Nieliniowe równania ewolucyjne i solitony
7.4 Odwrotne przekształcenie rozpraszania : równanie KdV
którą moŜna rozpatrywać jako pewne przekształcenie Fouriera danych rozpraszania. Następny krok polega na tym aby rozwiązać następujące liniowe równanie całkowe :
∞
K(x, y) + B(x + y) +
∫
B(x + z)K(z, y)dz = 0 (7.3.19)-∞
względem funkcji K(x, y).
Jeśli K(x, y) zostanie znaleziona, to moŜna pokazać, Ŝe potencjał u0(x), określający dane rozpraszania, wchodzące do (7.3.18) zadany jest zaleŜnością :
u0(x) = -2d/dx K(x, x) (7.3.20)
Jest to w istocie bardzo znaczący wynik !
Aby wykorzystać to co pokazano wyŜej w celu rozwiązania równania KdV powinniśmy : 1) określić ewolucję danych rozpraszania w miarę jak u0(x) „deformuje się” w u(x, t) 2) nauczyć się rozwiązywać równanie Gelfanda-Lwwitana-Marczenki (7.3.19)
Jak się okazuje 1) moŜna wykonać stosunkowo łatwo. Podstawowe problemy związane są z punktem 2).
Równanie (7.3.19) moŜemy rozwiązać dokładnie, tylko dla przypadków szczególnych, do których zalicza się przypadek Tłumaczący pojawienie się solitonów. Wyniki te omówimy w następnym rozdziale.
7.4 Odwrotne przekształcenie rozpraszania : równanie KdV.
Przypomnijmy jeszcze raz, Ŝe pojawiającą się w równaniu KdV :
ut – 6u ux + uxxx = 0 (7.4.1)
zmienną t, naleŜy rozpatrywać jako parametr deformacji, a nie jak „bieŜący” czas. Po uwzględnieniu tej uwagi w równaniu Schrödingera moŜe występować zaleŜność wartości własnej λ od t :
ψxx – ( u(x, t) –λ(t) ) ψ = 0 (7.4.2)
gdzie : ψ = ψ (x, t) i nie powinno to prowadzić do zamieszania.
7.4.a Deformacja izospektralna.
Jeśli przedstawić – wykorzystując wyraŜenie (7.4.2) – u jako funkcję ψ :
u = ( ψxx / ψ ) + λ (7.4.3)
to dojdziemy do zaleŜności :
ut = ( ψxxt / ψ ) - ( ψxx ψt / ψ2 ) + λt (7.4.4)
oraz analogicznych zaleŜności dla uux i uxxx . W tych dwóch ostatnich zaleŜnościach celowe jest nie wprowadzać trzecich oraz wyŜszych pochodnych ψ względem x, powtórnie wykorzystując (7.4.2). Działając w ten sposób, moŜna sprowadzić równanie KdV do postaci :
λt ψ2 + ( ψMx - ψx M) x = 0 (7.4.5) gdzie :
M = ψt – 2( u + 2λ) ψx + uzψ (7.4.6)
W przypadku funkcji własnych stanów związanych kwadrat ψ , całkujemy a zatem całkowanie obu stron (7.4.5) w przedziale ( -∞ , ∞ ) daje :
Wynik ten jest bardzo waŜny, poniewaŜ wynika z niego to, Ŝe jeśli potencjał u(x, t) deformuje się zgodnie z równaniem KdV to wartości własne stanów związanych pozostają niezmienione !.
Jest to przykład tego, co nazywamy „deformacją izospektralną”. W przedziale ciągłym ( przy λ > 0) rozwiązanie równania Schrödingera istnieje dla dowolnej wartości λ. MoŜemy zatem, mówić o tym ,Ŝe kaŜdej dodatniej wartości energii odpowiada określona wartość λ i λt = 0. W danym przypadku (7.4.5) daje to :
Mxx ψ - Mψxx = 0 (7.4.9)
Wykorzystując teraz (7.4.2) dla ψxx moŜemy przedstawić tą zaleŜność w postaci równania róŜniczkowego drugiego rzędu, względem M :
Mxx – ( u – λ)M = 0 (7.4.10)
Ogólne rozwiązanie równania (7.4.10) ma standardową postać :
M = Aψ + Bφ (7.4.11)
Gdzie : ψ, φ – dwa liniowo niezaleŜne rozwiązania.
Oczywiście , Ŝe jednym z tych rozwiązań jest sama funkcja własna ψ ( wystarczy porównać (7.4.2) i (7.4.10) ).
Standardowa metoda uzyskiwania rozwiązania polega na obliczeniu φ : x
φ = ψ
∫
dx’ / ψ2 (7.4.12)MoŜemy o tym łatwo się przekonać, sprawdzając , Ŝe wrońskian : φx ψ - ψx φ = 1.
Jednocześnie, wychodząc z asymptotycznych własności (7.4.10), łatwo pokazać, Ŝe B = 0, zarówno dla stanów związanych jak i dla ciągłego obszaru spektrum. ( W granicy x →±∞ (7.4.10) przyjmuje postać Mxx + λM = 0 i po uwzględnieniu asymptotycznej zaleŜności ψ w (7.4.11) zaleŜność ta moŜe być spełniona dla nietrywialnego φ tylko jeśli B = 0 ). W wyniku tego otrzymujemy :
M = ψt – 2(u + 2λ) ψx + ux ψ = Aψ (7.4.13)
W przypadku stanów związanych moŜemy pokazać równieŜ , Ŝe i A = 0. MnoŜąc obie strony (7.4.13) przez ψ, dochodzimy do :
ψψt – 2(u + 2λ) ψ2 + ux ψ2 = Aψ2 (7.4.14)
a następnie przepisując do postaci :
½ (ψ2 )t + (u ψ2 - 2 ψx2 – 4λ ψ2 )x = Aψ2 (7.4.15)
PoniewaŜ kwadrat funkcji własnych stanów związanych jest całkowalny, moŜemy scałkować to wyraŜenie względem x : ∞ ∞ ∞
½ (
∫
ψ2 dx )t + (u ψ2 - 2 ψx2 – 4λ ψ2 ) | -∞ = A∫
ψ2 dx (7.4.16) -∞ -∞Druga składowa po lewej stronie (7.4.16) jest równa zeru, pierwsza tez jest równa zeru na mocy stałości normowanej całki. Zatem : A = 0 i otrzymujemy :
ψt – 2(u + 2λ) ψx + ux ψ = 0 (7.4.17)
7.4.b Ewolucja danych rozpraszania.
Równanie (7.4.17) moŜe być wykorzystane w celu wyprowadzenia równania „ewolucyjnego” dla stałych normalizujących cn(t). W granicy x → ∞, zarówno u jak i ux dąŜą do zera, (7.4.17) zatem sprowadza się do :
i bezpośrednie podstawienie (7.4.19) do (7.4.18) daje rrz pierwszego rzędu względem cn :
dcn / dt = 4 kn3 cn (7.4.20) Równanie to posiada proste rozwiązanie :
cn(t) = cn(0) e4kn3 t (7.4.21)
gdzie wartość początkowa cn(0) przedstawia znormalizowaną stałą n-tej funkcji własnej stanu związanego dla potencjału u0(x) = u(x, 0).
W obszarze ciągłym przyjdzie nam ponownie pracować z wyraŜeniem (7.4.13).
Podstawiając λ = k2 i przechodząc do granicy x →∞, moŜemy sprowadzi to wyraŜenie do postaci :
ψt - 4 k2 ψn = Aψ (7.4.22)
Wykorzystamy następnie asymptotyczne wyraŜenie :
lim ψ (x, t) = e-ikx + b(k, t) e-ikx (7.4.23)
x → ∞
Bezpośrednie podstawienie powyŜszej zaleŜności do (7.4.22) oraz wybór A = 4ik3 prowadzi do równania ewolucyjnego dla b(k, t) :
db/dt = 8ik3b (7.4.24)
Równanie to posiada rozwiązanie o postaci :
b(k, t) = b(k, 0) e8ik3t (7.4.25)
gdzie : b(k, 0) – współczynniki odbicia dla u0(x).
Powtarzając te same obliczenia dla granicy x → -∞, łatwo pokazać, Ŝe :
da/dt = 0 (7.4.26)
i odpowiednio :
a(k, t) = a(k, 0) (7.4.27)
Widzimy zatem, Ŝe oczekiwany cud nastąpił – przy deformacji zgodnej z równaniem KdV ewolucja danych rozpraszania λn(0) , cn(0), a(k, 0), b(k, 0) odpowiadających wejściowemu potencjałowi u0(x), określona jest prostym równaniem liniowym. PoniewaŜ deformacja jest izospektralna to : λn(t) = λn(0). Wykorzystując (7.4.21) i (7.4.25) moŜemy skonstruować wielkość :
∞ ∞
B( ζ ,t ) =
ΣΣΣΣ
cn2 e-knζ + (1/2π)∫
b(x, t ) eikζ dk (7.4.28) n=1 -∞a następnie rozwiązać ( jeśli się da ) równanie Gelfanda-Lewitana-Marczenki, względem K(x, y, t), znajdując u(x, t) z zaleŜności :
u(x, t) = -2 d/dx K(x, x, t) (7.4.29)
Globalnie ta procedura nazywa się „odwrotnym przekształceniem rozpraszania“ (OPR) i przedstawia pośrednią
linearyzację równania KdV, w znacznej mierze jest ona analogiczna do metody przekształcenie Fouriera. Z tego względu OPR bywa nazywana „nieliniowym przekształceniem Fouriera”.
Jak juŜ mówiliśmy , problem w istocie polega na rozwiązaniu równania całkowego względem K(x, y, t). Na chwilę obecną wydaje się , Ŝe takie równanie moŜe być rozwiązane w zamkniętej postaci tylko dla tych zagadnień rozpraszania w których „nie występuje odbicie” tj. b(k, t) = b(k, 0) = 0.
7.4.c Rozwiązanie dwusolitonowe.
Ogólnie OPR dla równania KdV ilustruje się na przykładzie potencjału postaci : u0(x) = - V / ch2x , gdzie V – stała.
W szczególności będziemy rozpatrywali potencjał : Dogodność potencjałów typu 1/ ch(x) polega na tym, Ŝe dla nich b(k) = 0 tj. nie występuje odbicie.
Zatem :
N I dalej, wykorzystując (7.4.29) rozwiązanie to moŜna ( w kilku etapach ) sprowadzić do postaci :
u(x,t) = -12 [ 3 + 4 ch(2x- 8t) + ch(4x – 64t) ] / [ ( 3ch(x- 28t) + ch(3x – 36t)]2 (7.4.35) ZauwaŜmy, Ŝe u(x, 0) = - 6/ch2 (x).
Przeanalizujmy własności tego rozwiązania, postępując zgodnie [3]. W tym celu wprowadzimy zmienne : x1 = x - 4k12 t = x – 16t ; x2 = x - 4k22 t = x – 4t
WyraŜając argumenty członów (7.4.35) zawierających funkcję ch(x), przez x1, otrzymujemy :
u(x,t) = -12 [ 3 + 4 ch(2x1- 24t) + ch(4x1) ] / [ ( 3ch(x1 - 12t) + ch(3x1– 12t)]2 (7.4.36) Ustalając x1, przejdziemy do granicy t → ∞ a następnie odrzucimy człony zawierające funkcję ch(x) zanikające wykładniczo :
Przeprowadzona analiza pozwala wyjaśnić zachowanie obserwowane przez Zabuskyego i Kruskala [18]. Rozwiązanie opisuje wzajemne oddziaływanie dwóch odosobnionych biegnących fal ( porównaj z omówieniem rozwiązania w postaci fal biegnących w poprzednim podrozdziale ). Przy t → - ∞ fala głębsza połoŜona jest po lewej stronie fali płytszej ( rys. 7.2 ). W miarę jak t → 0 fala głębsza dogania płytszą i przy t= 0 łączą się one, obrazując potencjał wejściowy u(x, 0) = - 6 / ch2(x). Interesujące ,Ŝe przy t → + ∞ falę rozdzielają się i przy tym fala głębsza porusza się wyprzedzając falę płytszą. W granicy t → + ∞ rozwiązanie ponownie przedstawia sumę dwóch oddzielnych fal odosobnionych.
Jedynym wynikiem oddziaływania fal jest nieduŜe przesunięcie fazy δ.
7.4.d Ogólniejsze rozwiązania.
Wyniki otrzymane dla takiego „dwusolitonowego” potencjału, łatwo jest uogólnić dla dowolnego potencjału postaci : u(x, 0) = - V/ ch2(x).
W przypadku potencjału tego typu, mającego N stanów związanych o wartościach własnych : λn = -kn2.
( n = 1, ... N ), rozwiązanie asymptotyczne ma postać :
Takie rozwiązanie nazywamy rozwiązaniem „N-solitonowym”. Przy t → ∞ warunek początkowy przekształca się w łańcuszek biegnących fal odosobnionych, w którym najgłębsza fala jest na przodzie a najpłytsza na końcu. Istotnym
wynikiem oddziaływania wzajemnego takich fal, kiedy t przyjmuje wartości od - ∞ do +∞ jest przesunięcie fazy δn .
Rys. 7.2 Schematyczne przedstawienie ewolucji rozwiązania dwusolitonowego (7.4.35) a) t = - 0,75 ; b) t = - 0,4 c) t = - 0,15 ; d) t = - 0.1 ; e) t = 0,0 ; f) t = 0,1 ; g) t = 0,4 ; h) t = 0,75.
Pokazano jak dwa oddzielne solitony o głębokości 8 i 2 łączą się przy t= 0, obrazując potencjał wejściowy
u(x, 0) = -6 / ch2 ( x ) , a następnie ponownie się rozdzielają , przy czym fala o większej głębokości wyprzedza falę o głębokości mniejszej. „Masa”
∫
u(x, t )dx cały czas jest zachowana.Identyfikowaliśmy solitony, rozpatrując granice rozwiązań przy t → ± ∞. Jednak ściśle rozwiązanie N-solitonowe moŜe być zapisane w ogólniejszej postaci :
N
u(x, t) = -4
ΣΣΣΣ
kn ψ2n( x, t) (7.4.42) n=1gdzie : ψn – funkcje własne stanów związanych o wartościach własnych λn = -k2 n.
W przypadku potencjałów z odbiciem obecność ciągłego obszaru, spektrum kwantowego powoduje, Ŝe dokładne rozwiązanie równania Gelfanda-Lewitana-Marczenki jest niemoŜliwe. Jednak w ogólnych przypadkach przedstawiony obraz jest zachowany i w granicy t → ∞ warunek początkowy rozpada się obrazując ciąg biegnących fal
odosobnionych. Wkład obszaru ciągłego przejawia się w pojawieniu się składowej oscylacyjnej rozwiązania, która znika przy t → ∞. Niekiedy zjawisko to nazywa się „promieniowaniem”. Wartość tej składowej jest stosunkowo mało poznana, chociaŜ istnieje szereg jej ocen asymptotycznych. Omówienie niektórych wyników moŜna znaleźć np. [1] lub [3] – w tej pracy moŜna zapozna się równieŜ z pewnym prostym przykładem.
7.4.e Para Laxa.
Zapewne czytelnik zauwaŜył, Ŝe zagadnienie kwantowomechaniczne sprowadza się ( w przypadku spektrum stanów związanych ) do rozwiązania pary równań liniowych :
ψxx = ( u – λ ) ψ (7.4.43a)
ψt = 2( u + 2λ ) ψx - ux ψ (7.4.43b)
Aby równania te były niesprzeczne, powinny spełniać „warunek całkowalności” :
ψxxt = ψtxx (7.4.44) RóŜniczkowanie względem t (7.4.43a) daje po uwzględnieniu (7.4.43b) :
ψxxt = ( ut - uux + λux –
λ
t )ψ + 2(u + 2λ)( u – λ) ψx (7.4.45) gdzie, w tej chwili juŜ nie zakładamyλ
t = 0. Analogicznie róŜniczkując (7.4.43b) względem x :ψtxx = (5uux - λux - uxxx ) ψ + 2(u + 2λ)( u – λ) ψx (7.4.46) Widzimy, Ŝe warunek (7.4.44) będzie spełniony, jeŜeli spełnione będą następujące zaleŜności :
ut - 6uux + uxxx = 0 (7.4.47)
λ
t = 0 (7.4.48)Parę równań (7.4.43) nazywamy „parą Laxa” , Lax pokazał ( od razu po pracy Gardnera i innych ), Ŝe równanie KdV oraz inne ściśle związane z nimi równania ewolucyjne są równowaŜne warunkowi całkowalności izospektralnej dla pary operatorów liniowych.