Analityczna struktura układów dynamicznych
8.1 W poszukiwaniu układów całkowalnych
Rozdział VIII
Analityczna struktura układów dynamicznych
8.1 W poszukiwaniu układów całkowalnych.
W poprzednich rozdziałach nieustannie powracaliśmy do zagadnienia dotyczącego róŜnic między układami
całkowalnymi i niecałkowalnymi. Układy niecałkowalne posiadają moŜliwość przejawiania zachowań chaotycznych, podczas gdy układy całkowalne posiadają pełny zbiór, całek i stabilnym periodycznym zachowaniem. Układy
całkowalne obrazują w pewnym sensie „szkielet” na którym moŜemy rozwijać teorię zaburzeń. W przypadku układów hamiltonowskich o skończonej liczbie wymiarów rozwinięcie to w końcowej fazie prowadzi do twierdzenia KAM, mówiącym o zachowaniu
(* zachowaniu lub jak to nazwałem „rozruszaniu” – przypis własny *) lub torusów w przestrzeni fazowej przy ich zaburzaniu.
JeŜeli układ posiada nieskończenie wiele stopni swobody i jest przy tym całkowalny, to jak się przekonaliśmy moŜemy otrzymać rozwiązania solitonowe.
Patrząc przez pryzmat wszystkich dotychczasowych osiągnięć dynamiki nieliniowej, pojawia się podstawowe pytanie : W jaki sposób moŜemy a priori określić, czy dany układ jest całkowalny , czy nie jest całkowalny ?
Przykładowo, niech dany będzie parametryzowany układ Henona-Heilesa :
H = ½ ( px2 + py2 + Ax2 + By2 ) + Dx2y – 1/3 Cy2 (8.1.1)
Czy istnieją takie kombinacje parametrów A, B, C, D przy których jest on całkowalny ? Jak się okazało, istnieją cztery takie kombinacje :
a) D/C = 0 przy dowolnych A, B b) D/C = - 1 , A/B = 1
c) D/C = -1/6 przy dowolnych A, B d) D/C = -1/16 , A/B = 1/16
Przypadek a) jest trywialny, przypadek b) jest całkowalny co łatwo zauwaŜyć uwzględniając to, Ŝe równania ruchu mogą być rozdzielone przez prostą zamianę zmiennych Przypadki c) , d) – zwłaszcza nie są oczywiste.
Jedno z podejść dla określenia wariantów całkowalności dla dowolnego układu, polega na obliczeniu całek ruchu. W przypadku ogólnym jest to podejście najbardziej złoŜone, wymagający umiejętności i szczęścia. Dla pewnych klas układów specjalnej postaci a zwłaszcza dla hamiltonianów dwu wymiarowych o prostych całkach algebraicznych ( tj.
całek wyraŜanych za pomocą wielomianów zmiennych kanonicznych p, q), całki takie moŜemy znaleźć wykorzystując algorytm oparty na metodzie Bertranda ( opracowany w 1952; rozpatrzony np. w [8] ). W celu ustanowienia
całkowalności układów niehamiltonowskich takich jak np. układ Lorentza :
x• = σ ( y - x ) (8.1.2)
y• = -xz + Rx – y z• = xy – Bz
naleŜy poszukać całek zaleŜnych od czasu – jeśli takowe istnieją ( zobacz podrozdział 1.6 ).Jak zobaczymy dalej w istocie istnieje tylko niewielka liczba kombinacji parametrów σ, R i B, dla których powyŜsze równania są całkowalne. I chociaŜ w tym przypadku równieŜ istnieją pewne procedury, pozwalające w niektórych przypadkach znajdować
odpowiednie całki, obszar ich stosowania ( tak jak metoda Bertanda dla układów hamiltonowskich ) jest ograniczony a w aspekcie numerycznym są one uciąŜliwe.
W przypadku równań róŜniczkowych o pochodnych cząstkowych sytuacja nie jest nic lepsza. Rozpatrzmy przykładowy zbiór nieliniowych rrc :
ut – 6uux + uxxx = 0 (8.1.3a)
ut + 6u2ux + uxxx = 0 (8.1.3b)
ut + 6u3ux + uxxx = 0 (8.1.3c)
W jaki sposób moŜna określić które z tych równań jest całkowalne i posiadają rozwiązanie n-solitonowe ?
Po przeczytaniu rozdziału 7 oczywiście poznajemy w pierwszych dwóch równaniach, równanie KdV oraz mKdV, dla których OPR są znane i znamy w postaci jawnej ich rozwiązania n-solitonowe.
A co moŜemy powiedzieć o ostatnim równaniu ? Zamiast poszukiwać OPR moŜna próbować zapisać dla niego prawa zachowania. W chwili obecnej znane są trzy takie prawa, nie istnieją jednak dowody, Ŝe nie istnieją inne.
Inne podejście polega na numerycznym badaniu tego równania.
Zderzając falę odosobnione naleŜy prześledzić czy posiadają one własności solitonowe, tj. czy zachowują one swoją formę i prędkość po zderzeniu. Dla rozpatrywanego równania badania numeryczne nie przejawiają zachowania solitonowego. I chociaŜ jest to waŜny argument na to, Ŝe równanie jest całkowalne dowodem tego nie moŜna nazwać.
Zatem, nasz cel polega na podaniu prostego analitycznego testu, pozwalającego określić całkowalność zarówno rrz jak i rrc – niezaleŜnie od tego czy są one hamiltonowskie czy nie. Poszukiwanie to prowadzi nas na płaszczyznę zespoloną tj.
odpowiedź na postawione pytanie określona jest przez typ osobliwości analitycznego przedłuŜenia rozwiązania w obszarze zespolonym ich zmiennych niezaleŜnych. Jest to być moŜe na pierwszy ogląd podejście skomplikowane prowadzi on jednak do celu i operuje on tylko własnościami danego równania (równań ) róŜniczkowego i nie wymaga podania rozwiązań w postaci jawnej. Idea leŜąca u podstaw tej metody nie jest nowa i pojawia się po raz pierwszy w klasycznej pracy wybitnej matematyczki rosyjskiej Zofii Kowalewskiej
(* śycie Zofii Kowalewskiej (1850 – 1891 ) było tak nietrywialne jak jej prace. Interesujące będzie przeczytanie jej autobiografii [4]. Kowalewska musiała pokonać wiele trudności aby zdobyć wykształcenie matematyczne, które we współczesnych sobie czasach było zarezerwowane wyłącznie dla męŜczyzn *)
8.1.a Praca Kowalewskiej.
Znakomita praca Kowalewskiej, za która otrzymała nagrodę Paryskiej Akademii Nauk w 1888 roku, poświęcona była rozwiązaniu równań Eulera-Poissona, opisującego ruch bąka względem pewnego stałego punktu.
Przedstawiają one układ sześciu nieliniowych powiązanych między sobą rrz pierwszego rzędu :
A(dp/dt) = (B – C) qr – βz0 + γy0 (8.1.4a)
gdzie : p, q, r – składowe prędkości kątowej ; α, β, γ – kosinusy kierunkowe określające orientacje bąka.
Zbiór zmiennych A, B, C oraz x0 , y0 , z0 przedstawiają odpowiednio składowe mementu bezwładności i współrzędne środka cięŜkości. Są one parametrami tego układu – w zaleŜności od ich wartości, układ moŜe być lub nie być
całkowalny.
W czasach Kowalewskiej znaleziono tylko kilka rozwiązań szczególnych układu (8.1.4) a pytanie o moŜliwości jego rozwiązania w ogólnym postaci przy dowolnych wartościach parametrów A, B, C, x0 , y0 , z0 pozostawało otwarte.
Układ (8.1.4) posiada trzy „klasyczne” całki pierwsze przy dowolnych wartościach parametrów :
I1 = Ap2 + Bq2 + Cr2 – 2( x0α + y0β + z0γ ) (8.1.5a)
I2 = Apα + Bqβ + Crγ (8.1.5b) I3 = α2 + β2 + γ2 = 1 (8.1.5c) Pierwsze dwie całki przedstawiają sobą odpowiednio : energię całkowitą i całkowity moment pędu, trzecia wyraŜa
pewne geometryczne ograniczenia. Aby rozwiązać równania (8.1.4) naleŜy uzyskać czwartą całkę i tym samym sprowadzić układ do równań do układu drugiego rzędu, które mogłyby być scałkowane w kwadraturach.
Ta czwarta całka znana była dla następujących przypadków :
1) Przypadek Eulera x0 = y0 = z0 tj. środek cięŜkości pokrywa się ze stałym punktem obrotu. Łatwo jest sprawdzić, Ŝe całka ta ma postać :
I4 = A2 p2 + B2 q2 + C2 r2 (8.1.6) 2) Przypadek Lagrange’a : A = B, x0 = y0 = z0 tj. bąk jest symetryczny, środek cięŜkości połoŜony jest na osi z. W tym przypadku równanie (8.1.4c) staje się trywialne, a czwarta całka ma postać :
I4 = r (8.1.7)
3) Przypadek całkowicie symetryczny : A = B = C
Wszystkie te trzy przypadki dopuszczają całkowanie z uŜyciem funkcji eliptycznych Jakobiego.
Kowalewska podeszła do tego mechanicznego zagadnienia zupełnie inaczej, wykorzystała jawnie niefizyczną technikę zmiennych zespolonych. Opierając się na pracy Fuscha w której rozpatrzono własności równań róŜniczkowych pierwszego rzędu na płaszczyźnie zespolonej, chciała ona określić moŜliwe typy osobliwości równań (8.1.4).
Problem polegał na uzyskaniu warunków, przy których zwyczajny biegun był by jedyną odmianą „ruchomej osobliwości” rozwiązań na płaszczyźnie zespolonej.
Teraz naleŜałoby przerwa i wyjaśnić, co rozumiemy pod pojęciem „ruchomej osobliwości”. W przypadku liniowych rrz osobliwości określone są przez współczynniki równania i zlokalizowane są w ustalonych punktach płaszczyzny
zespolonej. Przykładowo, równanie :
d/dz f(z) + (1/z2 ) f(z) = 0 (8.1.8)
posiada nieruchomą osobliwość w punkcie z = 0. W tym przypadku rozwiązanie ma postać f(z) = ce1/z i widać, Ŝe osobliwość w punkcie z = 0 w rzeczywistości jest istotna. ( istotne punkty stałe dokładnie będą omówione w
podrozdziale 8.2.a ). Nieliniowe równania róŜniczkowe w przeciwieństwie do liniowych posiadają ruchome osobliwości, lokalizacja których określona jest przez warunki początkowe. Przykładowo, równanie :
d/dz f(z) + f 2(z) = 0 (8.1.9)
posiada rozwiązanie :
f(z) = 1/ ( z + z0 ) (8.1.10)
gdzie : z0 = 1/f(0).
Zatem, f(z) posiada biegun przy z = - z0 , gdzie z0 określone jest przez wartość początkową f(0).
Rozwiązaniem równania :
d/dz f(z) + f 3(z) = 0 (8.1.11)
jest :
f(z) = 1/ sqrt [ 2( z + z0 )] (8.1.12)
gdzie w danym przypadku : z0 = 1/ sqrt( f(0) ) i równanie posiada ruchomy punkt rozgałęzienia.
Kowalewska znalazła, Ŝe tylko w czterech przypadkach równania Eulera-Poissona posiadają tylko ruchome bieguny. Do znanych juŜ trzech przypadków dorzuciła jeszcze jeden ( przypadek Kowalewskiej ) : A = B = 2C , z0 = 0.
Czwarta całka ma postać :
I3 = [ p2 + q2 – (x0 / C) α ]2 + [ 2pq – (x0 / C) β ]2 (8.1.13) Równania ruchu, Kowalewska scałkowała za pomocą techniki godnej wirtuoza ( wykorzystując funkcje hipereliptyczne ) W owym czasie nie było jasne z jakiego powodu działa takie podejście tj. w jaki sposób konkretna struktura osobliwości na płaszczyźnie zespolonej moŜe określać całkowalność ( w czasie rzeczywistym ) układu mechanicznego. Wynik Kowalewskiej rozpatrywano jako szczególnego rodzaju zagadnienie dla nie deformującego się ciała sztywnego nie mające jakichkolwiek innych zastosowań dla układów mechanicznych. Dopiero w ostatnim czasie zrozumiano ogólność tego podejścia oraz prawidła jego zasad funkcjonowania.
8.1.b Praca Painleve’a.
ChociaŜ podejście Kowalewskiej nie było, jak pokazano, rozszerzone na inne zagadnienia oprócz zagadnienia bąka, przedmiotem znacznej aktywności matematyków końca XIX wieku była klasyfikacja rrz względem typów osobliwości ich rozwiązań. Najaktywniejszym matematykiem zajmującym się tymi problemami, był Pol Penleve
(* Penleve był jednocześnie wielkim matematykiem jak i wielkim politykiem – ministrem obrony Francji w czasie I wojny światowej. Interesował się on równieŜ lotnictwem, w jak przyjaciel braci Wright, był jednym z pierwszych pasaŜerów lotów samolotem *)
Badając wczesne prace Fuksa oraz inne prace dotyczące klasyfikacji równań pierwszego rzędu, przeanalizował on klasę rr drugiego rzędu :
d2y/dx2 = F( dy/dx, y, x ) (8.1.14)
gdzie : F – funkcja analityczna względem x oraz rzeczywista względem y i dy/dx.
W ramach tej klasy równań Penleve wprowadził 50 typów, których jedynymi ruchomymi osobliwościami są zwyczajne bieguny. Pokazał on równieŜ, Ŝe 44 z tych 50 typów moŜe być scałkowane z wykorzystaniem „znanych” funkcji ( równania Riccati’ego, funkcję eliptyczne itd. ). Pozostałe sześć typów, nazywanych jest „równaniami Painleve’a, nie posiadają one całek algebraicznych i nie mogą być scałkowane w kwadraturach. Penleve znalazł tylko pierwsze typy takich równań ( oznaczymy je jako PI i PII ) :
PI : d2y/dx2 = 6y2 + x (8.1.15)
PII : d2y/dx2 = 2y3 + xy + α (8.1.16)
gdzie : α – dowolny parametr.
Pozostałe cztery typy równań Painleve’a zostały znalezione przez jego uczniów, ostatni typ zawiera pozostałe pięć typów jako przypadki graniczne.
ChociaŜ równania Painleve’a mogą być przedstawione tylko w postaci zbieŜnych lokalnie rozkładów, są one
asymptotycznie związane z pewnymi „znanymi” z analizy funkcjami. Przykładowo, w przypadku PI przekształcenie : y = z1/2 w , t = 4/5 z5/4
sprowadza równanie Painleve’a do postaci : d2ω/dz2 = 6ω2 – (1/ t)(dω/dt) + 4/25ω
przedstawia ono w granicy t → ∞, przypadek szczególny eliptycznej funkcji Weierstrassa.
Wydawałoby się, Ŝe praca Painleve’a praktycznie nie ma zastosowania do zagadnień fizycznych i została szybko zapomniana pośród szerokiej literatury matematycznej. Jednak w ostatnim dziesięcioleciu prace Kowalewskiej,
Painleve’a ( i innych ) znów przyciągnęły ku sobie uwagę kiedy okazało się, Ŝe ich idee odgrywają podstawową role w wyjaśnieniu problemu całkowalności układów dynamicznych. Zanim przejdziemy do tego zagadnienia, poświęcimy następny podrozdział na krótki przegląd własności rrz na płaszczyźnie zespolonej [3]