Chaos i całkowalność w mechanice quasiklasycznej ( semiklasycznej)
6.6 Odwzorowania kwantowe : ewolucja pakietów falowych
Jednym z zadań wykonywanych przy badaniu układów niecałkowalnych w ramach mechaniki quasi-klasycznej, polega na odpowiednim wyborze układów modelowych, dla których jednocześnie mogą być przeprowadzone szczegółowe obliczenia klasyczne i kwantowe. ( analityczne i numeryczne ). W układzie konserwatywnym chaos klasyczny jest moŜliwy jeŜeli posiada on minimum dwa stopnie swobody. I chociaŜ obliczenia numeryczne, charakterystyk takich jak wykładnik Lapunowa czy przekrój Poincarego dla takich układów nie stanowi w chwili obecnej jakiś szczególnych trudności, badanie całego szeregu wymaganych własności takich jak przeanalizowanie wszystkich zamkniętych trajektorii, okazuje się praktycznie niemoŜliwe (* „Analiza układów potencjalnych o dwóch stopniach swobody leŜy
poza granicami moŜliwości współczesnej nauki” [34] *) Analogicznie, dokładne numeryczne obliczenia
kwantowomechaniczne poziomów energetycznych i funkcji własnych przy małych ħ tj. przy duŜych gęstościach stanów Są cały czas jeszcze w fazie wstępnej i wydaje się, Ŝe mają one tendencje do wzrostu niestabilności przy ħ → 0.
Trudności te powodują skłonność do badania prostych, jednak dostatecznie ogólnych układów dynamicznych. Jak mówiliśmy w rozdziale 4 jednym z odpowiednich z tego punktu widzenia kandydatów są odwzorowania zachowujące pole, które posiadają wszystkie ogólne własności układów całkowalnych. Oprócz tego, dzięki jednowymiarowości, odpowiednie klasyczne ( jak i zobaczymy dalej równieŜ kwantowe ) własności stosunkowo prosto jest obliczać.
Badając mechanikę quasi-klasyczną odwzorowań zachowujących pole, moŜemy wykorzystywać wiele z wyników otrzymanych w rozdziale 4, przy tym aby zachować ciągłość wykładu pewne, konieczne dalej równania zostaną powtórzone.
6.6.a Odwzorowanie klasyczne.
Na początku powrócimy do rozpatrzenia jednowymiarowego hamiltonianu, zaleŜnego od czasu :
H(p, q, t) = { 1/7 V(q) , 0 < t < γT (6.6.1)
{ p2 / 2µ( 1- γ) , γT < t T gdzie : µ – masa cząstki oraz 0 < γ < 1.
Hamiltonian ten opisuje kolejno następujące ruchy „kinetyczne” i „potencjalne”.
Całkowanie odpowiadających mu równań Hamiltona w granicach dowolnego okresu od t = nT do t = ( n+1)T Daje odwzorowanie zachowujące pole płaszczyzny fazowej na siebie :
pn+1 = pn – TV’( qn ) (6.6.2a)
qn+1 = qn + (T/µ) pn+1 (6.6.2b)
gdzie apostrof oznacza róŜniczkowanie po q. Celowe dla tego przypadku jest wykorzystanie dyskretnego lagranŜjanu Percival’a ( podrozdział 4.2.d ) :
Znając postać hamiltonianu (6.6.1), odpowiadającego odwzorowaniu (6.6.2), moŜemy przedstawić to odwzorowanie z uŜyciem pojęć „mechaniki kwantowej”. Idea polega na uzyskaniu odpowiedniego operatora kwantowego U^ , przeprowadzającego stan (* przejdziemy teraz do standardowych oznaczeń „bra” i „ket” *) | n > w „chwili czasu” n w stan | n + 1 > w „chwili czasu” n + 1 :
| n + 1 > = U^ | n > (6.6.6)
W przedstawieniu współrzędnościowym ψn(q) = < q|n > moŜe to być zapisane w następujący sposób :
ψn+1(q) = < q|n + 1> = < q | U^ | q’ > =
∫
< q | U^ | q’ > < q’ | n > dq’ =∫
< q | U^ | q’ > ψn+1(q’) dq’ (6.6.7) gdzie wykorzystaliśmy standardową toŜsamość∫
| q > < q’ | dq = 1Podkreślę jeszcze raz, Ŝe indeksy dolne n i n + 1 odnoszą się do „chwil czasu” które odpowiadają iteracjom odwzorowania (6.6.2) i nie są liczbami kwantowymi. Operator H^ odpowiadający (6.6.1) otrzymujemy zgodnie z zasadami :
H^ (p^, q^, t) = { (1/γ) V(q^) , 0 < t < γT (6.6.8)
{ [ 1/ 2( 1 – γ)µ ] p^2 , γt < t < T
gdzie : q^, p^ - są odpowiednio operatorami współrzędnych i pędów ( w przestrzeni współrzędnościowej : q^ = q, p^ = iħ ∂/∂q )
Łatwo zauwaŜyć, Ŝe operator ewolucyjny U^ = exp ( - iH^ t/ ħ ), obliczony dla jednego okresu T, ma postać :
U^ = exp ( - V(q^) T/ ħ) exp ( - p^2 T/ 2µħ ) (6.6.9) I podobnie jak odwzorowanie klasyczne nie zaleŜy od γ ( jest to scałkowane w granicach od t = 0 do t = T, zaleŜne od czasu równanie Schrödingera (6.1.2) ). ZauwaŜmy, Ŝe operatory energii kinetycznej i potencjalnej działają w (6.6.8) oddzielnie i dzięki temu wyraŜenie dla U^ wygodnie jest faktoryzowane w postaci (6.6.9). W przedstawieniu współrzędnościowym elementy macierzowe <q | U^ | q’ > obliczamy bezpośrednio z :
<q | U^ | q’ > = sqrt( µ/ 2πħT) exp { (1/ħ) { i [ µ( q – q’)2/ 2T ] – V(q)T } – ¼ iπ } (6.6.10) ZauwaŜmy, Ŝe wykorzystując (6.6.4) i zakładając q = qn+1 , q’ = qn (6.6.10) moŜemy zapisać równieŜ w postaci :
< qn+1| U^ | qn > = sqrt ( i/ 2πħ ) [ ∂2W(qn+1, qn )/ ∂qn∂qn+1]1/2 exp ( iW(qn+1, qn )/ ħ ) (6.6.11) tj. w postaci propagatora ( funkcji Greena) od „stanu” | qn> do stanu | qn+1> przedstawionego w postaci iloczynu
amplitudy i współczynnika fazowego, ten ostatni zadany jest przez klasyczne działanie wzdłuŜ drogi do qn do qn+1.
Element macierzowy (6.6.10) wchodzi w wyraŜenie (6.6.7) całkowego równania ewolucyjnego :
∞
ψn+1(q) = sqrt ( µ/ 2πħT ) exp[ -¼ iπ – (1/ ħ) iV(q)T ] ×
∫
dq’ ψn(q’) exp [ iµ( q – q’)2/ 2Tħ ] (6.6.12) -∞Nie jest trudne sprawdzenie, Ŝe w granicy T → 0 odwzorowanie klasyczne (6.6.2) sprowadza się do równań Hamiltona : q• = ∂H- /∂p , p• = - ∂H- /∂q opisujących ciągłą ewolucje układu, który określony jest hamiltonianem H^, otrzymanym z (6.6.1) przez uśrednienie po czasie :
H- = ½ p2 + V(q) (6.6.13)
Analogiczne “odwzorowanie kwantowe” sprowadza się w granicy T → 0 do standardowego, zaleŜnego od czasu równania Schrödingera (6.1.2), którego operator Hamiltona odpowiada (6.6.13).
Krok w czasie T moŜna rozpatrywać w charakterze parametru perturbacyjnego : w granicy T → 0 ruch sprowadza się do całkowalnego hamiltonianu o jednym stopniu swobody i płaszczyzna fazowa (p, q) pokrywa się krzywymi
inwariantnymi, przy T > 0 dynamika określona jest przez odwzorowanie dyskretne (6.6.2) i wraz z wzrostem T coraz więcej krzywych inwariantnych zostaje rozruszanych, a płaszczyzny fazowe przybierają ogólną strukturę ruchów regularnego i chaotycznego.
6.6.c Ewolucja stanów klasycznych i kwantowych.
Przedstawione powyŜej wyniki pozwalają jednoznacznie przyrównać zachowanie klasyczne i kwantowe przy badaniu ewolucji stanów kwantowych w reŜimie ruchu chaotycznego.
Na początku rozpatrzymy zachowawczy hamiltonian (6.6.13) o jednym stopniu swobody. Kwantowe stany stacjonarne ψ(m) tego układu mogą być obliczone ( raczej numerycznie ) z dobrą dokładnością. Oprócz tego, w granicy
quasi-klasycznej kaŜdemu z tych stanów za pomocą zasady kwantowania Bohra-Sommerfelda, moŜemy przypisać inwariantną rozmaitość Lagrange’a K0 na płaszczyźnie fazowej (p, q) :
I =
∮
p dq = ( m + ½ ) ħ (6.6.14)K0
Gdzie wartości własnej : Em = H( I = ( m + ½ ) ħ ) przypisujemy stan stacjonarny ψ(m) . Rozpatrzmy teraz „włączone”
w chwili t =0 zaburzenia T.
Ruch klasyczny określony jest w tym przypadku hamiltonianem (6.6.1). Krzywe inwariantne K0 ( hamiltonianu H- ) określone zaleŜnością (6.6.14) juŜ nie są krzywymi dla (6.6.1) w przestrzeni fazowej, przedstawiają one węzły i kłębki, omówione juŜ w rozdziale 4.
Stany stacjonarne ψ(m) ( hamiltonianu H- ) nie są równieŜ stanami stacjonarnymi H^ (6.6.8) a ich ewolucja określona jest równaniem całkowym (6.6.12).
Ewolucyjne rozmaitości Lagrange’a przyrównać moŜemy ( w granicy ħ → 0 )z odpowiadającymi im stanami ewolucyjnymi kwantowymi, za pomocą obliczeń numerycznych ( w kaŜdym kroku czasu n ) wielkości :
| ψ(m)
n(q) |2 i rzutów Kn na oś q, te ostatnie odpowiadają gruboziarnistym wielkością ( | ψ(q) |2 ) – ( zobacz rozdział 6.4 ). To co powiedzieliśmy powyŜej zilustrujemy wynikami zaczerpniętymi z [36].
W pracy tej zbadano odwzorowanie : pn+1 = pn – q3
n+1 (6.6.15a)
qn+1 = qn – pn (6.6.15b)
o uśrednionym hamiltonianie H- = ½ p2 + ¼ q4 , co odpowiada prostemu oscylatorowi kubicznemu ( oscylator aharmoniczny o potencjale czwartego stopnia ). Płaszczyzna fazowa odwzorowania (6.6.15) pokazana jest na rysunku 6.8(a). Wielka krzywa, którą przedstawiono równieŜ na rysunku 6.8(b) przedstawia sobą krzywą inwariantną
hamiltonianu H- , w wybranych jednostkach odpowiada ona zgodnie z (6.6.14) 18-temu stanowi związanemu danego układu kwantowego.
Na rys. 6.9 pokazano ewolucje tej krzywej pod działaniem odwzorowania kwantowego, tylko pięć iteracji prowadzi juŜ do znacznej złoŜoności K5 , przypominającej chaos hamiltonowski w cieczy, omówiony w podrozdziale 4.8 W przypadku K4 , wida wyraźnie niewielkie kędziorki, związane z wysepkami pokazanymi na rys. 6.8 jak równieŜ długie, cienkie wąsy, związane z przechodzeniem przez obszary hiperboliczne. Spiralna forma obserwowana dla K1 odpowiada
„duŜemu” kędziorowi związanemu z obrotem względem centralnego punktu stałego q= p = 0. Na rys. 6.10 a)
przedstawiono rzuty Kn. Tylko dwie iteracje prowadzą do silnego wzrostu liczby kaustyk, i jest to charakterystyczne dla reŜimu chaotycznego. Porównajmy teraz te rysunki do wyników kwantowego odwzorowania | ψ(q) |2 ( rys. 6.11 a) ).
Przy n =2 obserwujemy gwałtowne przejście od struktury charakteryzującej się jednolitą wielkością oscylacji w strukturze, dla której charakterystyczna jest wielość wymiarów drgań. Rzuty odpowiadających im krzywych
ewolucyjnych dają gładkie tworzące dla | ψ |2 tylko w przypadkach : n = 0 i n =1. Wraz ze wzrostem n struktura kaustyk staje się bardziej złoŜona i jak widać | ψ |2 są słabo związane między sobą, co nie powinno nas dziwić poniewaŜ kaustyki zostają zgrupowane w skalach mniejszych niŜ charakterystyczna długość fali de Broglie’a. Jest zrozumiałe, Ŝe nie moŜna rozwiązać z pomocą kwantowych funkcji falowych, klasycznych osobliwości ( w przestrzeni fazowej ) w skali mniejszej
niŜ O(ħ ). Aby porównać rzutu klasyczne i | ψ |2 przy n ≥ 2, obie zaleŜności naleŜy wygładzić w skali O(ħ ). Jest to pokazane na kolejnych rysunkach 6.10 (b) i 6.11(b), między którymi obserwujemy dobrą zgodność.
Rys. 6.8 a) Typowa płaszczyzna fazowa odwzorowania zachowującego pole (6.6.15)
Rys. 6.8 b) Ta sama płaszczyzna, na którą nałoŜono trzy inwariantne krzywe hamiltonianu (6.6.13) [36]
Rys. 6.9 Klasyczne odwzorowania Kn wejściowego zbioru trajektorii K0 przedstawionej na rys 6.8 b) wewnątrz krzywej. Mały kwadracik narysowany na trajektorii K0 ma „pole” równe ħ [ 36]
Rys. 6.10 a) Rzut odwzorowania Kn na oś q, ilustrujący gwałtowne zwiększenie liczby kaustyk przy n > 2.
b) Rzuty wygładzone w skali szerokości ∆q = 0.05 [ 36]
Rys. 6.11 a) Odwzorowania kwantowe, przedstawiające ewolucje| ψ(q) |2 (. Stan początkowy ( n = 0 ) przedstawia 18-sty stan hamiltonianu H- = ½ p2 + ¼ q4 ( o odpowiadającej mu WKB-krzywej K0 ) b) Odwzorowanie kwantowe wygładzone w takiej samej skali jak na rys. 6.10b) [ 36]
Omówione wyniki pokazują , Ŝe ħ w zaleŜności od klasycznego reŜimu odgrywa dwie róŜne role. Po pierwsze nakłada ona strukturę kwantową ( drgania ψ ) na gładkie klasyczne tło ( krzywe początkowe K0 i K1 ). W miarę coraz większej złoŜoności struktury klasycznej podczas ewolucji ( węzły i zapętlenia ) w skalach mniejszych niŜ O(ħ ), ħ zaczyna odgrywać wygładzającą rolę w sensie niemoŜliwości „rozwiązania” takich subtelnych struktur. Dokładniejsze omówienie tych zagadnień czytelnik znajdzie w [36]. Odwzorowania kwantowe omówione są równieŜ w [37, 35]