Punkty homokliniczne i heterokliniczne

Aby dokończyć obraz przedstawiony na rysunku 4.16 musimy jeszcze rozpatrzyć, co dzieje się w otoczeniu punktów stałych hiperbolicznych. Wyniki, jak się przekonamy będą niezwykłe. W dalszym ciągu będziemy postępowali zgodnie z wykładem dostępnym w [2].

Punkt stały hiperboliczny charakteryzuje się czterema inwariantnymi krzywymi lub rozmaitościami :

Dwie rozmaitości wchodzące lub stabilne ( H+ ) oraz dwie rozmaitości wychodzące lub niestabilne ( H- ) – zgodnie z rysunkiem 4.17.

Rys. 4.17 Rozmaitości stabilne H+ i niestabilne H- , punktu stałego hiperbolicznego.

Punkt leŜący na H+ wykładniczo podąŜa do punktu stałego H :

lim Ts X → H ( X ∈ H+ ) (4.4.1)

s→∞

podczas gdy punkt leŜący na H- wykładniczo oddala się od H :

lim T-s x → H ( x ∈ H+ ) (4.4.2)

s→∞

4.4.a Przecięcia H+ i H-.

Przeanalizujmy w jaki sposób H+ i H- mogą „oddziaływać” wzajemnie. Jak pokazano wcześniej, w przypadku układów całkowalnych rozmaitości H+ i H-, wychodzące z punktu stałego hiperbolicznego, obrazują separatysę (np. dla wahadła) Na rysunku 4.18a przedstawiono przypadek w którym rozmaitość wchodzącą płynnie łączy się z wychodzącą, w wyniku czego tworzy się gładka pętla. Taką krzywą niekiedy nazywa się „trajektorią homokliniczną”. Na rysunku 4.18b przedstawiono drugi wariant w którym H+ i H- dla rodziny złoŜonej z trzech punktów stałych hiperbolicznych ( tj.

punktów stałych odwzorowania T3 ) łączą się jedna z drugą, tak jak pokazuje to rysunek.

Rys. 4.18 a) Płynne złączenie H+ i H-, odnoszące się do jednego i tego samego punktu stałego hiperbolicznego X, prowadzące do trajektorii homoklinicznej. b) Rodzina trzech płynnie związanych punktów hiperbolicznych : X1, X2, X3.

Takie gładkie połączenie rozmaitości jest wyjątkiem i moŜe zaistnieć tylko w przypadku układów całkowalnych.

Sytuacja ogólna jest bardziej skomplikowana. Rozmaitości H+ i H- nie posiadają samoprzecięć, mogą jednak przecinać się wzajemnie tak jak pokazano na rysunku 4.19. JeŜeli punkt (punkty) przecięcia H+ i H- jest związany z

rozmaitościami związanymi z jednym i tym samym punktem stałym lub z punktami stałymi jednej rodziny ( przykładem mogą słuŜyć trzy punkty stałe T3 , przedstawiony na wewnętrznej części rysunku 4.16 ), jest ona nazywany „punktem homoklinicznym”. JeŜeli przecinające się rozmaitości związane są z punktami stałymi róŜnych rodzin ( np. punkty stałe T3 i T4 pokazane na wewnętrznej i zewnętrznej części rys. 4.16 ), punkt (punkty) ich przecięcia nazywamy „punktami heteroklinicznymi”.

Rys. 4.19 Przecięcie stabilnej rozmaitości H+ i rozmaitości niestabilnej H- , odnoszące się do jednego i tego samego punktu stałego hiperbolicznego. Obrazujące punkt homokliniczny X. NaleŜy podkreślić, Ŝe przedstawione tutaj krzywe nie odpowiadają jakiejkolwiek jednej trajektorii, a są one przeprowadzone przez kolejne przecięcia trajektorii z płaszczyzną.

(* Punkt homokliniczny jest to punkt przecięcia separatys – wchodzącej i wychodzącej jednego typu rezonansu, punkt heterokliniczny – jest to punkt przecięcia separatys dwóch rezonansów – przypis własny *)

RozwaŜmy punkt homokliniczny X i sąsiednie punkty X’ i X’’ ( rys. 4.20a). Te dwa punkty odwzorowują się , jak to pokazano na rysunku, w punkty odpowiednio : TX’ i TX’’. Problem jest następujący : poniewaŜ X połoŜony jest z

„przodu” zarówno punktu X’ jak i X’’, jego obraz TX, powinien na mocy ciągłości odwzorowania T być połoŜony z

„przodu” TX’ i TX’’.

Oczywiście jest to niemoŜliwe. Sprzeczność tą moŜemy rozwiązać, jeŜeli zbudujemy pętle, taka jak pokazano na rys.

4.20b. Jednak przy tym powstanie nowy punkt przecięcia ( punkt homokliniczny ) TX. Z analogicznych rozwaŜań wynika, Ŝe TX powinien odwzorowywać się w nowy punkt homokliniczny T2X będzie to związane z pojawieniem się drugiej pętli, tak jak pokazano na rys. 4.20b. Przy tym odległość między T2X i TX będzie mniejsza niŜ odległość między TX i X, co wynika z tego, Ŝe T2X połoŜony jest bliŜej do punktu hiperbolicznego niŜ TX. Po uwzględnieniu prawa zachowania pola, pole dwóch pętli między X, TX i T2X powinno by równe. Zatem druga pętla powinna by bardziej wyciągnięta niŜ pierwsza.

Rys. 4.20 a) Odwzorowanie punktów X’ i X’’ w TX’ i TX’’ i niejednoznaczność obrazu TX punktu homoklinicznego X.

b) Jednoznaczność obrazu TX osiągamy przez uzyskanie pętli na rozmaitości.

c) Obraz T2X punktu TX powoduje powstanie pętli bardziej wydłuŜonej co wynika z prawa zachowania pola.

W wyniku dalszej budowy takiej konstrukcji otrzymujemy nieskończoną liczbę przecięć w wyniku czego cały obszar jest gęsto pokryty punktami homoklinicznymi a rozciągnięte między nimi pętle stają się coraz dłuŜsze i cieńsze.

Globalnie obraz takiej konstrukcji jest bardzo złoŜony ( rys. 4.21 ). ZłoŜoność tą podkreślał Poincare w sowim podstawowym traktacie „Nowe metody mechaniki nieba” [9] :

„JeŜeli spróbujemy przedstawi sobie figurę zbudowaną przez te dwie krzywe oraz ich kolejne nieskończone przecięcia, kaŜde z których odpowiada podwójnie asymptotycznemu rozwiązaniu to te przecięcia będą przedstawiały coś w rodzaju siatki, tkaniny lub sieci o nieskończenie małych oczkach Ŝadna z tych dwóch krzywych nigdzie nie moŜe przecinać sama siebie, powinna ona jednak nawijać się sama na siebie w złoŜony sposób, tak aby przecinać nieskończenie wiele razy wszystkie pętle sieci.

ZłoŜoność takiej figury jest poraŜająca, nawet ja nie próbuje jej sobie wyobrazić. Nic nie jest w stanie dać nam wyobraŜenie o złoŜoności zagadnienia trzech ciał i ogólnie wszystkich tych zagadnień dynamiki których nie moŜemy jednoznacznie scałkować.”

Teraz moŜemy uzupełnić pewnymi szczegółami przybliŜony rysunek 4.16. W wyniku takiego uzupełnienia otrzymujemy obrazek przedstawiony na rysunku 4.22. NaleŜy podkreślić, Ŝe struktura powtarza się przy zmianie skali a oprócz tego jest ona charakterystyczna dla ogólnego przypadku układów niecałkowalnych.

Takie niezwykłe wraŜenie moŜna było by odnieść przy pierwszym zapoznaniu się ( rys. 4.10b) z dynamiką w otoczeniu punktu stałego hiperbolicznego odwzorowania Henona, prawdopodobnie dopiero teraz podobne obrazy związane z tym tematem nie będą nas juŜ dziwić.

Rys. 4.21 Siatka przecięć H+ i H-, prowadząca do gęstego zapełnienia obszaru punktami homoklinicznymi, w sieci tej pętle są coraz dłuŜsze i cieńsze ( obszary zakreskowane ) co wynika z zachowania pola

Rys. 4.22 Typowa samopowielająca się struktura złoŜona z punktów stałych eliptycznych i hiperbolicznych oraz związana z nimi się homokliniczna sieć ( wykorzystano [4] )

4.4.b Węzły i zapętlenia.

Przy badaniu dynamiki „trajektoria po trajektorii” , tak jak to robiliśmy w przypadku odwzorowania Henona,

obserwowaliśmy „morze” chaosu, ale nie widzieliśmy krzywych odpowiadających zbiorowym przecięciom rozmaitości H+ i H-. Aby otrzymać pewien obraz o tym jak wygląda w rzeczywistości taka struktura, powinniśmy poddać działaniu odwzorowania cały element liniowy ( w którym kaŜdemu punktowi odpowiadają róŜne warunki początkowe ). Na rysunku 4.23 przedstawiono wynik obliczeń dla elementu liniowego w otoczeniu punktu stałego hiperbolicznego odwzorowania Henona. Przedstawione oscylacje elementu liniowego z jego charakterystyczną strukturą nazywamy

„oscylacjami homoklinicznymi”. W dowolnym ( silnie) chaotycznym obszarze ( nie koniecznie w otoczeniu jednego punktu stałego hiperbolicznego ) element liniowy będzie zmieniał się właśnie w taki sposób - wykładniczo szybko rozciąga się i przeskakuje przód –tył. Ten charakterystyczny obraz ewolucji elementu liniowego na płaszczyźnie, nazywamy „węzłem”. Zachowanie elementu liniowego w otoczeniu punktu stałego eliptycznego jest zupełnie inne.

Opierając się na omówionym odwzorowaniu obrotu łatwo jest pokazać, Ŝe element liniowy będzie budował silnie zapętlającą się strukturę. Struktury tego typu będziemy nazywali „zapętleniami”. Opisywane osobliwości przedstawiają sobą „poglądowo” pojawienie się chaosu dla przypadku odwzorowań zachowujących pole. W rozdziale 4.8 zobaczymy, Ŝe zabawne zjawiska obserwowane na powierzchni pływającej po powierzchni kawy śmietanki lub w cienkich plamkach benzyny na powierzchni wody mogą być opisane uŜywając wprowadzonych powyŜej pojęć.

Rys. 4.23 a) Iteracja liniowego elementu w otoczeniu punktu stałego hiperbolicznego w wyniku której otrzymujemy węzeł [2] b) Iteracja liniowego elementu w otoczeniu punktu stałego eliptycznego w wyniku której otrzymujemy

„zapętlenie”.

Na zakończenie omówimy jeszcze jedną kwestię dotyczącą punktów heteroklinicznych. PoniewaŜ odpowiadają one przecięciom H+ i H- związanym z róŜnymi zbiorami punktów stałych (przykładowo T3 i T4 na rys. 4.16), jest bardzo prawdopodobne, Ŝe pewna inwariantna krzywa ( tj. pewien torus o niewymiernej liczbie obrotów ) powinna równieŜ zostać rozruszana. Jest zrozumiałe, Ŝe wymaga to stosunkowo silnego zaburzenia. Zatem pojawienie się punktów heteroklinicznych moŜna rozpatrywać jako zwiastun pojawienia się chaosu. Kryterium pojawiania się takiego globalnego chaosu jest sprawą interesującą, rozwinięto szeregu metod, które mogłyby być wskaźnikiem przejścia do chaosu.