Dynamika układów dyssypatywnych
5.4 Modele matematyczne dziwnych atraktorów
W tej chwili przejdziemy do rozpatrzenia pewnych prostych matematycznych modeli, pozwalających opisywać szereg własności dziwnego atraktora.
5.4.a Model Lorentz’a.
Jest to znany układ, badany przez Lorentz’a w 1963 roku , jego wartość polega na tym , Ŝe był on zbudowany długo przed pojawieniem się pojęcia dziwnego atraktora. Układ ten miał na celu zbudowanie prostego modelu konwekcji atmosferycznej i miał pomóc odpowiedzieć na pytanie o to czy moŜliwe jest przewidzenie długookresowe pogody. W ostatnich latach układ Lorentz’a był dokładnie badany przez wielu autorów. Wiele z uzyskanych wyników przedstawia [30].
Rozpatrzmy warstwę cieczy o stałej szerokości H, na którą działa gradient temperatury ∆T. JeŜeli wszystkie ruchy będą równoległe do płaszczyzny ( x- z) i jednorodne w kierunku y, to równania ruchu mogą być przedstawione w dwu wymiarowej postaci :
∂/∂t (∇2ψ) = (∂ψ/∂z) ∂/∂x (∇2ψ) - (∂ψ/∂x) ∂/∂z (∇2ψ) + ν∇2 (∇2ψ) + gα (∂θ/∂x) (5.4.1)
∂θ/∂t = (∂θ/∂x)(∂ψ/∂x) - (∂θ/∂x)(∂ψ/∂z) + k∇2 θ + ( ∆T/ H) (∂ψ/∂x) (5.4.1) gdzie : ψ - funkcja prądu ruchu tj. składowe prędkości ( u = (u, w) ) zadanymi zaleŜnościami :
u = (∂ψ/∂z) , w = - (∂ψ/∂z) (5.4.2)
θ - pole temperatur, charakteryzujące odchylenie od stanu równowagi.
Współczynniki : g – stała grawitacyjna
α – współczynnik rozszerzania termicznego k – przewodność cieplna
ν - lepkość kinematyczna
Rayleigh pokazał, Ŝe rozwiązania postaci :
ψ = ψ0 sin( πax/ H) sin( πz/ H) , θ = θ0 cos (πax/ H) sin(πz/ H) (5.4.3) powinny wzrastać w przypadku kiedy liczba Rayleigha tj. wielkość :
Ra = gαH3∆T/ νk (5.4.4)
Będzie przewyŜszała wartość krytyczną :
Ra(c) = π4 ( 1 + a2 )3 / a2 (5.4.5)
Minimalną wartość Ra(c) osiąga przy a2 = ½ :
Ra(c) = 27π / 4 = 657,511 (5.4.6)
Aby obliczyć numerycznie to zagadnienie musimy scałkować parę dwu wymiarowych równań róŜniczkowych o pochodnych cząstkowych (5.4.1). Jest to niewdzięczne zadanie. Alternatywą dla bezpośredniego całkowania
numerycznego jest rozłoŜenie funkcji θ i ψ względem pewnej bazy. Przy tym zakładając periodyczne warunki brzegowe w obu kierunkach, otrzymamy :
Podstawienie tych rozkładów do równań róŜniczkowych cząstkowych, pozwala otrzymać nieskończenie wiele równań róŜniczkowych zwyczajnych. Aby dokonać ich całkowania musimy ograniczyć taki zbiór równań.
Lorenz (1963) rozpatrzył pewne moŜliwe ich ograniczenie, rozpatrując tylko współczynniki ψ11(oznaczmy je przez X ) ,θ11 – oznaczmy je Y, θ02 – oznaczmy je Z.
W takim przypadku z pomocą przekształceń skalowania moŜemy sprowadzić układ wejściowy, do następującego układu trzech równań róŜniczkowych zwyczajnych :
Zmiennym X, Y, Z, występujących w równaniach (5.4.8) – zwanych zwykle równaniami Lorenz’a, moŜemy nadać prostą fizyczną interpretację :
Oznaczmy element objętości przestrzeni fazowej przez Γ(t), ściśnięcie przedstawmy w postaci :
Γ(t) = Γ(0) e-( b + σ + 1) t (5.4.10) Zatem wszystkie trajektorie ograniczone są przez pewną rozmaitość graniczną.
b) Punkty krytyczne. Warunek : X• = Y• = Z• = 0
Spełniają punkty :
1) X = Y = Z = 0 – stan czystego przewodnictwa cieplnego bez konwekcji.
2) X = Y = + sqrt [ b (r –1) ] , Z = r – 1 i X = Y = - sqrt [ b( r- 1) ], Z = r –1 – stacjonarna konwekcja.
ZauwaŜmy, Ŝe takie stany istnieją tylko przy r > 1
c) Własności stabilności. Przekształcenie linearyzowane ma postać : rzeczywistą , przy r > 1 część rzeczywista jednej z wartości własnej jest dodatnia, punkt krytyczny jest niestabilna i
odpowiednio nieskończenie małe zaburzenie moŜe spowodować pojawienie się konwekcji. ZauwaŜmy, Ŝe stabilność punktu krytycznego zaleŜy tylko od wartości liczby Rayleigha.
(2) ( X, Y, Z) = ( ± sqrt [ b (r –1) ], ± sqrt [ b (r –1) ], r - 1 ) : przy r > 1 wartości własne składają się z jednego rzeczywistego, ujemnego pierwiastka oraz pary sprzęŜonych zespolenie pierwiastków. MoŜna pokazać, Ŝe ta para punktów krytycznych traci stabilność przy :
r = σ ( σ + b + 3) / ( σ – b – 1) (5.4.12)
Przy r dodatnich, warunek ten spełniony jest tylko w tym przypadku , jeŜeli : σ > b + 1
ZauwaŜmy, Ŝe stabilność tych punktów krytycznych zaleŜy juŜ nie tylko od wartości liczby Rayleigha.
W swojej pracy [27] Lorenz wybrał następujące wartości parametrów : b = 8/3 , σ = 10
Przy takim wyborze stan stacjonarny ( konwektywny) traci stabilność przy : r = 470/19 ≅ 24,74
a prędkość ściskania : D = -13,67 jest bardzo duŜa.
Zbadamy teraz co dzieje się z rozwiązaniami równań Lorenza w miarę wzrostu r.
(1) 0 < r < 1. Początek współrzędnych jest globalnym przyciągającym i stacjonarnym rozwiązaniem, wszystkie trajektorie ( odpowiadające wszystkim róŜnym warunkom początkowym ) stopniowo zakręcają się po spirali ku początkowi układu współrzędnych.
(2) 1 < r < 24,74. Początek układu współrzędnych traci stabilność i w wyniku bifurkacji przekształca się w parę lokalnych przyciągających , stacjonarnych rozwiązań :
C = ( sqrt [ b (r –1) ], sqrt [ b (r –1) ], r - 1 ) i C’ = ( - sqrt [ b (r –1) ], - sqrt [ b (r –1) ], r - 1 ).
Faktycznie wszystkie trajektorie ściągnięte zostają albo do C albo do C’. Wyjątek stanowi zbiór trajektorii ( miary zero), pozostających w otoczeniu początku współrzędnych. Przy r ≅ 13,962 początek współrzędnych przekształca się punkt homokliniczny. Dalszy wzrost r prowadzi do nierozróŜnialności „obszarów przyciągania” C i C’ , w wyniku czego trajektorię mogą przechodzić z jednego punktu do drugiego zanim ostatecznie nie pozostaną w jednym z nich na stałe.
(3) r ≅ 24,74. Jak juŜ mówiliśmy, jest to krytyczna wartość, przy której stany stacjonarne C i C’ tracą stabilność.
Jednak analiza przeprowadzona przez Hopfa pokazała, Ŝe przy większych wartościach r istnieje odwrotna bifurkacji, dlatego punkty graniczne C i C’ nie przekształcają się w cykle graniczne.
(4) r > 24,74. Trajektorię otrzymywane w tym reŜimie, zachowują się nietrywialnie. W oryginalnej pracy [27] Lorenz rozpatrywał trajektorie o warunkach początkowych (X, Y, Z) = (0, 1, 0 ) ( małe odchylenie od stanu równowagi ) przy wartości r = 28. Przy tej wartości r posiada niestabilne stacjonarne stany :
C = ( 6 √2 , 6 √2 , 27 ) i C’ = ( - 6 √2 , - 6 √2 , 27 ).
Obliczenia Lorenza pokazują, Ŝe po tym jak zanikną pewne drgania, ruch stanie się skrajnie nieuporządkowanym. Jest to wynikiem tego, Ŝe rozwiązanie rozkręca się po spirali w otoczeniu jednego z punktów stałych ( C lub C’ ) w okresie dowolnego odcinka czasu, zostaje zatem przerzucone do otoczenia drugiego punktu stałego a następnie znowu w pewnym czasie zostaje rozkręcone po spirali, po czym zostaje przerzucone do pierwotnego punktu stałego itd.
Takie zachowanie wywołany jest przez omawiany wcześniej mechanizm rozciągania i składania i prowadzi do nadzwyczaj złoŜonej rozmaitości – do dziwnego atraktora o określonej postaci. Typowa trajektoria tego atraktora pokazana jest na rysunku 5.16 ( rzucająca się w oczy regularność, widoczna na tym rysunku jest myląca – atraktor jest bardzo złoŜony ). Spektrum mocy trajektorii jest ciągłe, co wskazuje na wyraźną chaotyczność ruchu.
Przestrzeń fazowa układu Lorenza jest trójwymiarowa i naturalnym wydaje się postawienie pytania : czy istnieje jakiś sposób zwartego przedstawienia ruchu, by moŜe analogiczny do metody przekrojów, wykorzystywanych w badaniu układów hamiltonowskich. Po tym jak procesy przejściowe zanikają a układ „osiąga” dziwny atraktor, zachowanie wszystkich zmiennych X, Y, Z – jako funkcji czasu jest chaotyczny.
NaleŜy podziwiać pewną odkrywczość Lorenza, który badał kolejne wartości maksimum funkcji Z(t). Z osiąga wartość maksymalną przy ruchu po spirali w otoczeniu jednego z punktów stałych C lub C’ ( oznaczmy ją jako Zn ), a następnie przerzuca się do drugiego punktu stałego osiągając następną wartość maksymalną (Zn+1 ) itd.
ZaleŜność Zn+1 od Zn pokazano na rysunku 5.17.
Interesujące, Ŝe to jednowymiarowe „odwzorowanie” zawiera istotne przejawy dynamiki atraktora Lorenza. Taka własność odwzorowań jednowymiarowych będziemy dokładnie rozwaŜali w podrozdziale 5.5.
Natura atraktora Lorenza zbadana jest bardzo dokładnie. Jest to w istocie dziwny atraktor, chociaŜ nie stosuje się do niego aksjomat A. ZauwaŜmy jeszcze, Ŝe chociaŜ ruch jest jawnie chaotycznym do wartości r ≈ 24.74, kolejność zdarzeń, prowadzących do tego chaosowi, nie zawiera Ŝadnych reŜimów periodycznych tj. nie odpowiada to pełnemu scenariuszowi Ruelle’a-Takensa pojawiania się turbulentności.
Interesujące jest równieŜ to, co zachodzi przy duŜych wartościach r. Badania róŜnych autorów świadczą o istnieniu następujących po sobie reŜimów turbulentności i zachowania periodycznego. Przy wartościach r, przewyŜszających 28 dziwny atraktor przekształca się w periodyczny cykl graniczny ( przykładowo dla r = 145 ÷148). W miarę dalszego wzrostu r, ten cykl graniczny zostaje zachowany przez pewien czas, a następnie przekształca się znów w dziwny atraktor. Przy jeszcze większych wartościach r, następuje ponowne przekształcenie w inny cykl graniczny ( przy r = 210 ÷234 ).
Rys. 5.16 Rozwiązanie równania Lorenza, otrzymane numerycznie przy r =28. Płaszczyzna pozioma odpowiada wartości Z = 27
( Lanford O. Turbulence seminar // Lectures Notes in Mathematics Vol. 615 New York Springer-Verlag 1977 )
Rys. 5.17 ZaleŜność wartości maksymalnych Zn+1 od poprzednich wartości maksymalnych Zn w przypadku równań Lorenza, przy r = 28 ( Lorenz E. N. ; Atmos S. Sci. 20, 130-141 1963 )
Przy przejściu od cyklu granicznego do reŜimu chaotycznego obserwuje się pewne efekty, zwane przemieszywaniem tj.
„pulsowanie- nagłe pojawianie się” turbulentności na tle ruchu periodycznego. Takie pulsowania mogą być róŜnych typów, ich dokładne omówienie moŜna znaleźć np. w [1].
5.4.b RóŜne warianty modelu Lorenza.
Jednym z podstawowych niedostatków modelu Lorenza są skrajnie rygorystyczne warunki odcięcia, rozkładów (5.4.7).
Dlatego waŜnym jest przeanalizować, co będzie się działało w miarę dodawania kolejnych modów. Przypadek 14 modów w modelu Lorenza zbadany został przez Curr’ego [24]. Omówimy pokrótce te wyniki.
Okazuje się, Ŝe w tym przypadku istnieje szereg dobrze rozróŜnialnych reŜimów ( naleŜy zauwaŜyć, Ŝe w pracy [24]
określenie parametru r nieznacznie róŜni się od określenia przyjętego w pracy Lorenza, dlatego nie naleŜy porównywać sztywno otrzymywanych wyników ).
(1) 1 < r < 43.48 Ruch jest zbieŜny do stabilnego punktu stałego ( istnieją dwa takie punkty )
(2) r ≈ 43.7 Pojawia się stabilny cykl graniczny, wskazujący na normalną bifurkacje Hopfa. W otoczeniu r ≈ 44.07 okres tego cyklu granicznego podwaja się.
(3) 44.6 < r < 45.1 Mamy pewne umotywowane potwierdzenie istnienia stabilnego dwuwymiarowego torusa.
(4) r > 45.1 Pojawia się dziwny atraktor, bardzo mocno przypominający ( w odpowiednim rzucie ) atraktor Lorenza.
ChociaŜ sam fakt tego, Ŝe w rozpatrywanym układzie znaleziono dziwny atraktor budzi pewne nadzieje wiele faktów budzi wątpliwości. Bardziej systematyczne badanie modeli podobnych do modelu Lorenza, przy dodawaniu kolejnych modów potwierdzają oczywiście nadzwyczaj bogatą dynamikę. Jednak w układach takich głównym parametrem regulującym taka dynamikę jest liczba modów ! Innymi słowy, nie istnieje jedno i jednolite zachowanie układu dynamicznego, do którego dąŜyłyby wszystkie badane układy. Jest to silnym argumentem na to, Ŝe cięcia
(* w znaczeniu cięcia odpowiedniego rozkładu np. takiego jak (5.4.7) – przypis własny *) równań róŜniczkowych o pochodnych cząstkowych, przy których zachowujemy niewielką ilość modów, nie mogą dawać, odpowiedniego obrazu
„rzeczywistego” zachowania, w sytuacji kiedy fizycznie znaczących jest wiele skal przestrzennych. Jednym z najbardziej aktywnych kierunków współczesnych badań poświęconym równaniom róŜniczkowym o pochodnych cząstkowych jest dowodzenie istnienia atraktorów o skończonych wymiarach ( zobacz np. [25] )
Proste modele, takie jak model Lorenza są interesujące same w sobie ze względu na bogactwo ich dynamiki.
W charakterze innego interesującego przykładu wymieńmy „model Rossle’ra” :
X• = - ( Y + Z ) (5.4.13)
Y• = X + 0.2 Y Z• = 0.2 + XZ – cZ
Wraz ze wzrostem parametru c, ruch przechodzi przez szereg bifurkacji podwojenia okresu, prowadzących w końcowym stadium do pojawienia się dziwnego atraktora ( rys. 5.18 )Innym modelem, demonstrującym podobne zachowanie jest oscylator Duffinga (1.6.11), rozpatrywany w rozdziale 1.
Rys. 5.18 Trajektorie równań Rossle’ra (5.4.13) zrzutowane na płaszczyznę (x, y) i odpowiadające im spektra mocy.
Obliczenia numeryczne prowadzone dla : a) c =2,6 ; b) c = 3,5 ; d) c = 4,1 ; d) c = 4.18 ; e) c = 4,21 f) c = 4,23 ; g) c = 4.3 ; h) c = 4,6 [ 23]
5.4.c Odwzorowanie Henona.
Przeprowadzona analiza przytoczonych modeli prowadzi w sposób naturalny do poszukiwań prostych algebraicznych odwzorowań, które posiadałyby własności dziwnych atraktorów. Takie odwzorowanie, zostało skonstruowane przez Henona, posiada prostą postać :
T : xi+1 = yi – ax2
i + 1 (5.4.14a)
yi+1 = bxi (5.4.14b)
Jest to odwzorowanie ściskające, poniewaŜ :
∂ ( xi+1, yi+1 ) / ∂ (xi , yi ) = - b (5.4.15) T moŜe być przedstawione w postaci iloczynu trzech prostszych odwzorowań :
T = T’ T’’ T’’’ (5.4.16)
Gdzie :
T’ : x’ = x , y’ = y + 1 - ax2 (5.4.17)
T’’ : x’’ = bx’ , y’’ = y’ (5.4.17)
T’’’ : x’’’ = y’’ , y’’’ = x’’ (5.4.17)
Odwzorowanie te odpowiadają odpowiednio : zgięciu, ściśnięciu i obrotowi ( rys. 5.19 )
Rys. 5.19 Kolejne odwzorowania, składające się na odwzorowanie Henona. Element powierzchniowy a) zostaje zgięty, b) ściśnięty i c) obrócony.
Właśnie takie typy przekształceń zapewniają moŜliwość rozciągań i składań, które to wymagane są dla powstania zachowania chaotycznego. NaleŜy zauwaŜyć, Ŝe rozpatrywane odwzorowanie, tak jak i jego bliźniacze odwzorowanie zachowujące pole (4.2.11), są odwracalne. Przekształcenie odwrotne ma postać :
T-1 : xi = yi+1 / b (5.4.18a)
yi = xi+1 – 1 + a y2
i+1/ b2 (5.4.18b)
Zatem, pewien dowolny punkt w zasadzie moŜe być jednoznacznie “obrócony w czasie” do połoŜenia wejściowego ( x0 , y0 ).
Jak pokazują obliczenia numeryczne, w dostatecznie duŜych obszarach płaszczyzny fazowej (x, y) wszystkie trajektorie
„osiadają” na rozmaitości o dowolnie złoŜonej postaci – „atraktorze Henona”. Poza tymi obszarami trajektorie uchodzą w nieskończoność. Z pomocą specjalnie dobranych rysunków, wykonanych przez komputer ( rys. 5.20), Henon [26]
jasno pokazał, Ŝe atraktor ten posiada strukturę typu zbioru Cantora. Spektrum mocy odwzorowania Henona okazuje się bardzo zaszumione ( chociaŜ atraktor Henona bezapelacyjnie jest dziwnym, nie podpada on pod dosyć ograniczoną kategorie atraktorów, aksjomatu A )
Rys. 5.20 a) Atraktor Henona, obliczany według równań (5.4.14) przy a =1,4 , b = 0,3
b) Powiększenie wskazanego obszaru, pokazuje, Ŝe atraktor posiada strukturę typu zbioru Cantora. Dalsze powiększenie ograniczonego kwadracikiem obszaru całkowicie to potwierdza. [26]
Na zakończenie podam bardzo elegancki wariant odwzorowania Henona, nazywany „odwzorowaniem Lozi’ego” :
T : xi = yi+1 + 1 – a | xi | (5.4.19)
yi = bxi
Dziwny atraktor, budowany przez to odwzorowanie, składa się z odcinków prostych linii. MoŜna pokazać, Ŝe odnosi się on do typu aksjomatu A.