Punkty stałe i twierdzenie Poincarego-Birkhoffa o punkcie stałym

Punktem stałym ( X*) odwzorowania T jest taki punkt , dla którego :

TX* = X* (4.3.1)

Zrozumiałe jest ,Ŝe w przypadku trajektorii periodycznej, odwzorowanie kolejnych n-iteracji ( X0, X1, ... , Xn ) w ten sposób , Ŝe : Xn+1 = Xi kaŜdy punkt Xi jest punktem stałym względem Tn , gdzie Tn oznacza n kolejnych

odwzorowań T :

Tn Xi = Xi (4.3.2)

Omawiając w rozdziale 1 dynamikę na płaszczyźnie fazowej, widzieliśmy, Ŝe punkty stałe są wygodnymi centrami

„organizującymi”. W istocie, analiza punktów stałych w przypadku odwzorowań mało róŜni się od naszych

wcześniejszych wyników, róŜnicą jest jedynie to, Ŝe własność T zachowywania pola nakłada istotne ograniczenia na moŜliwe typy punktów stałych.

4.3.a Odwzorowanie styczne.

Rozpatrzmy pewne odwzorowanie T, działanie którego symbolicznie zapiszemy następująco :

[ xi+1 ] = T [ xi ] (4.3.3)

[ yi+1 ] [ yi ]

MoŜe ono przedstawiać przekształcenie postaci (4.2.7). Dla uproszczenia załóŜmy, Ŝe T ma punkt stały w początku układu współrzędnych na płaszczyźnie fazowej (x, y) = (0, 0). Linearyzując standardowym sposobem T w otoczeniu tego punktu otrzymamy odwzorowanie (liniowe ), często nazywane „odwzorowaniem stycznym” :

[ δxi+1 ] = [ T11 , T12 ] [ δxi ] (4.3.4)

[ δyi+1 ] [ T21 , T22 ] [ δyi ]

( przykładowo dla ( 4.2.7) T11 = (∂f/∂x)x=y=0 itd. )

Typ punktu stałego określony jest przez wartości własne (4.3.4) :

| T11 –λ , T12 | = 0 (4.3.5)

| T21 , T22 - λ |

Te wartości własne otrzymujemy jako rozwiązania równania kwadratowego : λ2 – λ( T11 + T22 ) + λ ( T11T22 - T12 T21 ) = 0

które moŜemy zapisać równieŜ w postaci : λ2 – λ( Tr ( T) + λ ( det (T) ) = 0

PoniewaŜ przekształcenie T zachowuje pole ( tj. det (T) = 1 ), pierwiastki obliczamy jako :

λ1,2 = ½ [ Tr (T) ] ± ½ sqrt [ ( Tr (T) )2 – 4 ] (4.3.6)

Wykorzystując standardowe metody algebry liniowej , zawsze moŜemy przejść do reprezentacji , która diagonalizuje (4.3.4) :

Teraz łatwo moŜemy interpretować te trzy róŜne moŜliwości dla wartości własnych.

4.3.b Klasyfikacja punktów stałych

Pierwszy przypadek ( λ1,2 = e± iα ) przedstawia sobą obrót :

[ ξi+1 ] = [ e iα 0 ] [ ξi ] (4.3.10)

[ ηi+1 ] [ 0 e -iα ] [ ηi ] w otoczeniu punktu stałego (0, 0).

Przypadek ten odpowiada punktowi stabilnemu lub punktowi stałemu eliptycznemu. MoŜemy zatem załoŜyć istnienie krzywych inwariantnych w bezpośrednim otoczeniu punktu (0, 0) ( zobacz rys 1.10b, jak równieŜ omówienie twierdzenia KAM dla przypadku punktów równowagi w podrozdziale 3.5 )

W przypadku λ1 = 1/ λ2 linearyzowane przekształcenie ma postać :

[ ξi+1 ] = [ λ 0 ] [ ξi ] (4.3.11)

[ ηi+1 ] [ 0 1/λ ] [ ηi ]

co pozwala na otrzymanie ruchu hiperbolicznego w otoczeniu (0, 0). Szczegółowe zachowanie (4.3.11) uwarunkowane jest znakiem λ.

Przypadek a) λ > 0 – punkt stały hiperboliczny, przy kolejnych iteracjach (4.3.11) pozostajemy na jednej z gałęzi hiperboli ( rys. 4.12a)

Przypadek b) λ < 0 – punkt stały hiperboliczny z odbiciem, przy kolejnych iteracjach (4.3.11) skaczemy między przeciwnymi gałęziami hiperboli ( rys. 4.12b). Wynika to z następującego faktu :

[ δξ1 ] = [ - | λ |δξ0 ]

Rys. 4.12 a) Punkt stały hiperboliczny, b) punkt stały hiperboliczny z odbiciem

Przypadek λ1 = λ2 = ± 1 ,będzie nam łatwiej interpretować jeŜeli zauwaŜymy, Ŝe w zmiennych wejściowych ( δxi, δyi ) ( linearyzowane) przekształcenie (4.3.4) zawsze moŜemy zapisać w postaci ( przy wyborze λ1 = +1 ) :

[ δxi+1 ] = [ 1 , c ] [ δxi ] (4.3.12)

[ δyi+1 ] [ 0 , 1 ] [ δyi ]

gdzie c – dowolna stała, charakteryzująca przeniesienie równoległe osi x. Taki punkt stały znany jest jako

„paraboliczny” ( rys. 4.13)

Rys. 4.13 Punkt stały paraboliczny.

ZauwaŜmy, Ŝe jeśli podstawić δy0 = 0 to kaŜdy punkt osi x będzie punktem stałym dla (4.3.12).

Taka sytuacja ma miejsce dla inwariantnych torusów lub krzywych, pokrytych zamkniętymi trajektoriami, kiedy kaŜdy punkt krzywej ( na płaszczyźnie fazowej lub na powierzchni przekroju ) jest punktem stałym potoku.

4.3.c Twierdzenie Poincarego-Birkhoffa o punkcie stałym.

W tej chwili jesteśmy gotowi do szczegółowego omówienia fundamentalnego zagadnienia o losie torusów o wymiernym stosunku częstości ( lub krzywych o wymiernej liczbie obrotów) przy ( małym ) zaburzeniu.

Do tego zagadnienia właściwym wydaje się podejście z punktu widzenia odwzorowania obrotu, które przedstawiliśmy w postaci ( podrozdział 4.2) akcentującej zaleŜność wzajemną z hamiltonianami, o dwóch stopniach swobody.

Przywołajmy ponownie obraz transwersalnego przecięcia rodziny torusów, nieperturbowane odwzorowanie obrotu moŜemy przedstawić w postaci :

φ’ = φ + ∂/∂I’ S0(I’) (4.3.13a)

I’ = I (4.3.13b)

Gdzie w przypadku dwu wymiarowych torusów : ∂S0/∂I = 2πω1/ω2. ( wielkością primowanym odpowiada (i+1) iteracja odwzorowania, nie primowanym i-ta iteracja ).

Twierdzenie KAM stwierdza, Ŝe przy dostatecznie małej perturbacji εS1( I, φ) tj. w przypadku odwzorowania :

φ’ = φ + ∂/∂I’ S0(I’) + ε ∂/∂I’ S1(I’, φ) (4.3.14a)

I’ = I + ε ∂/∂φ S1(I’, φ) (4.3.14b)

„większość” inwariantnych krzywych zostaje zachowana, jeŜeli spełniony jest warunek nieosobliwości :

det | ∂2S0/∂Ii ∂Ij | ≠ 0 (4.3.15)

W naszym przypadku rozumiemy, Ŝe „większość” nie zawiera krzywych o wymiernej liczbie obrotów α = ω1/ω2 = r/s.

MoŜemy teraz wykorzystać te odwzorowania w celu dokładnego zbadania zachowania krzywych wymiernych poddanych działaniu perturbacji.

Rozpatrzmy mianowicie dwie krzywe C+ i C- , leŜące po obu stronach krzywej C o wymiernej liczbie obrotów α = r/s, jak to schematycznie pokazano na rysunku 4.14a. ZałóŜmy równieŜ , Ŝe α = α(I) rośnie monotonicznie wraz ze wzrostem I. JeŜeli odwzorowanie oznaczymy przez T :

[ φ’ ] = T [ φ ] (4.3.16)

[ I’ ] [ I ]

to kaŜdy punkt krzywej C będzie punktem stałym dla Ts, poniewaŜ :

Ts [ φ ] = [ φ + s(∂S0/∂I ) ] = [ φ + s2π(r/s) ] = [ φ + 2πr ] = [ φ ] (4.3.17) [ I ] [ I ] [ I ] [ I ] [ I ]

Zatem, względem C odwzorowanie Ts obraca C+ przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, a C- zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.

Rys. 4.14 a) Krzywe inwariantne nieperturbowanego odwzorowania obrotu T z liczbą obrotu α < r/s dla C-, α = r/s dla C i α > r/s C-. b) Wynik zastosowania do tych krzywych perturbowanego odwzorowania Tε. Na mocy tego, Ŝe względny obrót zachowuje C+ i C- , a jednocześnie zachowane zostają punkty ( X ) dla których współrzędna kątowa nie zmienia się. Krzywa R między C+ i C- przedstawia krzywą zbudowaną z takich punktów.

Rozpatrzmy dalej słabo perturbowane odwzorowanie Tε. Zgodnie z twierdzeniem KAM C+ i C- zostają zachowane, chociaŜ są lekko zaburzane ( oznaczmy je C+ε i C

-ε ). Te krzywe są krzywymi inwariantnymi T-ε : Tε( C+

ε) = C+

ε i Tε(C -ε ) = C

-ε (4.3.18)

Oprócz tego, załoŜymy, Ŝe ε jest dostatecznie małe aby obroty C+ε i C

-ε zostały zachowane pod działaniem Ts

ε. Jeśli tak między C+ε i C

-ε powinien istnieć jeden jedyny punkt, którego współrzędne kątowe φ zostają zachowane pod działaniem Tsε. W rzeczywistości, na kaŜdym z promieni ( poprowadzonych od centrum) powinien leŜeć jeden taki punkt, moŜemy zatem narysować krzywą R, zbudowaną z takich punktów ( rys. 4.14b ). R nie jest krzywą inwariantną Tε, chociaŜ zawiera ona punkty stałe Tε. ( Dla punktu stałego powinien zosta zachowany zarówno „kąt” jak i „promień”

– podczas gdy mamy zachowane jedynie kąty ). MoŜna to sprawdzić poddając R odwzorowaniu Tsε :

R’ = Tsε R (4.3.19)

Nowa krzywa R’ będzie przecinać R w parzystej liczbie punktów ( wynika to z prostych geometrycznych rozwaŜań ), które to punkty są punktami stałymi Tsε ( rys. 4.15a ) ( Wykluczyliśmy z rozwaŜań wszystkie punkty styczności R i R’, które nie dotyczą ogólnej sytuacji ). Jest to właśnie twierdzenie o punkcie stałym Poincarego-Birkhoffa. Stwierdza ono, Ŝe w wyniku perturbacji krzywej o stosunku wymiernym o liczbie obrotów r/s (dla której w układzie nieperturbowanym kaŜdy punkt przedstawia punkt stały Ts ) zachowana zostaje tylko parzysta liczba 2ks ( k= 1,2 ... ) punktów stałych.

( Jak wkrótce się przekonamy, przy tym punkty stabilne i niestabilne staja się okresowymi ). Krotność liczby takich punktów 2s, jest łatwo znaleźć. W tym celu rozpatrzymy jeden z ( parzystej liczby) punktów stałych P, który wyznaczony jest jako przecięcie R i R’. Zgodnie z definicją punkt ten jest punktem stałym odwzorowania Tsε.

Tε okresla trajektorię : P, TεP, T2

εP , ... , Ts-1

εP. Jednak kaŜdy punkt tej zamkniętej trajektorii jest równieŜ punktem stałym Tsε. Odpowiednio zatem mamy s punktów stałych, związanych z kaŜdym punktem przecięcia R i R’ –

wszystkich ich jest zatem 2ks.

Rys. 4.15 a) Przekształcenie krzywej R w nową krzywą R’ = TsεR. Literką P zaznaczyliśmy punkty przecięcia tych dwóch krzywych. b) Zgodnie z „liniami potoku” punkty stałe hiperboliczne i eliptyczne stają się okresowe.

Patrząc na rys. 4.15 moŜemy zauwaŜyć, śledząc „linię potoku”, Ŝe ma miejsce uokresowienie punktów stałych hiperbolicznych i eliptycznych. Zatem, w wyniku perturbacji krzywej wymiernej o α = r/s zostaje zachowane 2ks punktów stałych odwzorowania Tsε, stanowią one zbiór okresowy punktów eliptycznych i hiperbolicznych. W otoczeniu kaŜdego punktu stałego eliptycznego odkrywamy rodzinę krzywych inwariantnych. Rodzina ta podlega twierdzeniu KAM ( zobacz podrozdział 3.5), zatem jej wymierne człony będą rozruszane zgodnie z twierdzeniem o punkcie stałym Poincarego-Birkhoffa. Taka struktura powinna mie strukturę hierarchiczną dla kaŜdego podpunktu punktu stałego eliptycznego. Zatem w otoczeniu kaŜdego takiego punktu spełnione powinny być jednocześnie twierdzenie o punkcie stałym i twierdzenie KAM, w wyniku czego pojawia się szczególna struktura powielająca sama siebie przy dowolnej zmianie skali, strukturę tą schematycznie przedstawiono na rysunku 4.16.

Rys. 4.16 Kolejne zastosowania twierdzenia KAM i twierdzenia o punkcie stałym prowadzą do samopowielającej się struktury punktów stałych ( x – oznacza hiperboliczny punkt stały )