Nieliniowe równania ewolucyjne i solitony
7.2 Podstawowe własności równania KdV
Równanie KdV, które w dalszej części będziemy rozpatrywali w postaci (7.1.3), łączy dwie paradoksalne tendencje:
1) „formowanie” fali powodowane nieliniowością ( człon uux ) 2) „rozpływanie” się fali powodowane dyspersją ( człon uxxx ) 7.2.a Efekty nieliniowości i dyspersji.
W przypadku gładkich warunków początkowych, przykładowo takich, jakie były rozpatrywane przez Zabusky’ego i Kruskala [9], człon uxxx jest względnie mały w porównaniu z członem nieliniowym i moŜna uwaŜać, Ŝe ewolucja początkowa określona zaleŜnością :
ut - 6uux = 0 (7.2.1)
Jest to standardowe quasi-liniowe rrc pierwszego rzędu, dla którego moŜliwe są rozwiązania typu fali uderzeniowej.
Krótko zilustrujemy to następującym przykładem (* Pełniejsze przedstawienie moŜna znaleźć w dowolnym standardowym podręczniku równań róŜniczkowych o pochodnych cząstkowych np. [1] *)
Rozpatrzmy rozwiązanie równania (7.2.1) w postaci :
u(s) = u( x(s), t(s) ) (7.2.2)
gdzie za pomocą s parametryzujemy drogi na płaszczyźnie (x, t), nazywane „charakterystykami”. Z równania róŜniczkowego :
du/ds = (dx/ds)uX + (dt/ds)ut (7.2.3)
znajdujemy :
dt/ds. = 1, dx/ds. = -6u, du/ds. = 0 (7.2.4) Układ równań (7.2.4) łatwo moŜe być scałkowany, w wyniku, czego otrzymujemy ( opuszczamy stałe całkowania ) :
t(s) = s , x(s) = - 6su0(x) (7.2.5a)
u(s) = u0(x) (7.2.5b)
gdzie : u0(x) = u0(x, 0) – warunki początkowe dla (7.2.1).
Zatem, wzdłuŜ charakterystyk, określonych zaleŜnościami (7.2.5a), rozwiązanie u(s) jest stałe tj. zachowuje amplitudę początkową, zadaną przy s = 0. Charakterystyki przy tym przedstawiające sobą proste linie , mają nachylenie, które jest proporcjonalne do u0(x) i przy pewnej określonej postaci warunków początkowych mogą się przecinać. Jak pokazano na rysunku 7.1 fala staje się coraz bardziej stroma, co prowadzi w końcu do zjawiska, znanego jako „powstanie fali
uderzeniowej”.
Rys. 7.1 a) Prostoliniowe charakterystyki związane z równaniem (7.2.1) dla gładkiej wartości początkowej u0(x) ( linia przerywana) b) Kolejne rysunki ilustrują zaostrzanie u(x, t) w miarę przybliŜania rozwiązania do punktu przecięcia charakterystyk.
W miarę jak fala staje się coraz krótsza, wzrasta rola członu uxxx w (7.1.3) i pojawia się konieczność przeanalizowania wpływu liniowej części równania
ut + uxxx = 0 (7.2.6)
na ewolucje fali. Takie równanie zawsze dopuszcza rozwiązanie w postaci :
u(x, t) = ei(kx – ωt) (7.2.7)
jego bezpośrednie podstawienie do równania (7.2.6) daje „zaleŜność dyspersyjną“ :
ω(k) = - k3 (7.2.8)
Zatem, czym większa jest liczba falowa, tym większa jest prędkość fazowa, zadana zaleŜnością c =ω(k)/k = - k3 , fala (7.2.7) będzie się rozprzestrzeniała. W pewnym sensie efekt dyspersyjny kompensuje efekt nieliniowy w wyniku, czego otrzymujemy stabilne odosobnione fale.
7.2.b Rozwiązanie typu fali biegnącej.
Prosta postać rozwiązania typu odosobnionej fali moŜe być otrzymana w następujący sposób. ZałóŜmy, Ŝe rozwiązanie ma postać fali biegnącej w prawo :
u(x, t) = f(x – ct) ≡ f(z) (7.2.9)
gdzie : z = x – ct.
Bezpośrednie podstawienie do (7.1.3) prowadzi do rrz ( apostrof oznacza róŜniczkowanie względem z ) :
f’’’ – 6ff’’ – cf’ = 0 (7.2.10)
Równanie otrzymywane w wyniku pierwszego całkowania po z :
f’’ = 3f2 + cf + d (7.2.11)
gdzie : d – stała całkowania
przedstawia sobą rrz dla eliptycznych funkcji Weierstrassa, omawiane w rozdziale 1. Drugie całkowanie daje :
½ f ’ = f3 + ½ cf2 + df + e (7.2.12)
gdzie e – druga stała całkowania.
Równanie (7.2.12) moŜe być scałkowane w kwadraturach w wyniku, czego otrzymujemy całkę eliptyczną :
z – z0 =
∫
df / sqrt [ 2 ( f3 + ½ cf2 + df + e ) ] (7.2.13)JeŜeli (7.1.3) określone jest w obszarze nieograniczonym i jeŜeli zadamy następujące warunki brzegowe : f, f ’, f ’’ → o przy z → ± ∞, to z (7.2.11) i (7.2.12) wynika, Ŝe obie stałe całkowania d, e są równe zeru. W tym przypadku (7.2.13) sprowadza się do wyraŜenia postaci :
z – z0 =
∫
df / f sqrt[ 2f + c ] (7.2.14) które łatwo jest całkowalne do postaci :f(z) = - ½ c ch-2 [ ½ √c ( z – z0 ) ] (7.2.15)
Z dokładnością do znaku rozwiązanie to ma postać fali biegnącej o ujemnej amplitudzie ( znak mógłby być dodatni jeŜeli równanie (7.1.3) miałoby postać ut + 6uux + uxxx = 0 ), która jest proporcjonalna do prędkości rozprzestrzeniania się fali tj. większe fale poruszają się szybciej. Funkcja ch-2 w (7.2.15) nadaje fali formę „pagórka” podobnego do tego jaki obserwował Russell [8]. W eksperymentach numerycznych Zabusky’ego i Kruskala [9] zauwaŜono, Ŝe kaŜdy z członów rodziny fal biegnących posiada formę typu ch-2. Zatem przyczyny pojawienia się takiej rodziny oraz jej stabilności nie mogą być wyjaśnione w oparciu o prostą analizę fal biegnących. Potrzebujemy głębszej teorii.
7.2.c Rozwiązania automodelowe.
Z pomocą tzw. „przekształcenia automodelowego” ( przekształcenia podobieństwa ) dla równania (7.1.3) moŜemy znaleźć inny typ rozwiązań. Przy przekształceniach skalowania, postaci : x → kαx, t → kβt, u → kγu , bezpośrednie podstawienie do równania KdV demonstruje inwariantność tego równania względem tych przekształceń w przypadku : β = 3α i γ = -2α. Parametr α moŜe być wybrany w dowolny sposób, np. α = 1. W tym przypadku równanie (7.1.3) jest inwariantne względem przekształcenia skali :
x → kx, t → k3t, u → k-2u
Oprócz tego, kombinacja zmiennych : xt-1/3, ut2/3 jest równieŜ inwariantna względem skalowania. Wyniki te podpowiadają zmianę zmiennych o postaci :
z = x / (3t)1/3 (7.2.16a)
u(x, t) = -(3t)1/3 f(z) (7.2.16b)
gdzie czynnik 3 wybrano ze względu na wygodę rachunków. Po uwzględnieniu powyŜszych zaleŜności :
∂/∂t = (∂z/∂t)∂/∂z = - (z/3t) ∂/∂z oraz ∂/∂x = (∂z/∂x)∂/∂z = [ 1/ (3t)1/3 ] ∂/∂z
f ‘’ = 3f2 – t + c (7.2.19) gdzie : c- stała całkowania.
To rrz znane jest jako równanie Painleve’a pierwszego rodzaju. Równanie (7.2.17) związane jest z równaniem Painleve’a drugiego rodzaju. Znaczenie tych szczególnych rrz w przekształceniach automodelowych równania KdV omówimy w rozdziale 8.
7.2.d Prawa zachowania.
JeŜeli rrc, takie jak równanie KdV, rozpatrywać jako układ dynamiczny o nieskończonej liczbie stopni swobody, to naturalnym jest, uwzględniając charakter wcześniejszego wykładu, zająć się takim zagadnieniem : Czy równania tego typu posiadają jakiekolwiek całki ruchu ?
W przypadku rrc w miejsce pojęcia całki ruchu wykorzystuje się pojęcie „prawa zachowania”. Takie prawa wyraŜamy zaleŜnościami postaci :
Tt + Xx = 0 (7.2.20)
Gdzie : T, X – określone funkcje u, będące rozwiązaniem rrc
T – nazywamy gęstością , a X – potokiem. Jeśli T jest gradientem X ( T = Fx ) i jak wynika z (7.2.20) X = -Ft , to prawo
MoŜemy, zatem rozpatrywać te wielkości jako analogi dla rrc całek ruchu rrz.
W przypadku równania KdV (7.1.3) samo to równanie posiada postać prawa zachowania : (u)t + ( -3u2 + uxx )x = 0
Z takiego prawa zachowania wynika zaleŜność : ∞
∫
u dx = const. (7.2.24)- ∞
wyraŜająca zachowanie masy. MnoŜąc równanie KdV przez u, otrzymamy drugie prawo zachowania : (u2 )t + ( -2u3 – ½ ux2 + uuxx )x = 0
W tym przypadku : ∞
∫
u2 dx = const. (7.2.25)-∞
co odpowiada zachowaniu pędu. Pewne wywody prowadzą nas do trzeciego prawa zachowania :
(u3 + ½ ux2 )t = ( 9/2 u4 – 3u2 uxx + 6uux2 - uxuxxx + ½uxx2 )x (7.2.26) skąd otrzymujemy :
∞
∫
( u2 + ½ ux2 ) dx = const. (7.2.27)-∞
Później pokaŜe w jaki właściwie sposób całka (7.2.27) reprezentuje hamiltonian dla równania KdV.
Mając te trzy prawa zachowania, moŜna zadać sobie pytanie: Czy istnieją jeszcze jakieś prawa zachowania i czy ich liczba moŜe być nieskończona, co odpowiadałoby nieskończonej liczbie stopni swobody ?
To ostatnie w pewnym sensie oznaczałoby całkowitą „całkowalność”. Kruskal wraz z współpracownikami [12] znaleźli ( właściwie tylko za pomocą kilkunastu rachunków wykonanych „na kartce papieru” ) dziewięć praw zachowania.
Heroiczne wysiłki Miury [11] zakończone zostały uzyskaniem dziesiątego prawa, co w tym czasie stanowiło istotny dowód na to, Ŝe istnieje nieskończona liczba wielkości zachowanych.
7.2.e Przekształcenia Miury.
WaŜnym aspektem analizy praw zachowania dla równania KdV, ukazanym przez Miurę, polega na zbadaniu, bliskiego co do postaci równania nazywanego „zmodyfikowanym równaniem KdV” (mKdV), mającym postać :
ut + 6u2 ux + uxxx = 0 (7.2.28)
Równanie to moŜe być wyprowadzone analogicznej do równania KdV, wychodząc z siatkowego modelu Fermiego-Ulama-Pasta, jeŜeli w miejsce nieliniowości kwadratowej wprowadzić nieliniowość kubiczną. Wraz ze zbiorem praw zachowania dla równania KdV Miura znalazł takŜe prawa zachowania odpowiadające równaniu mKdV.
Podstawowy wynik polegał na wskazaniu , Ŝe te dwa zbiory praw zachowania związane są „przekształceniem Miury” :
u = ux + v2 (7.2.29)
gdzie : u, v – oznaczają rozwiązania odpowiednio równania KdV i mKdV.
JeŜeli wprowadzimy oznaczenia :
K(v) = vt + 6v2 vx + vxxx = 0 (7.2.30a) P(u) = ut - 6u2 ux + uxxx = 0 (7.2.30b) To uwzględniając (7.2.29), otrzymamy :
P(u) = ( 2v + ∂/∂x) K(v) (7.2.31) Opierając się na tych wynikach Miura [12] wprowadził pewne zmodyfikowany przekształcenie o postaci :
u = w + εwx + ε2w2 (7.2.32)
ZauwaŜmy, Ŝe Q(w) moŜemy równieŜ zapisać w postaci prawa zachowania :
(w)t + ( -3w2 – 2ε2w2 + wxx )x = 0 (7.2.35) Idea polega teraz na tym, aby rozłoŜyć „w” w szereg potęgowy względem małego parametru ε :
∞
w =
ΣΣΣΣ
εj wj (7.2.36)j=0
Wartości wj łatwo moŜemy znaleźć poprzez rozwiązanie rekurencyjne równania (7.2.32) :
w0 = u (7.2.37a)
w1 = -u x (7.2.37b)
w1 = u xx – u2 (7.2.37c)
itd.
Prawa zachowania znajdujemy, podstawiając (7.2.36) do (7.2.35) a następnie przyrównując wyrazy o jednakowych potęgach przy ε. Wynik bezpośrednio z tego faktu, Ŝe wyraŜenie (7.2.36) samo jest zapisane w postaci prawa zachowania. Kilka pierwszych praw zachowania ma postać : Czytelnik moŜe sprawdzić, Ŝe prawa (7.2.38a) i (7.2.38b) odpowiadają prawom zachowania, odpowiednio (7.2.24) i (7.2.25). (Przy sprawdzaniu drugiej zaleŜności naleŜy wykorzystać *7.2.38a) w celu przekształcenie lewej strony (7.2.38c) ). Prawo dla O(ε1 ) przedstawia sobą nic innego jak pochodną prawa O(ε0 ). Jest to ogólny wynik : Prawa zachowania, odpowiadające nieparzystym potęgom ε otrzymujemy jako pochodne wcześniejszych praw odpowiadającym potęgom parzystym.
7.2.f Inwariantność Galileusza.
Przekształcenie Gardnera zadaje algorytm obliczenia nieskończonego zbioru zachowujących się gęstości dla równania KdV. Jak juŜ zauwaŜyliśmy w rozdziale 2 istnienie całki – w danym przypadku zachowanej gęstości – oznacza istnienie pewnej specjalnej symetrii lub inwariantności. Równanie KdV, zatem powinno posiadać nieskończonym zbiorem takich inwariantów i odpowiednio powinno charakteryzować się pewnymi niestandardowymi własnościami.
Jednym z podstawowych inwariantów równania KdV jest inwariant Galileusza ( inwariantność względem przesunięć ).
JeŜeli dokonamy zamiany zmiennych : t’ = t , x’ = x – ct , u’( x’, t’ ) = u(x, t) + 1/6 c
odpowiadającą przejściu do układu poruszającego się w prawo, równanie KdV przyjmie postać :
u’t’ – 6u’ ut’ + u’ x’x’x’ = 0
tj. jest ono inwariantne względem przekształcenie o wskazanej postaci.
Równanie mKdV, jak łatwo pokazać takiej inwariantności nie posiada. Nadto, jeŜeli dokonamy wskazanej zamiany zmiennych dla przekształcenia Miury (7.2.29), to otrzymamy – podstawiając c = 3/2 ε2, przekształcenie Gardnera (7.2.32).