Chaos i całkowalność w mechanice quasiklasycznej ( semiklasycznej)
6.4 Widma regularne i nieregularne : własności związane z wartościami własnymi
Rys. 6.2 a) rozmaitość Lagrange’a Σ w przestrzeni ( p, q). Punkty na Σ umieszczone są z pomocą nowych zmiennych kanonicznych Q. b) Ewoluująca rozmaitość Lagrange’a Σt demonstrułująca pojawienie się dwóch kaustyk q*1 , q*2 .
ZauwaŜmy, Ŝe wprowadzona postać funkcji falowej wyklucza moŜliwość zidentyfikowania rozmaitości Lagrange’a, która nie ogranicza się tylko do układów całkowalnych (* Inwariantne torusy układów całkowalnych są rozmaitościami Lagrange’a – jednak tylko przy warunku, Ŝe są one stacjonarne *)
Zwykle Σ nie są rozmaitościami stacjonarnymi i ewoluują w czasie. Ewolucja Σ ( oznaczmy ją jako Σt ) pod działaniem potoku hamiltonowskiego jest oczywiście bardzo złoŜona. W dwuwymiarowej przestrzeni fazowej ewolucja Σt przejawia się w postaci wąsów i zapętleń, w raz ze wzrostem wymiaru jej złoŜoność moŜe tylko rosnąć. Oprócz tego p zwykle przedstawia wieloznaczną funkcję q ( rys. 6.2 b) zatem pojawia się wiele kaustyk. Stopniowe zwiększanie się liczby takich kaustyk prowadzi do tego, Ŝe wyraŜenie (6.3.14) dla funkcji falowej staje się zawiłe.
To waŜne zagadnienie będziemy jeszcze omawiali w podrozdziale 6.6
6.4 Widma regularne i nieregularne : własności związane z wartościami własnymi.
Twierdzenie KAM stwierdza, Ŝe w przypadku hamiltonianów niecałkowalnych wraz ze wzrostem ( niecałkowalnego) zaburzenia coraz większa liczba torusów zostaje rozruszana. Ruch w układach silnie niecałkowalnych jest w znacznym stopniu chaotyczny i zachowuje się tylko niewielka liczba torusów. Dla większości stanów związanych zasady EBK przy pewnych wartościach energii są raczej niestosowalne, jak juŜ powiedzieliśmy wcześniej zauwaŜył to Einstein.
Jednak w sposób właściwy znaczenie tych trudności dostrzegł znacznie później Percival [4], który podzielił spektrum energetyczne (* pod pojęciem „spektrum” rozumiemy tu po prostu zbiór poziomów energetycznych *) stanu związanego w przedziale quasiklasycznym ħ → 0 , na dwie części :
1) Spektrum regularne – reŜim całkowalnego (regularnego) ruchu, przy którym wszystkie stany mogą być skwantowane zgodnie z zasadami EBK.
2) Spektrum nieregularne – reŜim w znacznym stopniu chaotyczny ( nieregularny), nie moŜna stosowa zasad EBK.
Te dwie rozłączne klasy spektrum mogą posiadać zupełnie róŜne własności, odzwierciedlające róŜny rodzaj klasycznego ruchu „leŜącego u ich podstaw”. Pojęcie nieregularnego spektrum jest waŜne z tego względu, Ŝe w pewnym sensie informuje nas, Ŝe w granicy ħ → 0 „leŜący u podstaw” klasyczny chaos będzie przejawiał się w kwantowo-mechanicznych własnościach rozwaŜanego układu. Taka wskazówka posłuŜyła dla dalszych badań „chaosu kwantowego”, który nie zawsze związany jest z granicą ħ → 0. W związku z tym wszystko co omawiamy teraz nierozłącznie będzie się wiązało z przedziałem quasiklasycznym a wszelkie wyobraŜenie dotyczące „chaosu kwantowego” zakładają związek z chaosem klasycznym.
Omówienie podstawowych róŜnic własności spektrum regularnego i nieregularnego będzie składało się z dwóch części.
Pierwsza część, składająca się na obecny rozdział, poświęcona będzie podstawowym własnością wartości własnych, druga część ( rozdział następny ) będzie poświęcona omówieniu własności wektorów własnych ( funkcjami falowymi ) 6.4.a Stany związane – regularne i nieregularne.
Zasadnicza róŜnica między stanami regularnymi i nieregularnymi polega na tym ,Ŝe stan regularny moŜe być opisany za pomocą zbioru wszystkich „dobrych” liczb kwantowych n = ( n1, ... , nN ) N – liczba stopni swobody. Stanowi o liczbach kwantowych n moŜna zatem przypisywać zbiór trajektorii na N-wymiarowym torusie o stałym działaniu, zadanym przez zasady EBK (6.3.10). Odpowiednio zatem istnieje odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna między stanem regularnym i torusem klasycznym. W przypadku stanu o nieregularnym spektrum – przeciwnie, nie tylko nie istnieje sposób sensownego zadania „dobrych” liczb kwantowych ale równieŜ nie moŜna niczego sensownego
powiedzieć o jego strukturze w przestrzeni fazowej , moŜemy jedynie stwierdzić, Ŝe stan taki powinien „zajmować”
objętość ( 2πħ )N. Niektórzy autorzy uwaŜają jednak, Ŝe w reŜimach chaotycznych moŜna zawsze, wykorzystując określone metody klasycznej teorii zaburzeń, zbudować „przybliŜone” torusy oraz wykorzystać w celu ich skwantowania zasady EBK ( zobacz [16] ). W poddanych analizie układach modelowych otrzymane w ten sposób linię energetyczne dostatecznie dobrze zgadzały się z obliczeniami kwantowo-mechanicznymi. Omówione wyniki poruszają bardzo waŜne zagadnienie związane z tym ,Ŝe rozpatrywane układy nie zawierały wystarczającej liczby stanów związanych - jest to sytuacja w której ħ jest względnie „duŜa”. Jest zrozumiałe, Ŝe przypadek w którym obszar przestrzeni fazowej zajęty przez ruch chaotyczny jest istotnie mniejszy niŜ O( ( 2πħ )2 ) tj. od „rozmiaru” stanu kwantowego, nie przedstawia Ŝadnego interesu z punktu widzenia mechaniki kwantowej. Wynika z tego, Ŝe ħ odgrywa w pewnym sensie rolę
„wygładzającą”, powodując zachowanie torusów, które ogólnie mówiąc powinny zostać rozruszane. Jest równieŜ zrozumiałe, Ŝe poniewaŜ ħ jest wielkością bardzo małą, prezentowane podejście raczej nie moŜe być zastosowane co prowadzi do podstawowego problemu poszukiwania quasi-klasycznych warunków kwantowania dla układów
chaotycznych. Do chwili obecnej nie przedstawiono Ŝadnego „prostego” podejścia, istnieje jednak „pośrednia” metoda oparta na wykorzystaniu klasycznych periodycznych trajektorii. Ta waŜna metoda zostanie wyłoŜona w kontekście
„odwzorowań kwantowych” w podrozdziale 6.7.
Opierając się na fakcie braku „dobrych” liczb kwantowych w przypadku stanów nieregularnych Percival [4] doszedł do wniosku, Ŝe spektrum regularne i nieregularne powinny być rozróŜniane zgodnie z ich prawdopodobieństwami przejścia między stanami. Przejścia między stanami regularnymi spektrum powinny charakteryzować się ścisłymi zasadami wyboru, to zakłada, Ŝe spektrum ( w sensie wielkości obserwowanych spektroskopowo ) składa się z niewielkiej ilości intensywnych linii, odpowiadających stanom silnie związanym. Z drugiej strony zakłada się, Ŝe stany nieregularnego ( energetycznego ) spektrum będą w jednakowym stopniu związane ze wszystkimi tymi stanami, o bliskiej sobie wartości energii, które odpowiadają jednemu „chaotycznemu” obszarowi przestrzeni fazowej, w ten sposób oczekujemy, Ŝe spektrum będzie składało się z duŜej ilości słabych linii. Póki co nie istnieją dane eksperymentalne jednoznacznie potwierdzające istnienie spektrum nieregularnego.
6.4.b Spektrum mocy i zasada odpowiedniości.
Odpowiedniość między klasycznym spektrum mocy ( opisanym w rozdziale 4 ) i spektrum kwantowym ( spektrum przejść ) moŜe by łatwo zrozumiała w reŜimie regularnym.
Rozpatrzmy dwa stany EBK : En = H( I = nħ ) i Em = H( I = mħ ), gdzie dla wygody opuściliśmy człony Masłowa.
JeŜeli Em jest dostatecznie bliskie En , moŜemy rozłoŜyć Em w otoczeniu En w szereg Taylora i otrzymać, ograniczając się do członów pierwszego rzędu, zaleŜność :
Em = H( nħ ) + ħ ( m – n ) [ ∇I H(I) ]I=nħ + ... (6.4.1) Kwantowa częstość przejścia ωmn zadana jest wyraŜeniem :
ωmn = ( 1/ħ) ( Em - En ) ≅ ( m –n ) ω( nħ ) (6.4.2)
wykorzystaliśmy tu (2.5.15b).
Znaczy to, Ŝe spektrum mocy trajektorii klasycznej leŜącej na torusie o działaniu I = nħ, będzie składało się z linii ( w przybliŜeniu ) odpowiadających przejściu kwantowemu n → m . W granicy ħ → 0 lub | n| >> | n – m | częstości klasyczne i kwantowe pokrywają się. Nadto, kwadraty modułów klasycznych współczynników Fouriera odpowiadają prawdopodobieństwom przejść kwantowych. W praktyce ( tj. wtedy gdy ħ ma wartość skończoną ) najdokładniejszą zgodność spektrum kwantowego i klasycznego otrzymujemy przyrównując spektrum kwantowe, przejścia n → m z spektrum klasycznym trajektorii która nie leŜy na torusie, scharakteryzowanym „działaniem stanu wejściowego” I = nħ tylko na torusie o „działaniu średnim” I = ħ (m + n )/2.
W przeciwieństwie do reŜimu regularnego, spektrum mocy trajektorii nieregularnej jest nadzwyczaj złoŜone i zawiera nieskończoną liczbę linii. Na chwilę obecną nie jest jasne, w jaki sposób takie spektra mogą być związane ze spektrum kwantowym. Całkiem moŜliwe jest, Ŝe taka odpowiedniość moŜliwa jest tylko w przypadku kiedy oba te widma zostaną uśrednione odpowiednio, względem obszaru trajektorii i stanów kwantowych. Jak widać potrzebujemy głębszego zbadania „zasady odpowiedniości” dla reŜimów nieregularnych.
6.4.c WraŜliwość na zaburzenia.
Percival [4] wykazał równieŜ, Ŝe stany regularne i nieregularne powinny być rozróŜniane równieŜ ze względu na ich zachowanie przy perturbacji. Stany nieregularne powinny charakteryzować się duŜą wraŜliwością na zewnętrzne lub powolnie zmieniające się zaburzenia – odzwierciedlając tym samym o pewnym sensie wraŜliwość trajektorii
klasycznych na warunki początkowe – podczas gdy, stany regularne powinny być względnie stabilne. Po raz pierwszy takie załoŜenie przedstawił Porter [21], który zbadał stany własne hamiltonianu postaci Henona-Heilesa :
H = ½ ( px2 + py2 + x2 + y2 ) + λ (x2 y - 1/3 y3 ) (6.4.3) Przy wartości λ = 0,088. Obliczano przy tym „róŜnice drugiego rzędu” :
∆2 Ei = Ei (λ + ∆λ) + 2 Ei (λ ) - Ei (λ - ∆λ) (6.4.4)
które posłuŜyły jako miara wraŜliwości –tej wartości własnej na małe zmiany (∆λ) przy perturbacji. Przy wartości energii odpowiadającej reŜimowi chaotycznemu, niektóre wielkości takich róŜnic okazały się nadzwyczaj duŜe. To świadczy na korzyść propozycji Percivala która jest równieŜ potwierdzona przez inne badania. Przykładowo w pracy [20] w której rozpatruje się ten sam hamiltonian (6.4.3) ale przy innej wartości λ, λ = 0,1118.
Na skutek symetrii potencjału, wartości własne mogą posiada albo symetrię A ( nieosobliwą) albo symetrię E ( podwójnie osobliwą ). Oprócz tego kaŜdemu stanowi moŜna przypisać główną liczbę kwantową i przybliŜoną liczbę kwantową „momentu pędu”. Pokazano, Ŝe wszystkie stany o duŜym momentem pędu charakteryzują się małymi wartościami ∆2 Ei podczas gdy stany o nieduŜym momencie pędu mają duŜe wartości ∆2 Ei [17].
Takie zachowanie jest zgodne z odpowiednimi wynikami mechaniki klasycznej. Wszystkie stany o duŜych momentach pędu mogą być porównane do torusów ( tj. z ruchem stabilnym ) i odpowiednio mogą być skwantowane zgodnie z zasadami EBK nawet w reŜimie chaotycznym. W przeciwieństwie do stanów o nieduŜych wartościach momentu pędu, które przy warunku, Ŝe mogą być obliczone w ramach przybliŜenia quasi-klasycznego okazują się być związane z torusami dla których wzrost energii oznacza ich rozruszanie.
Przeprowadzone badania pokazały równieŜ inną interesującą własność : poziomy energetyczne mogą zarówno
„przecinać się „ jak i „unikać przecinania”. Okazuje się bowiem ,Ŝe przy duŜych wartościach energii , szereg stanów ( dopuszczalnych z punktu widzenia ich symetrii ) przedstawionych w postaci funkcji λ przecina się. JeŜeli nie uwzględni się tego w obliczeniach to otrzymane być mogą zawyŜone wartości ∆2 Ei .
6.4.d Rozkład odległości między poziomami.
Berry [1] zauwaŜył, Ŝe dla pełniejszego ujawnienia róŜnic występujących między widmami regularnymi i
nieregularnymi waŜne jest zbada spektrum energetyczne w róŜnych skalach ħ. Dla stanów regularnych moŜe być to wykonane za pomocą zasad EKB, jednak dla stanów nieregularnych takiej moŜliwości, jak juŜ powiedziano wcześniej nie ma. W wielkich skalach, przeciwnie – spektrum moŜe być scharakteryzowane tylko w terminach średniej gęstości stanów ρ- (E), zadanej wzorem Thomasa-Fermiego :
ρ- (E) = ( 1/2πħ)
∫ ∫
δ ( E – H( p , q ) ) dp dq (6.4.5) który przedstawia miarę Liouville’a klasycznej przestrzeni fazowej przy wartości energii E, odniesionej do objętości statystycznej ( 2πħ )N „zajętej” przez stan kwantowy. Zrozumiałe, Ŝe w tej wielkiej skali nie mamy sposobu na rozróŜnienie przejawu regularnego i nieregularnego klasycznego ruchu.Jedną z charakterystyk spektrum mocy, najaktywniej badaną na pośrednich skalach wielkości jest statystyka rozkładu odległości między poziomami energii. Rozkłady te przedstawiają własności spektrum w skalach rzędu średniej odległości między liniami energetycznymi tj. jak widać z (6.4.5) rzędu ħ N lub2πħ (ρ- )-1. Przegląd tych problemów podje Berry [13]. NajwaŜniejsza wielkością jest „rozkład odległości między blisko połoŜonymi sąsiednimi liniami”, scharakteryzowany funkcja prawdopodobieństwa P(s)ds., która zadaje prawdopodobieństwo tego, Ŝe odległość między dwoma sąsiednimi ( energetycznie) liniami zawartymi w interwale między s a s + ds. Wielkość tą szeroko wykorzystuje się dla badania statystycznych własności linii energetycznych jąder, o wysokiej gęstości stanów. Zakładając, Ŝe jako model linii energetycznych jądra moŜe słuŜyć wartości własne macierzy losowych, elementy których moŜemy określamy z rozkładu Gaussa, Wigner [23] wykazał, Ŝe :
P(s) = ( πs/2) exp { -πs2 / 4} (6.4.6)
W dalszej kolejności pokazano, Ŝe wynik ten prawie idealnie zgadza się z dokładnym rozwiązaniem modelu.
( wyprowadzenie którego stanowi złoŜone zagadnienie fizyki matematycznej [19] ).
Dane eksperymentalne dotyczące linii energetycznych jądra całkowicie potwierdzają wywód Wignera.
WaŜne jest zauwaŜyć, Ŝe P(s) → 0 przy s → 0, przez co moŜemy rozumieć pewne „odpychanie” lub „zbieganie się przecięć linii energetycznej. Oprócz tego (jądrowe) linie energetyczne mogą przynaleŜeć do róŜnych klas symetrii, podczas gdy z pomocą rozkładu Wignera (6.4.6), kaŜdą taką moŜemy opisywać tylko oddzielnie. Dlatego przy przesunięciu rozkładów naleŜących do róŜnych klas, pojawia się rozkład Poissona :
P(s) = e-s (6.4.7) który odpowiada zupełnie przypadkowej, niezorganizowanej organizacji linii energetycznych.
Aby badać związane z odległością między liniami energetycznymi, własności statystyczne wartości własnych
hamiltonianu, moŜna zadać „ansambl” przechodząc do granicy ħ → 0 w ten sposób gęstość stanów przy danej wartości energii E, dąŜy do nieskończoności. Zatem w małym obszarze energetycznym moŜemy znaleźć znaczne przerwy statystyczne odległości między liniami energetycznymi.
Dla układów zupełnie całkowalnych tj. takich układów, których wszystkie stany mogą być skwantowane zgodnie z zasadami EBK ) pokazano [14], Ŝe P(s) jest rozkładem Poissona (6.4.7) przy warunku nieosobliwości hamiltonianu :
det | ∂2H/∂Ii ∂Ij | ≠ 0 (6.4.8)
Dlatego najbardziej prawdopodobna odległość między liniami energetycznymi jest równa zero, co oznacza silne grupowanie linii. Nie powinno nas to dziwić. Stany regularne posiadają całkowity zbiór „dobrych” liczb kwantowych i mogą obrazować silnie skorelowany zbiór liczb kwantowych :
( n1 + 1, n2, ... , nN ) , ( n1 + 2, n2, ... , nN ) ,( n1 + 3, n2, ... , nN ) ...
Właśnie takie zbiory mogą prowadzić do ścisłych zasad wyboru Percivala. Oprócz tego, z punktu widzenia odległości energetycznych, wszystkie te zbiory powinny przemieszywa się i naleŜy oczekiwać , Ŝe ich korelacja będzie nieduŜa. W przypadkach hamiltonianów osobliwych, takich jak układy oscylatorów harmonicznych otrzymano róŜnorodne rozkłady, które zaleŜały od subtelnych teoretyczno-numerycznych własności częstości fundamentalnych.
Dla układów całkowalnych wskazywano cały szereg załoŜeń co do postaci P(s), opartych na tym ,Ŝe
„nieuporzadkowanie” spektrum nieregularnego moŜe w określonym sensie znaleźć swój wyraz w rozkładzie bliskim
rozkładu wignerowskiemu. Wykonano wiele badań numerycznych i wszystkie one wskazywały na przejście od rozkładu Poissona w reŜimach całkowalnych do pewnego rozkładu typu wignerowskiego. Wiele badań wskazywało na argument o zasadności twierdzenia, Ŝe :
lim P(s) ~ sγ (6.4.9)
s→ 0
gdzie γ – pewien wykładnik.
Berry [11] przywołał dowody na to, Ŝe γ = m-1, gdzie m- liczba parametrów układu, którą naleŜy zmieniać aby osiągnąć osobliwość linii energetycznych.
Idea dotycząca zaleŜności między quasi-klasycznym nieregularnym spektrum i spektrum wartości własnych,
określonych przez ansambl macierzy, jest pociągająca jednak wymaga ściślejszych uzasadnień. Nie jest jasne równieŜ, to czy moŜliwe jest eksperymentalne określenie rozkładu odległości między liniami energetycznymi z dokładnością wystarczającą dla jednoznacznego rozwiązania problemu dotyczącego regularności lun nieregularności spektrum.
6.4.e Sztywność spektralna.
Sztywność spektralna jest jeszcze jednym rodzajem statystycznej charakterystyki odległości między liniami
energetycznymi, która pozwala wprowadzić rozróŜnienie między układami całkowalnymi i chaotycznymi. Spektrum mocy moŜe być opisane z uŜyciem pojęcia funkcji „spektralnej schodkowej” :
N(E) =
ΣΣΣΣ
Θ ( E – En ) (6.4.10)n
Gdzie : Θ - jednostkowa funkcja schodkowa, En – zbiór uporządkowanych ( względem energii ) wartości własnych.
Wraz z wzrostem E w kaŜdej z wartości własnych En następuje „podskok” funkcji N(E) o jeden. Pochodna funkcji N(E) przedstawia sobą gęstość stanów :
ρ(E) = dN(E) /dE =
ΣΣΣΣ
δ ( E – En ) (6.4.11)n
Uśrednienie tej funkcji po przestrzeni fazowej prowadzi do zaleŜności Thomasa-Fermiego (6.4.5) :
N- (E) =
( 1/2πħ)∫ ∫
Θ ( E –
H( p , q ) ) dp dq (6.4.12) W ten sposób otrzymujemy całkowitą objętość przestrzeni fazowej ( odniesioną do (2πħ)N )aŜ do energii E,N- (E) - zadaje całkowita liczbę stanów leŜących poniŜej energii E.
Sztywność spektralną ∆(L) określamy jako średnie lokalne, odpowiadające L średnim odległością między poziomami energetycznymi, średnio-kwadratowe odchylenie funkcji schodkowej N(E) od prostej najlepszego przybliŜenia ( przypomnijmy, Ŝe średnia odległość między poziomami, jak wynika z (6.4.5) jest określona jako (ρ- )-1 ) : L/2ρ- (E)
∆(L) = < min ρ- (E)/L
∫
dε [ N(E + ε) – A – Bε ]2 > (6.4.13) A, B -L/2ρ- (E)Przeprowadzona przez Berre’go [12] quasi-klasyczna analiza zaleŜności (6.4.13) pokazała, Ŝe ∆(L) moŜna przedstawić jako sumę wkładów zamkniętych tj. periodycznych, trajektorii klasycznych, przy czym największy wkład wnoszą przyciągnięte trajektorię ( dokładniejszą rolę trajektorii periodycznych przy opisie spektrum mocy w przedziale quasi-klasycznym omówimy w podrozdziale 6.7 ). Wyniki uzyskane przez Berrego pokazują , Ŝe L zmienia się w określonym interwale :
1) ∆(L) = L/15 - dla układów klasycznych całkowalnych
2) ∆(L) = ln( L/π2 ) + E – dla układów odwracalnych w czasie i klasycznie chaotycznych.
3) ∆(L) = ln( L/2π2 ) + D – dla układów nieodwracalnych w czasie i klasycznie chaotycznych.
D, E – są tutaj pewnymi określonymi stałymi.
Przy duŜych wartościach L zachowanie ∆(L) traci swą uniwersalność.
Dokładniej z tymi zagadnieniami moŜna zapoznać się w oryginalnej pracy [12]