Statystyczne pojęcia układów silnie chaotycznych

JuŜ wielokrotnie mówiliśmy o pojęciu ergodyczności, w tym podrozdziale omówimy je dokładniej wraz z innymi pojęciami które są bardzo uŜyteczne dla zrozumienia własności układów silnie chaotycznych. Piękne wprowadzenie w krąg takich ideii moŜna znaleźć w [28], jak równieŜ w [29].

4.7.a Ergodyczność.

Jako prosta ilustracja ergodyczności moŜe słuŜyć rozpatrzony w podrozdziale 2.5 przypadek potoku na torusie o niewymiernych częstościach. Rozpatrzmy dwuwymiarowy torus, potok na tym torusie zapiszemy w postaci :

Φ1 = 2πω1t + Φ1(0) , mod Φ1 = 1 (4.7.1a)

Φ2 = 2πω2t + Φ2(0) , mod Φ2 = 1 (4.7.1b)

gdzie wprowadziliśmy zmienne Φi = θi/2π , o okresie 1. Taki dwuwymiarowy torus jest topologicznie inwariantny kwadratowi jednostkowemu z utoŜsamionymi bokami i łatwo jest pokazać, Ŝe potok jest ergodyczny – odpowiednio zatem średnie po czasie są równe średnim po fazie, jeŜeli stosunek ω1/ω2 jest liczbą niewymierną. ZauwaŜmy, Ŝe przemieszczenie na tym torusie małego, co do pola elementu przedstawia sobą przykład „czystego” przeniesienia równoległego. ( rys. 4.29)

Przykład ten pokazuje, Ŝe ergodyczność nie wprowadza zachowania chaotycznego.

Rys. 4.29 Ergodyczność na torusie : przemieszczenie na torusie małego co do pola, elementu przedstawia przeniesienie równoległe.

4.7.b Mieszanie.

Zachowanie chaotyczne związane jest z wykładniczym rozbieganiem sąsiednich trajektorii, zatem wiąŜe się z dodatnim wykładnikami Lapunowa. W przypadku elementów małych co do ich pola, będą one doznawać znacznych zmian a to prowadzi do pojęcia „mieszania”.

Prostym układem, dla którego obserwujemy mieszanie jest znane odwzorowanie Arnolda (* tzw. „wyŜymanie kota” – przypis własny *) ( liniowy automorfizm jednostkowego torusa ), które przedstawia sobą nic innego jak przekształcenie liniowe zachowujące pole T :

T : [ xn+1 ] = [ 1 1 ] [ xn ] , mod x = 1 (4.7.2)

[ yn+1 ] [ 1 2 ] [ yn ] , mod y = 1

Jak widać z rysunku 4.30 dla znacznego zniekształcenia elementu powierzchni wystarczą tylko dwie iteracje odwzorowania (4.7.2) róŜniące się od (4.7.1) obecnością współczynnika przesunięcia, co po uwzględnieniu

periodyczności torusa do rozciągnięcia i przemieszania. W przeciwieństwie do przesunięcia równoległego na torze w przypadku (4.7.1) mały co do pola, element szybko przekształca się w długą i cienką nić. Jest jasne, Ŝe mieszanie zakłada ergodyczność, jednak ergodyczność nie zakłada mieszania.

Wartości własne T łatwo jest obliczyć, są one równe :

λ± = ½ ( 3 ± √5 ) (4.7.3)

przy czym λ+ λ- = 1, co wynika z tego, Ŝe przekształcenie zachowuje pole.

Dla rzeczywistych wartości własnych λ+ i λ- oznaczają wykładnicze rozciągnięcie a następnie ściśnięcie. Rozciągnięcie następuje w kierunku wektora własnego :

ξ+ = [ 1 ] (4.7.4a)

[ ½ ( 1 + √5 ) ] a ściśnięcie – w kierunku :

ξ- = [ 1 ] (4.7.4b)

[ ½ ( 1 - √5 ) ]

W naszym przypadku, prostego odwzorowania liniowego łatwo jest upewnić się , Ŝe ( dodatni ) wykładnik Lapunowa jest równy : σ = ln [ ½ ( 3 + √5 ) ]

Odwzorowanie Tn posiada wiele punktów stałych, określonych równaniem :

[ x ] = Tn [ x ] – [ k ] (4.7.5)

[ y ] [ y ] [ s ]

gdzie : k, s – liczby całkowite, wymagane aby iteracje Tn nie wychodziły ( mod 1 ) za przedział kwadratu jednostkowego. Oczywiście T posiada jeden punkt stały ( x, y) = ( 0, 0 ). Punktami stałymi T2 są punkty : ( 1/5, 3/5 ) , ( 2/5, 1/5 ), ( 3/5, 4/5) i (4/5, 2/5) – wszystkie hiperboliczne o wartościach własnych

( λ± )2 = ( 7 ± 3√5 ).

Niezbyt trudno jest równieŜ określić punkty homo i hetero-kliniczne odwzorowania Arnolda. Przykładowo punkt (0,0) odwzorowania T posiada rozmaitość stabilną ( H+ ) oraz nie stabilną ( H- ) owijające torus w kierunku wymiernym, zadawanym odpowiednio wektorami ξ+ i ξ- , rozmaitości te przecinają się ( ale nie same siebie) nieskończenie wiele razy. To samo moŜna powiedzieć o rozmaitościach stabilnych i niestabilnych punktów stałych odwzorowania T2, jednak

w tym przypadku będą one przecinać rozmaitości H+ i H- punktu stałego odwzorowania T, co prowadzi do pojawienia się nieskończonego zbioru punktów heteroklinicznych ( rys. 4.31)

Rys. 4.30 a) dwie iteracje odwzorowania Arnolda. [1]

Rys. 4.30 b) Mieszanie na torusie : przemieszczający się na torusie mały co do pola element doznaje translacji i rozciągnięcia.

Rys. 4.31 Schematyczne przedstawienie punktów homoklinicznych (P) i heteroklinicznych (Q) odwzorowania Arnolda.

T2i ( i = 1, 2, 3, 4 ) – cztery punkty stałe odwzorowania T2 ; T1i - punkt stały odwzorowania T. Punkty homokliniczne P powstają jako przecięcia rozmaitości H+ i H- ; odnoszące się do T2i punkty heterokliniczne Q powstają jako

przecięcia rozmaitości H- ; odnoszącej się do T11 i rozmaitości H+ odnoszącej się do T21.

4.7.c Przekształcenie piekarza i układy Bernoulliego.

Drugim przykładem prostego przekształcenia, posiadającym niezwyczajne własności jest tzw. „przekształcenie piekarza”, moŜe ono być przedstawione w postaci następującego odwzorowania na kwadracie jednostkowym :

[ xn+1 ] = [ 2xn ] = , 0 ≤ xn ≤ ½ (4.7.6) [ yn+1 ] [ ½ yn ]

= [ 2xn – 1 ] , ½ ≤ xn ≤ 1 [ ½ yn + ½ ]

Odpowiada ono powtarzającym się podwojeniom względem x i dzieleniom na połowę względem y.

Odwzorowanie to jest odwracalne – przy odwróceniu następuje podwojenie względem y i dzielnie na połowę względem x. Przekształcenie to zachowuje pole jak widać to z rysunku 4.32, w pewnym stopniu przypomina ono rozrabianie ciasta na chleb przez piekarza (* stad jego nazwa – przypis własny *).

Jest zrozumiałe, Ŝe w tym przypadku niewielka ilość iteracji odwzorowania prowadzi do szybkiego mieszania.

Rys. 4.32 Przekształcenie piekarza.

Nieuporządkowany charakter tego prostego przekształcenia przejawia się jeśli iteracje (xn , yn ) przedstawimy w układzie dwójkowym tj. w postaci zero-jedynkowej. Prostymi przykładami przedstawienia liczb za pomocą systemu dwójkowego są : 1/16 = 0,0001000... ; 1/8 = 0,001000.... , ¼ = 0.01000.... itd.

Liczby bardziej złoŜone w szczególności niewymierne przedstawiane są za pomocą nieskończenie wiele razy

powtarzających się sekwencji zero jedynkowych. Przedstawienie dwójkowe posiada pewną waŜną cechę – podwojeniu liczby w zapisie dziesiętnym odpowiada przemieszczenie liczby w zapisie dwójkowym o jedną pozycję w prawo, dzieleniu odpowiada przemieszczenie o jedną pozycje w lewo.

(* np. 2/16 = 1/8 = 0.001000... – przypis własny *)

Taka własność zapisu dwójkowego pasuje idealnie do opisu przekształcenia piekarza.

Warunek początkowy : X0 = ( x0 , y0 ) przedstawmy w postaci :

x0 = 0.a1a2a3 ... ai … (4.7.7a)

y0 = 0.b1b2b3 ... bi … (4.7.7b)

gdzie ai , bi – są albo 0 albo 1.

PołoŜenie tego punktu na kwadracie jednostkowym wygodnie jest przedstawić za pomocą jednego połączonego ciągu : X0 = .... bi … b3b2b1 . a1a2a3 ... ai … (4.7.8) Uwzględniając, Ŝe iteracji odwzorowania odpowiada podwojenie względem x i podzielenie przez dwa względem y, X1 moŜemy otrzymać przez przeniesienie pozycji przecinka dziesiętnego w (4.7.8) o jedną pozycję w prawo :

X1 = .... bi … b3b2b1a1. a2a3 ... ai … (4.7.9) To samo moŜemy zrobić dla kolejnych iteracji Xi. Procedura ta znana jest jako przesunięcie Bernoulliego.

Rozpatrzmy teraz bardziej „gruboziarnisty” opis ruchu przy którym trajektorią ( lub pewne jej funkcje ) przypiszemy 0 przy 0 ≤ xn < ½ oraz 1 przy ½ ≤ xn < 1. To oznacza, Ŝe z przedstawienia dwójkowego xn bierzemy tylko pierwszą cyfrę. W wyniku tego historia ruchu w „gruboziarnistym” przedstawieniu tj. kolejne iteracje :

X-0 , X

-1 , ... , X

-n , opisujemy szeregiem a1, a2, ... ,ai .... itd.

JeŜeli odwzorowanie przebiega od n = -∞ do n = +∞ to historia ruchu będzie przedstawiona przez nieskończony szereg : .... bi … b3b2b1a1a2a3 ... ai … (4.7.10) ( Przypomnijmy, Ŝe w odwrotnym kierunku - ∞ ≤ n ≤ + ∞ , przekształcenia względem x i względem y zamieniają się miejscami )

Zapewne dziwnym wydaje się, Ŝe w przypadku typowych niewymiernych warunków początkowych ( x0 , y0 ) odpowiadające im przedstawienie dwójkowe (4.7.7) jest nieskończonym ale nie powtarzającym się szeregiem zer i jedynek i odpowiednio szereg (4.7.10) będzie przypadkowy tak jak szereg otrzymany przy rzucie monetą

( orzeł 1, reszka – 0 ).

Zatem całkowicie zdeterminowany układ dynamiczny (4.7.6) zadaje ruch, który okazuje się zupełnie przypadkowym.

Taki układ znany jest jako układ Bernoulliego i przedstawia sobą graniczny przypadek nieporządku. Jednym z waŜniejszych wyników teorii układów dynamicznych jest stwierdzenie, Ŝe w otoczeniu dowolnego punktu homoklinicznego odwzorowania, ruch moŜe być lokalnie przedstawiony z pomocą odwzorowania o własnościach układu Bernoulliego. Widzieliśmy juŜ, Ŝe w niecałkowalnych układach hamiltonowskich zbiór punktów

homoklinicznych jest zbiorem gęstym w otoczeniu punktu stałego hiperbolicznego. Zatem sformułowany wyŜej wynik potwierdza wyobraŜenie o tym, Ŝe zdeterminowane trajektorie chaotyczne, obserwowane w takich układach jak układ Bernoulliego, w rzeczywistości są przypadkowe w swej naturze.

Kilka interesujących przykładów takich zachowań podano w [ 2].

4.7.d Hierarchia nieuporządkowania.

Z przywołanych powyŜej przykładów widać, Ŝe róŜne typy układów dynamicznych charakteryzują się większym lub mniejszym stopniem nieuporządkowania. PrzybliŜoną klasyfikację takich typów nieporządku moŜemy przedstawić za pomocą poniŜszej struktury hierarchicznej.

1). Układy ergodyczne. Jest to najsłabszy typ zachowania, przy którym średnie fazowe są równe średnim po czasie : T

lim

∫

f(x, t) dt = < f (x, t) > (4.7.11) T→∞ -T

gdzie : < > oznacza uśrednienie po ansamblu na rozpatrywanej rozmaitości.

W charakterze prostych przykładów moŜna podać niewymierny potok na torusie lub w przypadku jednowymiarowych układów, potok na powierzchni energetycznej ( zobacz podrozdział 2.5 ). Przypomnijmy, Ŝe n-wymiarowy hamiltonian ogólnej postaci ( n > 1) nie jest ergodyczny na całej powierzchni energetycznej, co wynika z tego, Ŝe jest ona podzielona przez zachowujące się torusy.

2). Układy mieszające. Tak jak to było pokazane jest to znacznie „silniejsza” własność niŜ ergodyczność. W przeciwieństwie do (4.7.11) mieszanie zakłada :

lim f(x, t) = < f (x, t) > (4.7.12) t→∞

tj. dla dostrzeŜenia „równowagi“ nie wymagamy Ŝadnego uśrednienia po czasie.

MoŜna pokazać, Ŝe spektrum układów mieszających jest ciągłe, podczas gdy spektrum układów ergodycznych jest dyskretne. ( Istnieje jeszcze chwilowy stan zwany „słabym mieszaniem”, wystarczający aby spektrum było ciągłe ) 3). K-układy. Są to układy o dodatniej entropii Kołmogorowa. W tym przypadku wykładnicze rozbieganie spójnych otoczeń trajektorii powinno charakteryzować się dodatnią prędkością średnią.

4). C-układy ( układy Anosowa ). Są to globalnie niestabilne układy, w których wykładnik Lapunowa kaŜdej trajektorii jest dodatni. Przykładem C-układu jest odwzorowanie Arnolda.

5). Układy Bernoulliego. Ruch w tych układach jest zupełnie przypadkowy tak jak wynik rzutu monetą ( przykładem jest przekształcenie piekarza )

KaŜdemu kolejnemu typowi układu w tej hierarchii przysługują własności wskazanych typów. Przykładowo,

odwzorowanie Arnolda odnosi się do C-układów ale posiada równieŜ własności K-układów ( w tym przypadku entropia Kołmogorowa równa jest ln [ 3 + √5/2 ] ), charakteryzuje się równieŜ mieszaniem, co w pewnym stopniu zakłada równieŜ jego ergodyczność.

W dokumencie Chaos i całkowalność w dynamice nieliniowej M. Tabor (Stron 102-107)