Odwzorowania zachowujące pole powierzchni

4.2.a Odwzorowanie obrotu (* odwzorowanie okręgu, ang. twist mapping – przypis własny *).

WaŜną klasę odwzorowań zachowujących pole powierzchni stanowią „odwzorowania obrotu”.

Dogodnym sposobem wprowadzenia takich odwzorowań – oraz wskazania związków z układami hamiltonowskimi – będzie wyjście od omawianego wcześniej przekroju Poincarego. Przypomnijmy, Ŝe dla układu o dwóch stopniach swobody, przekrój ten dla trajektorii leŜącej na torusie przedstawia kolejne punkty X0, X1 ... leŜące na krzywej gładkiej.

Punkty te wynikają z cięcia torusa przez pewną powierzchnię. Oprócz tego, jeŜeli stosunek ω1/ ω2 jest liczbą

niewymierną zbiór kolejnych punktów Xi zapełnia krzywą ergodycznie, podczas gdy przy stosunku wymiernym krzywa

obrazowana punktami Xi jest krzywą zamkniętą. Rozpatrzmy teraz układ całkowalny oraz rodzinę torusów włoŜonych w siebie , dla których w przypadku układu izoenergetycznego nieosobliwego ( zobacz (3.5.2) ) stosunek częstości zmienia się płynnie, przykładowo od torusa do torusa. Rozpatrzmy teraz jeden z takich torusów, charakteryzujący się zmiennymi działania : I1, I2 ( na powierzchni energii E = H(I1, I2 ) ), potok liniowy na takim torusie moŜemy zapisać następująco :

θ1(t) = ω1t + θ1(0) (4.2.1a)

θ2(t) = ω2t + θ2(0) (4.2.1b)

gdzie : ω1= ω1( I1, I2 ) = ∂H/∂I1 , ω2 = ω2( I1, I2 ) = ∂H/∂I2.

Czas t2 konieczny dla wykonania pełnego obrotu θ2 o kąt 2π jest równy : t2 = 2π/ω2.

Zmiana θ1 jaka zachodzi w tym czasie jest równa :

θ1( t + t2 ) = θ1(t) + ω1t2 = θi(t) + 2πω1/ω2 = θ1(t) + 2π α1(I1) (4.2.2) gdzie α1= ω1/ω2 – nazywa się „liczbą obrotu” i jest przedstawiona jako funkcja I1 co wynika z tego, Ŝe na danej powierzchni energetycznej: E = H(I1, I2 ) ; I2 zawsze moŜna wyrazić przez : I1 : I2 = I2( E, I1 ).

Jeśli teraz będziemy rozpatrywali płaszczyznę ( I1, θ1 ) jako powierzchnię cięcia ( zobacz rys. 4.7 ) to kolejne przecięcia trajektorii ( na danym torusie ) z tą płaszczyzną będą przedstawione punktami : Xi = ( θ1(t + it2 ), I1 ).

Przechodząc do oznaczeń θi = θ1(t + it2 ) oraz r = I1 , moŜemy zbiór kolejnych punktów .Xi = Xi ( r, θ) , związany z potokiem na danym torze ( o „promieniu” I1) , przedstawić w postaci odwzorowania :

T : θi+1 = θi + 2πα (ri ) (4.2.3a)

T : ri+1 = ri (4.2.3b)

Gdzie w charakterze α wybraliśmy, płynnie zmieniającą się funkcję r. Takie odwzorowanie nazywamy „odwzorowaniem obrotu”.

Rys. 4.7 a) Punkt Xi na torusie określany jest zmiennymi kąt-działanie Ii , θ1 b) Zbiór kolejnych punktów X1, Xi+1 , Xi+2 odpowiadających odwzorowaniu obrotu na płaszczyźnie ( r(=I1) , θ(=θ1) )

W postaci jaką przedstawiliśmy odwzorowanie obrotu jest stosunkowo proste w tym sensie, Ŝe jedyna funkcja jaka w nim występuje zadana jest przez przemieszczenie punktów, które na danym okręgu mogą być rozmieszczone zarówno w sposób ciągły jak i dyskretny – rozkład ciągły ma miejsce dla, α niewymiernego, rozkład dyskretny dla α wymiernego.

Jest zrozumiałe, Ŝe o (4.2.3) moŜemy mówić jako o odwzorowaniu całkowalnym. Jest równieŜ jasne, Ŝe dany okrąg K, składający się z wspomnianych punktów będzie się odwzorowywał w siebie. Z tego powodu mówimy, Ŝe odwzorowanie obrotu przeprowadza okrąg w okrąg co symbolicznie zapisujemy następująco :

T(K) = K (4.2.4)

PoniewaŜ jednak liczba obrotów α(r) wzrasta wraz ze wzrostem r, radialna linia punktów będzie się zakrzywiała pod działaniem T ( rys. 4.8 )

Rys. 4.8 Radialna linia punktów, zakrzywiająca się pod działaniem odwzorowania T.

Stąd wynika nazwa odwzorowanie obrotu.

Odwzorowanie (4.2.3) jest oczywiście odwzorowaniem zachowującym pole, co wynika z :

∂(θi+1, ri+1 ) / ∂(θi, ri ) = 1 (4.2.5)

ZauwaŜmy równieŜ, Ŝe w takim przedstawieniu nie jest waŜne czy wielkość α zapiszemy w równaniu (4.2.3a) jako funkcje ri czy teŜ ri+1. Niedługo powrócimy do tego zagadnienia.

W przypadku układu niecałkowalnego twierdzenie KAM mówi, Ŝe torusy o wymiernym stosunku częstości nie

„przezywają”. Stosując pojęcia odwzorowania obrotu moŜna próbować wprowadzi pewne „niecałkowalne” zaburzenie :

T : θi+1 = θi + 2πα (ri ) + ε f(θi, ri ) (4.2.6a)

T : ri+1 = ri + ε g(θi, ri ) (4.2.6b)

Gdzie f, g powinny być wybrane w taki sposób aby własność zachowywania pola (4.2.5) była spełniona.

W sposób naturalny wynika pytanie o zachowywanie się okręgów przy wprowadzonym zaburzeniu. Istotny wkład Mosera [8] do twierdzenia KAM polegał właśnie na dowodzie tego , Ŝe w przypadku dostatecznie małych zaburzeń i dostatecznie niewymiernych wartości liczby obrotu, okręgi zostają zachowane ( zobacz podrozdział 3.5 )

4.2.b Odwzorowania na płaszczyźnie. JeŜeli f, g – są wielomianami, odwzorowanie nazywamy „przekształceniem całkowitym(?)”. Własności tego

przekształcenia zaleŜne są od konkretnej postaci f, g.

JeŜeli mogą one być zapisane w postaci liniowej np. :

xi+1 = xi cos(α) - yi sin(α)

Był przedmiotem pięknej pracy Henona [15]. ( Jest to jeszcze jedna praca którą obowiązkowo naleŜy przeczytać ) Jej podstawowym wynikiem jest wniosek, Ŝe omówione odwzorowanie moŜe być przedstawione jako „kompozycja”

dwóch prostszych odwzorowań, odpowiadających nieliniowemu przesunięciu i obrotu ( rys. 4.9 ).

Zatem , moŜemy zapisać :

WaŜne jest podkreślić, Ŝe odwzorowanie (4.2.11) jest odwracalne. Przekształcenie odwrotne T-1 ma postać :

T2 : xi = xi+1 cos(α) – yi+1 sin(α)

T2 : yi = - xi+1sin(α) – yi+1cos(α) + [ xi+1 cos(α) + yi+1 sin(α) ]2

Rys. 4.9 Zmiana obszaru pod działaniem nieliniowego przesunięcia T1 i następującego po nim obrotu T2 , odpowiadającym przekształceniu Henona.

Rys. 4.10 a) Typowa płaszczyzna fazowa odwzorowania Henona przy α = 0,2114

Rys 4.10 b) Rozmywanie obszaru w obszarze prawego punktu hiperbolicznego ( rysunek wykorzystano z [15] ) Zatem, pewien punkt „końcowy” trajektorii moŜe być w jednoznacznie „odwrócony w czasie” do punktu początkowego ( x0 ,y0 ).

Badanie numeryczne odwzorowania Henona (4.2.11) jest stosunkowo łatwe. Przy zadanym kącie obrotu α moŜna rozpatrywać ( wykorzystując nawet zwykły kalkulator ) kolejne przybliŜenia dla zbioru róŜnych warunków

początkowych ( x0 ,y0 ). Niektóre typowe rezultaty, otrzymane przez Henona [15] przedstawione są na rysunku 4.10.

Są one piękną ilustracją wszystkich charakterystycznych detali przekroju Poincarego układu typu Henona-Heilesa.

Widać tam m.in. zbiór krzywych gładkich, łańcuszki wysepek i trajektorie chaotyczne.

Osobny przypadek przedstawia rys. 4.10a analogiczna do struktury separatys. Przy uwzględnionej skali przekroju wygląda ona na strukturę gładką, jednak wraz ze wzrostem skali zaczyna pojawiać się niewiarygodnie bogata i subtelna struktura złoŜona z łańcuszków wysepek rozsypanych w „oceanie” chaosu. W następnych rozdziałach spróbujemy objaśnić skąd bierze się taka niebywała struktura.

4.2.c Związek między odwzorowaniem zachowującym pole i hamiltonianami.

ChociaŜ odwzorowanie Henona ujawnia wszystkie ogólne cechy niecałkowalnego hamiltonianu, sposób otrzymania takiego odwzorowania z takiego hamiltonianu nie jest zupełnie oczywisty. Dlatego naleŜy zadać sobie pytanie czy moŜliwe jest, w sposób jawny zbudowanie odwzorowania zachowującego pole wychodząc z układu hamiltonowskiego.

Rozpatrzmy prosty hamiltonian o jednym stopniu swobody :

H(p, q) = ½ p2 + V(x) (4.2.15)

Dla którego równania Hamiltona mają postać :

q• = p (4.2.16a)

p• = -∂V/∂q (4.2.16b)

MoŜna spróbować zapisać pochodne po czasie równań (4.2.16) w postaci przyrostów pierwszego rzędu tj. :

q• = (qi+1 - qt ) /∆t ,gdzie qi+1= q( t + ∆t) i qi = q(t). dyskretny wariant (4.2.16) przyjmie w tym przypadku postać :

qi+1 = qi+1 + pi ∆t (4.2.17a)

pi+1 = pi - ∆t (∂V/∂qi )q=qi (4.2.17b)

Jednak takie przekształcenie nie zachowuje pola powierzchni, poniewaŜ :

∂(qi+1, pi+1) / ∂( qi , pi ) = | 1 -∆t (∂2V/∂ qi2) | = 1 + (∆t )2 {∂2V/∂qi2) | ∆t 1 |

zakładamy przy tym, Ŝe ∆t jest skończone ( zobacz omówienie kanonicznych przekształceń infinitezymalnych w rozdziale 2). Jeśli jednak pochodną w (4.2.17b) obliczać nie przy q = qi ,a przy q = qi+1 tj. :

qi+1 = qi + pi ∆t (4.2.18a)

pi+1 = pi - ∆t (∂V/∂qi )q=qi+1 (4.2.18b)

to odwzorowanie , jak łatwo zauwaŜyć będzie odwzorowaniem zachowującym pole.

W tej chwili będzie nas interesowało pytanie jak określić jaki typ hamiltonianu daje takie właśnie równania ruch.

Zamiast (4.2.15) rozpatrzymy zaleŜny od czasu hamiltonian postaci :

{ (1/2γ)p2 , 0 < t < γT (4.2.19a)

H(p, q, t) = { (1/1-γ) V(p) γT < t < T (4.2.19b)

Gdzie : 0 < γ < 1.

Fizycznie odpowiada on sytuacji w której cząstka ( jednostkowej masy ) przemieszcza się swobodnie z upływem czasu γT, a następnie podlega działaniu siły zewnętrznej o potencjale V(q) w czasie ( 1- γ)T, po czym opisany proces powtarza się periodycznie. Hamiltoniany tego typu wykorzystuje się w celu opisania rozprzestrzeniania się promieni świetlnych w falowodach, działaniu zewnętrznemu odpowiadają periodycznie umieszczone soczewki. Całkowanie równań Hamiltona dla (4.2.19) na dowolnym odcinku czasu od t = it do t = (i +1)T pozwala otrzymać równania (4.2.18)

( zamieniając ∆t na T). MoŜemy równieŜ zamienić kolejność operacji w (4.2.19) w taki sposób , Ŝe :

{ (1/γ) V(p) , 0 < t < γT (4.2.20a)

H(p, q, t) = { [ 1/ 2(1-γ)] p2 V γT < t < T (4.2.20b)

Całkowanie równań Hamiltona w tym przypadku pozwala otrzymać odwzorowanie :

qi+1 = qi + Tpi+1 (4.2.21a)

pi+1 = pi - T (∂V/∂qi )q=qi (4.2.21b)

które równieŜ zachowuje pole.

Między hamiltonianami (4.2.19) i (4.2.20) nie istnieją, oczywiście róŜnice, chociaŜ równania opisujące odwzorowanie dla drugiego z nich posiadają subtelną strukturę wewnętrzną, którą omówimy dalej.

4.2.d LagranŜjany dyskretne. W takim razie dla odwzorowań zachowujących pole moŜna rozwinąć elementarny formalizm wariacyjny, w swej

elementarnej postaci analogiczny do standardowego formalizmu w mechanice klasycznej. Formalizm dyskretnych lagranŜjanów będziemy wykorzystywali przy omawianiu „odwzorowań kwantowych” – podrozdziały 6.6 i 6.7 4.2.e Odwzorowania standardowe.

Najbardziej rozpracowanym odwzorowaniem jest odwzorowanie, które otrzymujemy przy wprowadzeniu funkcji energii potencjalnej :

V(p) = - [ k/(2π)2 ] cos(2πq) (4.2.25)

W równaniach (4.2.21). Poprzez to odwzorowanie otrzymujemy równania ruchu :

qi+1 = qi + pi+1

(4.2.26a)

pi+1 = pi – (k/2π) sin(2πqi ) (4.2.26b)

gdzie przyjęliśmy T =1.

Przy badaniu tego odwzorowania w charakterze p, q zwykle wybieramy periodycznie zmieniające się zmienne, o okresie jednostkowym. W tym przypadku odwzorowanie ogranicza się do torusa jednostkowego, co sprawia , Ŝe (4.2.26) moŜemy przepisać następująco :

qi+1 = qi + pi+1 , mod q = 1

(4.2.27a)

pi+1 = pi + (k/2π) sin(2πqi ) , mod p = 1 (4.2.27b)

Jest to tzw. odwzorowanie Taylora-Chirikova lub „odwzorowanie standardowe”, ta druga nazwa związana jest z jego szerokim rozpowszechnieniem w zagadnieniach praktycznych i teoretycznych. Typową płaszczyznę fazową tego odwzorowania przy k = 0.97 pokazano na rysunku 4.11

Rys. 4.11 Typowa płaszczyzna fazowa odwzorowania standardowego przy k= 0.97 [24 ]

Ponownie widzimy na tym rysunku nadzwyczaj bogatą strukturę w której przejawia się zarówno chaotyczny jaki i regularny ruch. Czytelnik moŜe równieŜ zauwaŜyć, Ŝe niektóre z inwariantnych krzywych ( torusów) rozłoŜonych w poprzek płaszczyzny fazowej posiada małe otworki. Nie jest to błąd – wprost przeciwnie, wskazuje na pojawianie się specjalnych rodzajów torusów – kantorusów. Pojęcie to było wprowadzone aby podkreślić związek ze strukturami typu zbiorów Cantora. Te interesujące zagadnienia wychodzą jednak poza ramy naszych obecnych wykładów, chociaŜ postaramy się omówić pewne aspekty zbiorów Cantora w zastosowaniu do układów dynamicznych w następnym rozdziale.