Analityczna struktura układów dynamicznych
8.2 Rrz na płaszczyźnie zespolonej
8.2.a Własności lokalne.
W przypadku prostych nieliniowych równań róŜniczkowych, takich jak (8.1.9) i (8.1.11) charakter ruchomych
osobliwości moŜna określić wychodząc od postaci rozwiązania ścisłego. W większości przypadków ścisłych rozwiązań nie udaje się znaleźć i charakter ruchomych osobliwości ustanawiamy wychodząc z własności „lokalnych” rozwiązań.
Niech dane rrz n-tego rzędu, postaci :
dny/dzn = F( dn-1y/dxn-1 , ... , dy/dz, y, z) (8.2.1)
gdzie : F – analityczna funkcja zmiennej niezaleŜnej z oraz rzeczywista względem wszystkich pozostałych zmiennych Zachowanie rozwiązania ( rozwiązań ) takiego równania w ruchomym punkcie osobliwym określamy za pomocą analizy
„wiodącego członu rozłoŜenia”. Zapiszmy podstawienie o postaci :
y(z) = a( z – z0 )α (8.2.2)
gdzie : a, α – naleŜy określić, z0 – dowolny punkt na z-płaszczyźnie zespolonej ( tj. połoŜenie ruchomej osobliwości ).
Podstawiając (8.2.2) do (8.2.1) a następnie przyrównując największe osobliwe człony, określamy a i α.
Rozpatrzmy w charakterze przykładu równanie drugiego rzędu :
d2y/dz2 = 6y2 + Ay (8.2.3)
W rozdziale I pokazano, Ŝe posiada ono ścisłe rozwiązania w ujęciu za pomocą eliptycznych funkcji Weierstrassa.
Podstawienie (8.2.2) daje :
aα( α – 1) ( z – z0 )α-2 = 6a2 ( z – z0 )2α + Aa ( z – z0 )α
Największe człony osobliwe ( tj. druga pochodna i 6a2 ) powinny być zgodne w punkcie osobliwym z0. Porównanie wykładników ( α – 2 = 2α ) daje wartość α = -2. Analogicznie, powinny być równe równieŜ współczynniki przy członach osobliwych ( aα( α – 1) = 6a2 ), skąd znajdujemy : a = -1. Zatem w punkcie z0 rozwiązania równania (8.2.3) zachowuje się jak y(z) = ( z – z0 )-2 ( biegun drugiego rzędu ). ZauwaŜmy, Ŝe człon najniŜszego rzędu w tym równaniu( Ay) nie wpływa na zachowanie w punkcie z0. Zwiększenie nieliniowości w (8.2.3) prowadzi do zmiany rzędu osobliwości. Łatwo pokazać, Ŝe równanie :
d2y/dz2 = 2y3y + Ay (8.2.4)
dopuszczające, jak juŜ wiemy, rozwiązanie w ujęciu funkcji eliptycznych Jakobiego zachowuje się w ruchomym punkcie osobliwym jak y(z) = ( z – z0 )-1 ( biegun pierwszego rzędu ). Łatwo zauwaŜyć, Ŝe dalsze zwiększenie nieliniowości prowadzi do ruchomego punktu rozgałęzienia.
Analiza wiodącego członu pozwala scharakteryzować zachowanie rozwiązania tylko w punkcie osobliwym. Aby ustalić sposób zachowania w otoczeniu osobliwości koniecznie musimy odwołać się do lokalnego rozłoŜenia w szereg. JeŜeli osobliwości istotnie jest nieruchomym biegunem, taki rozkład będzie przedstawiał szereg Laurenta. W charakterze przykładu rozpatrzmy równanie (8.2.3). Ustaliliśmy, Ŝe w punkcie osobliwym zachowuje się ono jak biegun drugiego rzędu. Wychodząc z tego faktu, szereg Laurenta powinien mieć postać :
∞
y(z) =
ΣΣΣΣ
aj ( z - z0 )j -2 (8.2.5)j=0
Osobliwość tego rozłoŜenia moŜemy sprawdzić bezpośrednio przez podstawienie do równania (8.2.3). Prowadzi to do zaleŜności :
∞ ∞ ∞ ∞
ΣΣΣΣ
aj ( j- 2) ( j –3)( z - z0 )j -4 = 6ΣΣΣΣ ΣΣΣΣ
aj ak ( z - z0 )j + k - 4 + AΣΣΣΣ
aj ( z - z0 )j -2 j=0 j=0 k=0 j=0 którą moŜemy uprościć sprowadzając do zaleŜności rekurencyjnej dla aj : j-1aj ( j + 1) ( j – 6 ) = 6
ΣΣΣΣ
aj-m am + Aaj-2 (8.2.6)m=1
w której wykorzystaliśmy fakt , Ŝe a0 =1. Obliczenia zgodne z tą zaleŜnością rekurencyjną dają : j = 1 : a1 = 0
j = 2 : a2 = -1/12 A j = 3 : a3 = 0 j = 4 : a4 = -1/24A2
j = 5 : a5 = 0
Przy j = 6 otrzymujemy zaleŜność :
0 a6 = 12 a4 a2 + Aa4 (8.2.7)
prawa część, której po uwzględnieniu wartości a2 i a4 zeruje się. To oznacza, Ŝe a6 jest dowolne. Widać zatem, Ŝe szereg Laurenta (8.2.5) posiada dwa dowolne parametry a6 oraz z0 , ten ostatni charakteryzuje dowolność połoŜenia bieguna.
PoniewaŜ równanie (8.2.3) przedstawia sobą rrz drugiego rzędu jego ogólne rozwiązanie zawiera dwa dowolne parametry.
Przeprowadzona analiza pokazuje, Ŝe w (lokalnym) rozkładzie Laurenta przejawia się to w postaci dowolności
parametrów a6 i z0. MoŜemy zatem wnioskować, Ŝe w otoczeniu ruchomego punktu osobliwego z0 ogólne rozwiązanie równania (8.2.3) w istocie zachowuje się jak biegun drugiego rzędu. Będziemy często odwoływali się do tego wyniku mówiąc , Ŝe równanie (8.2.3) posiada własność Painleve’a (* MoŜna mówić, Ŝe rozwiązanie posiada własność Painleve’a jeśli dopuszcza ono lokalnie jednoznaczne rozłoŜenie. Równanie róŜniczkowe moŜe w zasadzie charakteryzować się więcej niŜ jednym typem osobliwości. To prowadzi do róŜnych gałęzi rozwiązania. JeŜeli własnością Painleve’a charakteryzują się wszystkie gałęzie, to mówimy, Ŝe i równanie róŜniczkowe posiada własność Painleve’a *) W charakterze wiczenia moŜna pokazać, Ŝe równanie (8.2.4) równieŜ charakteryzuje się własnością Painleve’a dowolnymi parametrami lokalnego rozłoŜenia :
∞
y(z) =
ΣΣΣΣ
aj ( z - z0 )j -1 (8.2.8)j=0 są a4 oraz z0.
Wykładnik ( z - z0 ) przy którym pojawiają się te dowolne współczynniki nazywamy często „rezonansami”
(* rezonanse te nazywamy równieŜ „wykładnikami Kowalewskiej” *)
Rezonanse moŜemy znaleźć z pomocą prostej metody bez całkowitego obliczania zaleŜności rekurencyjnych. Metoda ta jest oparta na podstawieniu :
y(z) = a( z - z0 )α + p( z - z0 )r + α (8.2.9)
gdzie : a, α – powinny być określone za pomocą analizy członu wiodącego.
Wychodząc z (8.2.9) moŜemy zapisać równanie liniowe względem p a następnie określić wartość r, przy której p jest dowolne. Przykładowo w przypadku równania (8.2.3) takie podstawienie ma postać :
y(z) = a( z - z0 )-2 + p( z - z0 )r - 2 (8.2.10)
Operując członami najbardziej osobliwymi, otrzymujemy :
6( z - z0 )-4 + p( z - z0 )( r – 3 (z - z0 )r - 4 = 6 [ ( z - z0 )-2 + p( z - z0 )r-2 ]2 Przyrównując człony liniowe względem p, dochodzimy do :
p( r +1)(r –6) = 0 (8.2.11)
Zatem, aby p było dowolne, koniecznym jest aby r = -1 albo r = 6. Pierwiastek r = 6 odpowiada dowolności współczynnika a6 odpowiadającego wyrazom (z - z0 )4 w (8.2.5). Drugi pierwiastek r = -1 odpowiada nie członom (z - z0 )4 ( co oczywiście nie jest zgodne z równaniem ) a określa dowolność z0.
Analiza tego typu pozwala określić tylko jaki współczynniki powinny być dowolne. Tak czy inaczej musimy sprawdzić rozwiązanie za pomocą pełnego obliczenia wszystkich zaleŜności rekurencyjnych. Rezonansom odpowiadają pewne zaleŜności nazywane „warunkami zgodności”, powinny być one bowiem spełnione aby zapewnić dowolność współczynników. Dla równania (8.2.3) przykładowo, odpowiadający mu warunek zgodności ma postać : 12 a4 a2 + Aa4 = 0
W danym przypadku warunek ten spełniony jest przy dowolnej wartości A. W zagadnieniach bardziej złoŜonych, często okazuje się , Ŝe dowolność moŜe być osiągnięta tylko przy pewnych określonych wartościach parametrów układu.
Jeśli przykładowo równanie (8.2.4) zmodyfikowa włączając do niego człon zawierający pierwszą pochodną :
d2y/dz2 + B(dy/dz) – Ay - 2y3 = 0 (8.2.12)
to współczynnik a4 , szeregu (8.2.8) będzie dowolnym tylko przy warunku, Ŝe A = - 2B2/9. JeŜeli warunek ten nie jest spełniony, prosty szereg Laurenta nie moŜe słuŜyć jako lokalne przedstawienie rozwiązania ogólnego. W tym przypadku szereg ten naleŜy uogólnić w taki sposób aby współczynnik przy j =4 ponownie stał się dowolnym. Ten nowy szereg nazywamy „szeregiem psi”, wskazuje on na to, Ŝe osobliwość juŜ nie jest prostym biegunem a charakteryzuje się złoŜoną logarytmiczną wieloznacznością. Metoda ta będzie omówiona w podrozdziale 8.2.b
Do tej pory cały czas uznawaliśmy Ŝe wiodace wykładniki i rezonanse mają wartości całkowitoliczbowe. Jednak jedna z tych wielkości lub nawet obie, w zaleŜności od rzędu i charakteru nieliniowości równania moŜe się w sposób naturalny okazać wielkością nie całkowitoliczbową ( np. niewymierną lub zespoloną ). Jest zrozumiałe, Ŝe w tym przypadku osobliwości nie są juŜ prostymi biegunami a rozpatrywany układ nie posiada własności Painleve’a. A poniewaŜ, jak wynika z pracy Kowalewskiej, własność ta jest swego rodzaju kryterium całkowalności, widać , Ŝe juŜ na poziomie analizy członów wiodących i rezonansów moŜemy uzyskać prosty analityczny „znacznik” niecałkowalności układu.
Na zakończenie tego podrozdziału podamy kilka uwag dotyczących osobliwości istotnych.
Sąto mianowicie takie osobliwości, których lokalne rozkłady posiadają nieskończoną liczbę wykładników ujemnych.
W charakterze prostego przykładu poda moŜemy nieruchomą, istotną osobliwość rozwiązania f(z) = ce1/z równania liniowego, pierwszego rzędu (8.1.8). W tym przypadku rozkład lokalny zapiszemy w następujący sposób :
∞
e1/z =
ΣΣΣΣ
1/ n! zn (8.2.13)n=0
W przypadku równan nieliniowych pierwszego rzędu postaci :
dy/dz = F(x, y) (8.2.14)
okazuje się ,Ŝe dla szerokiej klasy funkcji F(y, z) takie równania mogą mieć tylko bieguny ruchome i algebraiczne punkty rozgałęzienia oraz tylko nieruchome osobliwości istotne. JednakŜe w przypadku nieliniowych rrc drugiego rzędu
osobliwość istotna moŜe stać się ruchomą. Prostym przykładem jest rrc :
( d/dz ( y’/y) )2 + 4 ( y’/y)3 = 0 (8.2.15)
gdzie : y’ = dy/dz.
Ogólne rozwiązanie ma postać :
y(z) = c1 e1/ (z – c2 ) (8.2.16)
Posiada ono ruchomą osobliwość przy z = c1. Razem z ruchomymi istotnymi osobliwościami, nieliniowe rrc drugiego rzędu moga równiez posiadać ruchome logarytmiczne i przestępne punkty rozgałęzienia. Te dwa rodzaje osobliwości mogą być określone w ramach analizy lokalnej podczas gdy znajdowanie istotnych osobliwości napotyka trudności, jeśli rozwiązanie nie jest znane w postaci jawnej. W chwili obecnej rola ruchomych istotnych osobliwości w ocenie
całkowalności konkretnego układu nie jest dokładnie zrozumiana. Zauwazmy równieŜ, Ŝe wraz z podwyŜszeniem rzędu rr moga pojawiać się ruchome osobliwości bardziej złoŜonych typów.
8.2.b Rozwiązania ogólne i osobliwe.
Do tej pory mieliśmy do czynienia z przedstawieniami lokalnymi rozwiązań lokalnych, które przedstawiały sobą szeregi, zawierające taką ilość dowolnych parametrów jaki był rząd równania. WaŜnym jest zrozumienie, Ŝe razem z nimi mogą równieŜ istnieć rozwiązania o mniejszej liczbie dowolnych parametrów, takie rozwiązania nazywamy „osobliwymi”.
W charakterze przykładu rozpatrzmy nieliniowe rrc pierwszego rzędu :
d f(z)/ dz = 1 + f2 (z) (8.2.17)
Rozwiązanie ogólne ma postać : f(z) = tg(z –c) ,gdzie c – jedyny dowolny parametr.
Rozwiązanie to posiada szereg ruchomych biegunów w punktach z = c + ½ ( 2n + 1)π.
Razem z tym równaie (8.2.17) posiada równieŜ rozwiązane osobliwe : f(z) = ± i, niezawierające dowolnych parametrów.
Okazuje się, ze rozwiązania osobliwe – jeśli one występują – odgrywają waŜną i subtelną rolę w określeniu całkowalności rr. Te osobliwe rozwiązania przedstawiają soba nic innego jak obwiednie rodzin rozwiązań ogólnych. Tą ogólną idee zilustrujemy na przykładzie równania Clairauta. (* równanie to w ogólnym przypadku ma postać :
f = zf’ + F (f ’ ), gdzie F – jest funkcją analityczną f ‘. Czytelnik prawdopodobnie sam przeprowadzi analogie między dalszym wykładem i opisanym juŜ przekształceniem Legendre’a , dostępnym w zastosowniu 2.1 *)
(* zobacz równieŜ tekst pt. „Wprowadzenie do teorii równań róŜniczkowych zwyczajnych ( rrz )” - przypis wlasny ) Rozpatrzmy równanie pierwszego rzędu :
f = zf ‘ – ( f ‘ )2 (8.2.18)
gdzie : f ’ = df/dz.
Ogólne rozwiązanie ma postać (* indeksy dolne g , s w rozwiązaniu rr f(z) odpowiadają kolejno rozwiązaniom ogólnym ( ang. general ) i osobliwym ( ang. singular ) *) :
Jednokrotne całkowanie rozwiązania a) daje : f ’ = e, i po podstawieniu go do (8.2.18) otrzymujemy jednoparametryczne rozwiązanie ogólne (8.2.19). Rozwiązanie b) moŜna przedstawić w postaci f ‘ = ½ z a jego podstawienie do (8.2.18) prowadzi do ( nieparametrycznemu ) rozwiązaniu osobliwemu :
fs (z) = ¼ z2 (8.2.21)
Budując zaleŜność między fs (z) i zbiorem ( dla róznych wartości c ) fg (z), widać, Ŝe fs (z) w istocie jest obwiednią ( rys. 8.1)
Rys. 8.1 Ogólne i szczególne rozwiązanai równania Clairauta (8.2.18). Liniami przerywanymi pokazano
jednoparametryczną rodzinę rozwiązań ogólnych fg (z) = cz – c2 przy róŜnych wartościach parametru c; linia ciągła odpowiada rozwiązaniu osobliwemu fs (z) = ¼ z2 i jest obwiednia rozwiązań ogólnych.
8.2.c Szereg psi.
Powróćmy do równania (8.2.12). Na podstawie analizy członu wiodącego oraz rezonansów juŜ wiemy, Ŝe w punkcie osobliwym rozwiązanie zachowuje się jak biegun pierwszego rzędu, a rezonanse pojawiają się przy j = 4 i j = -1.
Bezpośrednie podstawienie (8.2.8) do (8.2.12) prowadzi do zalezności rekursyjnej : j-1 k
aj ( j + 1) ( j – 4 ) = - Baj-1 + Aaj-2 + 2
ΣΣΣΣ ΣΣΣΣ
aj-k-m ak am (8.2.22) k=1 m=1Skąd po uwzględnieniu tego, Ŝe a0 = 1, znajdujemy : j = 1 : a1 = - 1/6 B
j = 2 : a2 = -1/6 ( A + 1/6 B2 ) j = 3 : a3 = - 1/6 ( ½ A + 1/9 B2 ) j = 4 : 0 a4 = -1/3 B2( A + 2/9 B2 )
Ostatnia z tych zaleŜności zadaje warunek zgodności, zapewniający dowolność a4. Jest ona spełniona tylko jeŜeli : A = -2/9 B2
JeŜeli warunek ten nie jest spełniony, dowolność a4 moŜna ustanowić modyfikując podstawienie (8.2.8). Taki zmodyfikowany rozkład :
∞
y(z) =
ΣΣΣΣ
aj ( z – z0 )j-1 + b( z – z0 )3 ln ( z – z0 ) (8.2.23) j=0prowadzi do tych samych wyników przy j = 1,2, 3 , jednak przy j = 4 ( co odpowiada ( z – z0 )3 ), otrzymujemy : 0 a4 = -1/3 B2( A + 2/9 B2 ) + 5b
Zatem, jeśli podstawić 15b = - B2( A + 2/9 B2 ), to parametr a4 znowu stanie się dowolnym. Jest zrozumiałe, Ŝe człon dodatkowy w (8.2.23) prowadzi do pojawienia się róŜnych potęg oraz kombinacji członów, zawierających ln ( z – z0 ) Aby otrzymać rozkład samozgodny, w którym wszystkie te dodatkowe człony zostają skompensowane, szereg (8.2.23) naleŜy uogólnić do postaci :
∞ ∞
y(z) =
ΣΣΣΣ ΣΣΣΣ
ajk ( z – z0 )j-1 [ ( z – z0 )4 ln ( z – z0 ) ]k (8.2.24) j=0 k=0Otrzymany szereg znany jest jako ( logarytmiczny ) szereg psi. Jest on lokalnym przedstawieniem ogólnego rozwiązania równania (8.2.12) w otoczeniu ruchomej osobliwości przy : z = z0. W tym przypadku jako dowolny parametr słuŜy z0 i a40. Jak wynika z (8.2.24) osobliwość teraz przedstawia sobą nie ruchomy biegun a ruchomy logarytmiczny punkt rozgałęzienia. Oczywiście równanie (8.2.12) posiada własność Painleve’a tylko jeŜeli : A = -2/9 B2.
Istnieją równieŜ inne postaci szeregu psi. ZałóŜmy, Ŝe mamy rrz drugiego rzędu o wiodącym rzędem rozkładu np. α = - 1, przy czym rezonansowi odpowiada pewien niewymierny wykładnik ( z – z0 ), powiedzmy β.
W tym przypadku rozkład ma postać : ∞ ∞
y(z) =
ΣΣΣΣ ΣΣΣΣ
ajk ( z – z0 )j-1 ψk (8.2.25) j=0 k=0gdzie : ψ = ( z – z0 )β .
Szeregi (8.2.24) i (8.2.25) wskazują na to, Ŝe rozwiązania odpowiadających im równań mają bardzo złoŜoną wielogałęziową strukturę na płaszczyźnie zespolonej. Jednak okazuje się, Ŝe nie bacząc na ten fakt, moŜna wykonać dokładną analizę tych szeregów i rozpoznać istotne własności rozwiązań ( zobacz podrozdział 8.3.d )
8.2.d Funkcje eliptyczne i krzywe algebraiczne*.
W rozdziale pierwszym wprowadziliśmy pojęcie funkcji eliptycznej oraz zapisaliśmy rr dla funkcji eliptycznej Weierstrassa w standardowej postaci :
( dx/dy )2 = 4x3 – g2x - g3 (8.2.26)
Odpowiada mu kwadratura : x
t – t0 =
∫
dx’ / sqrt[ 4 (x’ – e1) (x’ – e2 ) (x’ – e3 ) ] (8.2.27)Pierwiastki e1, e2 i e3 związane są z g1 i g2 standardową zaleŜnością (1.2.20). Kwadratura (8.2.27) zadaje t jako nieskończenie wieloznaczną funkcję x. ZaleŜność odwrotna x = P(x) przedstawia sobą funkcję eliptyczną Weierstrassa.
Jak juŜ mówiliśmy w rozdziale 1, P(x) przedstawia soba dwuokresową funkcję zmiennej zespolonej t, osobliwość której obrazuje regularną siatkową strukturę. Wykorzystując opisana wcześniej metodę analizy lokalnej, moŜna pokazać, Ŝe osobliwości P(x) są biegunami drugiego rzędu.
Dalsze informacje moŜemy otrzymać, rozpatrując wyraŜenie podcałkowe (8.2.27) na x-płaszczyźnie zespolonej. Ma ono trzy punkty rozgałęzienia przy x = ei, i =1, 2, 3. JeŜeli dwa z tych punktów utoŜsamić ze sobą, a trzeci utoŜsamić z punktem w nieskończoności, to na płaszczyźnie zespolonej pojawiają się dwie nieciągłości. Standardowa procedura
„rozcinania i sklejania” pokazuje , Ŝe odpowiednia powierzchnia Riemanna moŜe być zawinięta w dwuwymiarowy torus o jednym otworze. Taka powierzchnię nazwiemy „powierzchnia pierwszego rodzaju”. W ten sposób wchodzimy w obszar geometrii algebraicznej. Teraz danej powierzchni Riemanna moŜemy przypisać nieredukowalny wielomian, który na swój sposób określa „krzywą algebraiczną” ( zobacz np. [2] ). W przypadku powierzchni pierwszego rodzaju forma kanoniczna odpowiadającej jej krzywej ma postać :
r2 = 4 s3 - g2s - g3 (8.2.28)
Określając : r = dP/dt , s = P(x), moŜemy się przekonać, Ŝe ta krzywa odpowiada równaniu (8.2.26). Krzywe typu (8.2.28) nazywają się „krzywymi eliptycznymi”. Posiadają one waŜną własność – współrzędne r, s są meromorficznymi funkcjami pewnego parametru t. Zgadza się to z wnioskami, które mogą być wyciągnięte na podstawie naszej analizy lokalnej – zgodnie z którą P(x) posiada tylko ruchome bieguny.
Zarówno eliptyczne funkcje Weierstrassa, jak i eliptyczne funkcje Jakobiego są funkcjami ( względem zmiennej t) meromorficznymi i mogą być łatwo porównane z krzywymi eliptycznymi. Rozpatrzmy równanie (1.2.1), pierwsza część którego przedstawia wielomian piątego stopnia, oznaczymy go przez f5(x). Analiza lokalna pokazuje, Ŝe ruchome osobliwości w tym przypadku przedstawiają sobą punkty rozwidlenia typu pierwiastka kwadratowego. Odpowiadające im kwadratura zapisywana jest w postaci całki hipereliptycznej :
x
t – t0 =
∫
dx’ / sqrt[ f6 (x’ ) ] (8.2.29)gdzie : f6 - wielomian szóstego stopnia, otrzymywany z f5.
Odpowiednia powierzchnia Riemanna jest powierzchnią drugiego rodzaju – torus o dwóch dziurkach.
Związana z nim krzywa algebraiczna ( krzywa hipereliptyczna ) nie moŜe juŜ być sparametryzownana poprzez funkcję meromorficzne. Oprócz tego, jak pokazał Jakobi, określone, symetryczne kombinacje całek hipereliptycznych posiadają meromorficzne funkcje odwrotne.
Teoria całek hipereliptycznych i ich odwrotności moŜe być przedstawiona w postaci abstrakcyjnej i uogólniona na przypadek większej liczby wymiarów. Całki (8.2.27) i (8.229) przedstawiają sobą przypadki szczególne tzw. „całek abelowych” (* Na cześć znakomitego norweskiego matematyka Nielsa Abela (1802 – 1829), który umarł w biedzie i w zapomnieniu, nie doŜywając 27 lat *)
Związane z tymi całkami powierzchnie Riemanna nazywają się „rozmaitościami abelowymi”, określone kombinacje zmiennych nazywane „funkcjami Abela” są przy tym funkcjami meromorficznymi. W chwili obecnej wydaje się , Ŝe pojęcia te odgrywają fundamentalną rolę w określeniu całkowalności układów dynamicznych oraz w wyjaśnieniu dlaczego własność Painleve’a – po raz pierwszy wykorzystana przez Kowalewską – moŜe słuŜyć jako test na całkowalność.