperiodycznej „turbulentności” nie zgadza się z obserwacjami eksperymentalnymi, przykładowo dla przepływu Couette’a i konwekcji Rayleigha-Benarda. Jednak zanim odrzucimy taki model rozpatrzmy pewne wynikające z niego wnioski.

Na początku zastanówmy się jaki sens moŜna nadać „pojawiającym” się w rozwiązaniu nowym częstością ?

Rozwiązanie u( x , t) moŜna wyobrazić sobie jako pewną trajektorię w nieskończenie wymiarowej przestrzeni fazowej.

Jednak w odróŜnieniu od zwykłej przestrzeni fazowej, układów hamiltonowskich obecność dyssypacji powoduje nie zachowanie objętości fazowej. To oznacza, Ŝe trajektoria zawarta będzie w pewnej granicznej rozmaitości ( mającej miarę zero względem całej przestrzeni fazowej ). Przykładowo w przypadku oscylatora liniowego, którego drgania gasną wraz ze wzrostem tarcia , trajektoria fazowa będzie zakręcała się po spirali do punktu granicznego. JeŜeli mechanizm powodujący zanik drgań oscylatora jest bardziej złoŜonym – np. oscylator Van-derPola – trajektoria będzie nawijać się w pewien cykl graniczny.

Analogicznym obrazem fazowa trajektoria, odpowiadająca stanowi granicznemu przepływu cieczy, równieŜ będzie kończyć się z pewnej granicznej rozmaitości.

Jest zrozumiałe, Ŝe w przypadku pojedynczej częstości ( u(t) = f(ω1t ) ) rozwiązanie będzie miało postać prostej periodycznej trajektorii ( cykl graniczny). Przy pojawieniu się drugiej niezaleŜnej częstości (u(t) = f( ω1t , ω2t ) ) rozwiązanie moŜemy przedstawić na dwuwymiarowym torusie ( n-wymiarowy torus Tn moŜna zdefiniować jako iloczyn n niezaleŜnych periodycznych cykli ). Wraz z pojawieniem się kaŜdej nowej częstości, trajektoria rozwiązania

przechodzi na nowy torus, rozmiar którego pokrywa się z liczbą niezaleŜnych częstości ( zobacz rys. 5.5 ).

Pojawia się pytanie : w jaki sposób trajektoria przechodzi z jednej granicznej rozmaitości na drugą tj. dlaczego rozmaitość wejściowa jest niestabilna i pojawia się druga rozmaitość stabilna wyŜszego wymiaru ?

Rys 5.5 Przejście od : a) punktu granicznego do b) cyklu granicznego (jedna częstość ) i do c) granicznego torusa ( dwie częstości )

5.3.b Teoria bifurkacji Hopfa

Podstawowe idee, na których bazuje objaśnienie wcześniej omawianego przejścia, pojawiły się w znanej teorii bifurkacji Hopfa. Jej szczegółowy wykład czytelnik znajdzie w [19].

ZałoŜymy, Ŝe nasze równania ruchu zadane są „potokiem” o postaci :

dx /dt = Fµ (x) ; x = x1, ... , xk (5.3.3)

gdzie µ – pewien parametr układu ( przykładowo liczba Reynoldsa)

Twierdzenie Hopfa dotyczy stabilności rozwiązań tego układu równań w funkcji parametru µ. Punktami krytycznymi równania (5.3.3) są takie punkty x = x* , w których :

dx* /dt = 0 tj. Fµ (x* ) = 0 (5.3.4)

Stabilność tych punktów określamy na drodze analizy wartości własnych λ = λ(µ), odpowiedniego przekształcenia stycznego Fµ (x) , obliczanego w punktach krytycznych. Przy warunku, Ŝe wszystkie λ połoŜone są na lewej

półpłaszczyźnie tj. wszystkie λ mają ujemną część rzeczywistą, punkt krytyczny przedstawia po prostu punkt graniczny ( rys. 5.6 a) ). Bifurkacja Hopfa zachodzi przy warunku, Ŝe para wartości własnych sprzęŜona zespolenie, mieszana jest z niezerową prędkością z lewej półpłaszczyzny na prawą. JeŜeli przy wartości krytycznej µ = µc ( wartość µ przy której λ przemieszcza się na prawą półpłaszczyznę ) spełnione są pewne dodatkowe warunki, do których naleŜy istnienie pierwszej, drugiej i trzeciej pochodnej Fµ (x* ), to moŜna pokazać, Ŝe punkt graniczny w wyniku bifurkacji przechodzi w stabilną periodyczna trajektorię ( cykl graniczny ) i trajektoria ta przyciąga wszystkie sąsiednie trajektorie (rys. 5.6 b) )

Rys. 5.6 a) Trajektoria zakręcająca się po spirali do punktu granicznego. b) Trajektoria zakręcająca się po spirali do stabilnego cyklu granicznego.

Przejście takie znane jest jako „normalna bifurkacja Hopfa” ( niekiedy nazywaną równieŜ bifurkacją nadkrytyczną ) Przejście od stabilnego punktu granicznego do stabilnego cyklu granicznego moŜna poglądowo przedstawić za pomocą obrazka ( rys. 5.7 ) ruchu cząstki w potencjale dla którego wraz ze wzrostem parametru µ pojawia się drugie minimum.

Rys. 5.7 Schematyczne przedstawienie normalnej bifurkacji Hopfa. Stabilny punkt graniczny przy µ < µc a) w wyniku przejścia przez punkt µ = µc b) przekształca się w stabilny cykl graniczny przy µ >µc (* napisy na rysunku (od lewej ) : stabilny punkt graniczny, stabilny cykl graniczny – przypis własny *)

MoŜliwa jest i inna sytuacja, w której przy wartości µc nie pojawiają się Ŝadne przyciągające ( stabilne) rozwiązania. W takim przypadku łatwo sprawdzić, Ŝe przy µ < µc istnieje „niestabilna” periodyczna trajektoria, która w miarę jak µ przewyŜsza µc stopniowo ściąga się do niestabilnego punktu granicznego, co pokazano na rys. 5.8. Taka sytuacja znana jest jako „odwrotna ( lub podkrytyczna ) bifurkacja Hopfa”.

Rys. 5.8 Schematyczne przedstawienie odwrotnej bifurkacji Hopfa. Niestabilny cykl graniczny przy µ < µc a) w wyniku przejścia przez punkt µ = µc b) ściągnięty zostaje do niestabilnego punktu granicznego przy µ > µc c)

(* napisy na rysunku (od lewej ) : niestabilny cykl graniczny, niestabilny punkt graniczny – przypis własny *) Powinno być teraz zrozumiałe, Ŝe obraz pojawienia się turbulencji Landaua-Hopfa oparty jest kolejno następujących normalnych bifurkacjach Hopfa. Zakładając taki obraz , moŜna zadać sobie pytanie w jaki właściwie sposób dokonują się przejścia wyŜszych rzędów ( powiedzmy, od trajektorii periodycznej do dwu wymiarowego torusa ) ?

Poglądowo na to pytanie odpowiada rysunek 5.9

Rys. 5.9 Schematyczne przedstawienie przekształcenia cyklu granicznego do dwuwymiarowego torusa.

Zademonstrować jednak takie zachowanie nie jest prosto. Na rys. 5.10 ruch przedstawiono na odwzorowaniu Poincarego ( które jest analogiczne do przekroju Poincarego wykorzystywanego w badaniu układów hamiltonowskich ).

JeŜeli udałoby się pokazać, Ŝe na tym odwzorowaniu istnieją inwariantne i stabilne okręgi to dowodziłoby to obecności torusa. Podkreślić naleŜy, Ŝe badaniu przekształcenia na odwzorowaniu Poincarego, wejściowy potok ( równanie róŜniczkowe ) rozpatrujemy jako dyffeomorfizm ( gładkie odwzorowanie odwrotne ). Z formalnego punktu widzenia wymagamy przy tym spełnienia bifurkacyjnego twierdzenia Hopfa dla dyffeomorfizmów. Takie twierdzenie

rzeczywiście istnieje.

Mimo tego jak powiedzieliśmy na początku tego podrozdziału, omawiana teoria Landaua-Hopfa nie jest całkowicie zgodna z obserwacjami eksperymentalnymi. Konieczna jest nowocześniejsza teoria. Taka teorią jest teoria Ruelle’a-Takensa.

5.2.c Teoria Ruelle’a-Takensa.

U swej podstawy teoria ta przedstawiona w 1971 roku przypomina teorię Landaua-Hopfa w tym sensie , Ŝe ona równieŜ oparta jest na koncepcji bifurkacji normalnej w wyniku których powstają torusy o wysokich wymiarach. Jednak przy tym Ruelle i Takens załoŜyli, Ŝe po osiągnięciu czasu T4 (* Teraz dolne indeksy T4 , T3 wskazują na ilość koniecznych dla pojawienia się dziwnych atraktorów bifurkacji normalnych – przypis red. *) ruch moŜe ograniczać się do

rozmaitości, które juŜ nie są gładkimi torusami, a posiadają bardziej złoŜoną naturę. Takie rozmaitości otrzymały nazwę

„dziwnych atraktorów”. W późniejszej pracy, napisanej wspólnie z Newhouse’m [20] pokazano, Ŝe dziwne atraktory mogą istnieć po osiągnięciu czasu T3. Te atraktory przedstawiają rozmaitości nie posiadające wymiaru całkowitego tj. są czymś pomiędzy powierzchnią a objętością. Pojęcie niecałkowitego wymiaru dokładnie omawia Mandelbrot [18] w kontekście „fraktali”, które będziemy rozpatrywali w podrozdziale 5.3.d.

Rys. 5.10 a) odwzorowanie Poincarego P, cyklu granicznego przedstawia sobą pojedynczy punkt.

b) Kiedy cykl przekształca się w dwuwymiarowy torus, na odwzorowaniu Poincarego pojawia się okrąg złoŜony z kropek.

Główna idea teorii Ruelle’a-Takensa-Newhouse’a zakłada, ze jeŜeli atraktor spełnia pewne określone warunki tj. spełnia pewne „aksjomaty A” ( w praktyce okazuje się, Ŝe taka klasa atraktorów jest bardzo ograniczona , to ruch na nim jest chaotyczny. To oznacza, Ŝe ruch jest bardzo czuły na warunki początkowe, czasowe korelacje wskazują na wykładnicze gaśnięcie ( udowodnione jest to tylko dla nielicznych przypadków ), uśrednione zachowanie opisywane jest przez miarę dµ o niezerowej entropii.

Te własności dziwnych atraktorów definiują zasadnicze róŜnice między teorią Landaua-Hopfa a teorią Ruelle’a-Takensa.

W tej pierwszej, ruch zawsze zakłada się jako quasiperiodyczny w swej naturze. W drugiej istnienie dziwnych atraktorów zapewnia mechanizm dzięki któremu ruch o całkowicie zdeterminowanej naturze, dyssypatywny, moŜe przejawiać istotnie chaotyczne zachowanie. Okazuje się zatem, Ŝe chaos w układzie dyssypatywnym jest moŜliwy równieŜ bez udziału zewnętrznego szumu.

Na pierwszy rzut oka, moŜe wydawać się, Ŝe moŜliwości istnienia chaosu w układzie dyssypatywnym kłóci się z intuicyjnym wyobraŜeniem, które jak widzieliśmy przy omawianiu układów hamiltonowskich podpowiada, Ŝe

wraŜliwość na warunki początkowe oznacza rozbieganie trajektorii (i odpowiednio dodatniość wykładników Lapunowa ) Podczas gdy dyssypatywność zakłada przyciąganie trajektorii. Bez apelacyjnie w przypadku potoków ( równań

róŜniczkowych ) na płaszczyźnie ( tj. w przypadku dwuwymiarowej przestrzeni fazowej ) pogodzenie tych dwóch wyobraŜeń wydaje się ( i takie jest w istocie ) topologicznie niemoŜliwe. Jednak wraz z pojawieniem się trzeciego ( lub wyŜszego ) wymiaru przestrzeni fazowej wskazany paradoks moŜe być rozwiązany w następujący sposób.

Wyobraźmy sobie trajektorię które rozbiegają się na płaszczyźnie w sposób przypominający rozkręcanie spirali od pewnego punktu (niestabilnego ) a następnie znowu powracają ( są przyciągane ) do centrum wejściowej spirali. Takie trajektorie pokazano na rys. 5.11. W takim zachowaniu realizują się dwa procesy :

1) rozciąganie, zapewniające wraŜliwość na warunki początkowe 2) ściąganie

Po uwzględnieniu tego, Ŝe trajektorie w przestrzeni fazowej nie mogą się przecinać, kolejne powtarzające się rozciągania i ściągania trajektorii powinny prowadzić do topologicznie bardzo złoŜonego obiektowi.

Aby przekonać się o stopniu złoŜoności tego obiektu, rozpatrzymy proste modelowe przekształcenie znane jako

„odwzorowanie podkowy Smale’a” [22]. Polega ono na kolejnym rozciągnięciu i ściskaniu. Na początku wybieramy początkowy prostokąt ( rys. 5.12 ), który rozciągamy w ( przykładowym) kierunku x oraz w nieco większym stopniu ściskamy w kierunku y. W wyniku tego, prostokąt ten przekształca się w prostokąt dłuŜszy i węŜszy, pole którego jest nieco mniejsze niŜ prostokąta wejściowego tj. pole zmniejsza się, co odzwierciedla pewne zachowanie dyssypatywnych układów. Następujący krok polega na aby zgiąć otrzymany prostokąt i nadać mu formę podkowy (* te kolejne kroki są

analogiczne do opisanego w podrozdziale 4.7 przekształcenia piekarza, z ta róŜnicą, Ŝe przekształcenie piekarza zachowuje pole *)

Rys. 5.11 Dwa sąsiednie trajektorię odpowiadające dwóm warunkom początkowym ( linia ciągła i przerywana ) wykładniczo rozbiegają się po spirali na płaszczyźnie x-y ( rozciąganie ) a następnie przyciągają się w kierunku z.

Powtarzając wielokrotnie taką procedurę otrzymamy układ o złoŜonej strukturze. Przekrój poprzeczny takiej struktury ( zobacz rys. 5.13) przedstawia sobą segmenty, liczba których jest podwajana przy kaŜdej następnej iteracji tj. mamy dwa segmenty po pierwszej iteracji, cztery po drugiej itp.

Taka struktura segmentów obrazuje tzw. „zbiór Cantora”, będziemy o nim mówić w podrozdziale 5.3.e, jak o prostym przykładzie fraktala.

Rys. 5.12 Odwzorowanie podkowy Smale’a. Kwadrat wejściowy 5.13 a) typowy przekrój A-A’ podkowy Smale’a a) jest rozciągany w taki sposób, Ŝe jego długość zwiększa się b) Kolejne przekroje (i) (ii) (iii) ilustrują dwukrotnie, a pole zmniejsza się b) następnie jest on wyginany formowanie się struktury typu zbiór Cantora.

Na kształt podkowy c). Na rys. d), e) , f) proces ten jest powtórzony W wyniku czego otrzymujemy dwukrotnie zagiętą podkowę.

5.3.d Inny scenariusz.

Teoria Ruelle’a-Takensa-Newhouse’a jest istotnym rozwinięciem poprzednich teorii, jednak nie wyczerpuje ona wszystkich moŜliwości. W chwili obecnej stało się jasne, Ŝe w istocie istnieje wiele róŜnych „mechanizmów” rozwoju turbulentności. „Scenariusz” Ruelle’a-Takensa-Newhouse’a – jest tylko jednym z nich. Osobny problem przedstawia rozwinięcie turbulentności na drodze kolejno następujących po sobie bifurkacji podwojenia okresu, którą będziemy omawiali w podrozdziale 5.5. Drugim waŜnym mechanizmem rozwoju turbulentności jest – przemieszywanie. Dobre omówienie takich scenariuszy czytelnik znajdzie w [5, 1]

5.3.e Fraktale.

Na rysunku 5.14 pokazano dobrze znany przykład prostego fraktala – śnieŜkę(płatek) Kocha. PrzedłuŜanie w

nieskończoność pokazanej konstrukcji prowadzi do krzywej o nieskończonej długości, ograniczającej skończony obszar.

W odróŜnieniu od „prostej” krzywej, posiadającej wymiar (topologiczny) równy jeden, krzywa ta charakteryzuje się tzw.

wymiarem Hausdorffa DH, wartość którego zawarta jest między 1 ( linia) a 2 ( powierzchnia). MoŜna pokazać, Ŝe w rozpatrywanym przykładzie płatka Kocha :

DH = log 4 / log 3 = 1,2618.... (5.3.5) Fundamentalną własnością takich fraktali, która przejawia się juŜ w tym prostym przykładzie, jest ich

samopodobieństwo w dowolnej skali. Dla fraktala moŜe istnieć największa skala, ale w zasadzie nie istnieje najmniejsza skala w której nie samopowielała by się jego podstawowa struktura. ( W praktyce mogą oczywiście istnieć pewne ograniczenie skali od dołu ). Często mówi się ,Ŝe takie struktury są analogiczne do struktury zbioru Cantora. Sam zbiór Cantora budujemy w następujący sposób :

Jednostkowy odcinek dzielimy na trzy części, odrzucamy środkową i stosujemy ponownie podział na trzy pozostałych dwóch odcinków, procedurę ta powtarzamy w nieskończoność ( rys. 5.15 )

W tym przypadku wymiar Hausdorffa będzie równy :

DH = log 2 / log 3 = 0,6309.... (5.3.6)

Rys. 5.14 Pierwsze stadia budowy śnieŜki Kocha ( krzywej Kocha ).

Rys. 5.15 Budowa zbioru Cantora a) odcinek jednostkowy b) odrzucenie odcinka środkowego o długości 1/3 c) odrzucenie środkowych odcinków dalszego podziału itd.

W przypadku takich prostych obiektów geometrycznych, jak śnieŜka Kocha i zbiór Cantora, DH jest łatwo obliczyć korzystając z następujących wskazówek.

Rozpatrzmy zbiór Cantora – zadajmy miarę punktów, leŜących na segmencie o długości m w postaci pewnej funkcji : µ = µ(m). JeŜeli załoŜymy, Ŝe w procesie budowy tego zbioru na kaŜdym kroku przy którym pozostają dwa segmenty, kaŜdy o długości 1/3m, zachowuje się miara punktów , to :

µ(3m) = 2µ(m) (5.3.7)

JeŜeli załoŜymy dalej, Ŝe µ(m) przekształca się jak :

µ(m) ~ mδ (5.3.8)

to z (5.3.7) wynika, Ŝe wykładnik δ równy jest log 2 / log 3.

Wykładnik ten jest właśnie „wymiarem fraktalnym” DH. W wielu przypadkach wymiar fraktalny obiektu

samopodobnego musimy obliczać w sposób numeryczny. Kiedy pisano tą ksiąŜkę zagadnienie to było jednym z bardziej aktywnych kierunków badań. Jednym z najwaŜniejszych konstruktywnych algorytmów obliczania wymiaru jest

algorytm przedstawiony przez Grassbergera i Procaccia [17]. Większość algorytmów tego typu pozwala obliczać nie DH, a pewną związaną z nim wielkość. W przypadku metody Grassbergera i Procaccia, opartej na własnościach pewnej określonej funkcji korelacyjnej, obliczana jest dolna granica DH.

W teorii globalnej turbulentności zakładamy, Ŝe warstwa wirów zbliŜa się do pewnej nieskończenie złoŜonej struktury fraktalnej.