Odwzorowania kwantowe : kwantowanie z wykorzystaniem zamkniętych trajektorii

Chaos i całkowalność w mechanice quasiklasycznej ( semiklasycznej)

6.7 Odwzorowania kwantowe : kwantowanie z wykorzystaniem zamkniętych trajektorii

Rys. 6.11 a) Odwzorowania kwantowe, przedstawiające ewolucje| ψ(q) |2 (. Stan początkowy ( n = 0 ) przedstawia 18-sty stan hamiltonianu H- = ½ p2 + ¼ q4 ( o odpowiadającej mu WKB-krzywej K0 ) b) Odwzorowanie kwantowe wygładzone w takiej samej skali jak na rys. 6.10b) [ 36]

Omówione wyniki pokazują , Ŝe ħ w zaleŜności od klasycznego reŜimu odgrywa dwie róŜne role. Po pierwsze nakłada ona strukturę kwantową ( drgania ψ ) na gładkie klasyczne tło ( krzywe początkowe K0 i K1 ). W miarę coraz większej złoŜoności struktury klasycznej podczas ewolucji ( węzły i zapętlenia ) w skalach mniejszych niŜ O(ħ ), ħ zaczyna odgrywać wygładzającą rolę w sensie niemoŜliwości „rozwiązania” takich subtelnych struktur. Dokładniejsze omówienie tych zagadnień czytelnik znajdzie w [36]. Odwzorowania kwantowe omówione są równieŜ w [37, 35]

6.7 Odwzorowania kwantowe : kwantowanie z wykorzystaniem zamkniętych trajektorii.

Jak mówiliśmy w podrozdziale 6.4 dla hamiltonianów niecałkowalnych nie istnieją Ŝadne „proste” zasady kwantowania typu zasad EBK. Jednak opracowano pewną alternatywną quasi-klasyczną metodę opartą na wykorzystaniu klasycznych zamkniętych trajektorii, podstawy tej metody przedstawiono w [41]. WyłoŜenie tej metody dla układów

hamiltonowskich ogólnej postaci jest jednak znacznie skomplikowane.

Odwzorowania kwantowe posłuŜą za podstawę omówienia podstaw prezentowanej metody. Na początku podamy przegląd pewnych kwantowo-mechanicznych idei.

6.7.a Wprowadzenie pewnych wniosków mechaniki kwantowej.

Cząstka o masie m w polu potencjalnym V(q) ( q = ( q1 , q2 , q3 ) ) spełnia równanie Schrödingera :

[ ( ħ2 /2m) ∇2 + En – V(q) ] ψn (q) = 0 (6.7.1) gdzie : ψn (q) – obrazuje pełny zbiór funkcji własnych ( indeksowany z pomocą pewnego wektora n liczb kwantowych ) o wartościach własnych En .

Kwantowomechaniczną gęstość stanów określamy zaleŜnością :

ρ(E) =

ΣΣΣΣ

δ( E - En ) (6.7.2)

tj. kaŜdej wartości własnej odpowiada pik δ-funkcji. Funkcja Greena ( propagator) dla (6.7.1) spełnia równanie :

[ ( ħ2 /2m) ∇2 + E – V(q) ] G(q, q’ ) = δ(q - q’ ) (6.7.3) i moŜe być przedstawiona w „bliźniaczej“ postaci :

G(q, q’ ) =

ΣΣΣΣ

^{[ ψ}_{n (q)}^ψ*n (q’) / ( E - En ) ] (6.7.4) n

Obliczając „ślad“ funkcji Greena ( tj. zakładając q’ równym q a następnie całkując po wszystkich q ) znajdujemy :

∫

dq G(q, q ) =

ΣΣΣΣ

1/ ( E - En ) (6.7.5)

Dalej zobaczymy, Ŝe w przedziale quasi-klasycznej G(q, q’ ) moŜemy przedstawić z uŜyciem pojęć łączących q i q’ i Ŝe operacja obliczania śladu „wybiera” tylko zamknięte trajektorie.

6.7.b Quasi-klasyczne spektrum.

Przekonaliśmy się (6.6.6), Ŝe w przypadku hamiltonianów typu (6.6.1) o periodycznej zaleŜności od czasu :

H(p, q, t + T) = H(p, q, T) (6.7.9) Odpowiadający mu stan kwantowy w „chwili czasu“ N otrzymujemy w wyniku N-krotnego działania operatora

unitarnego U^ :

| ψ(t + NT) > = U^N | ψ(t) > (6.7.10)

Operator U^ moŜe posiada spektrum wartości własnych | n >, takie , Ŝe :

U^N | n > = exp ( - iNαn / ħ ) | n > (6.7.11)

Gdzie wartości własne αn , leŜące na okręgu jednostkowym, nazywają się „quasi-energiami”.

Wykorzystując (6.7.11) moŜemy zapisać :

tr ( U^N ) =

ΣΣΣΣ

< n | U^N | n > =

ΣΣΣΣ

exp ( - iNαn / ħ ) (6.7.12) n n

Wygodnie jest wprowadzić następujące oznaczenie :

εn = αn / T (6.7.13)

a następnie określić gęstość quasi-energetyczych stanów w postaci szeregu Fouriera : ∞ ∞

ρ(E) = (1/2πħ )

ΣΣΣΣ

exp ( - iNET/ ħ ) tr ( U^N ) = (1/2πħ )

ΣΣΣΣ

exp [ - ( iNαn / ħ ) ( E - εn ) ] (6.7.14) N=-∞ N=-∞ n

Przy pomocy toŜsamości (* przedstawiającej przypadek szczególny uŜytecznej zaleŜności matematycznej wykorzystywanej głównie w zagadnieniach quasi-klasycznych, znanej szerzej jako wzór sumowania Poissona.

Ogólna postać tego wzoru :

∞ ∞ ∞

ΣΣΣΣ

^{g(m) =}

ΣΣΣΣ

∫

g(x) exp ( 2iπ Mx ) dx m=0 M=- ∞ 0

Wzór ten pozwala wyrazić nieskończoną sumę funkcji przez nieskończoną sumę odpowiadających im przekształceń Fouriera, moŜemy go otrzymać stosując do obu stron (6.7.15)

∫

g(x) dx. ZauwaŜmy, Ŝe grube przybliŜenie polegające na zamianie sumy

ΣΣΣΣ

przez całkę

∫

dm odpowiada wykorzystaniu członu M = 0 we wzorze sumowania Poissona *)

∞ ∞

ΣΣΣΣ

δ(x – n) =

ΣΣΣΣ

exp ( 2iπ Mx ) (6.7.15)

n=-∞ M=-∞

funkcja ρ(E) moŜe być przedstawiona w postaci sumy δ-funkcji ( porównaj (6.7.2) ) : ∞

ρ(E) =

ΣΣΣΣ

δ(Mωħ – ( E - εn ) ) (6.7.16) M=-∞ n

Gdzie : ω = 2π/T – okres jednostkowy hamiltonianu (6.7.9)

ZauwaŜmy, Ŝe z kaŜdym poziomem quasi-energetycznym εn związany jest nieskończony zbiór stanów tj.

E = εn+ Mωħ ; M = 0, ±1, ±2, ....

6.7.c Propagator odwzorowania kwantowego.

Propagatorem wejściowym jest „jednokrokowy” propagator od | qn> do | qn+1>, zadany zaleŜnością (6.6.11). Aby sformułować propagator „n-krokowy” ( przeprowadzający układ ze stanu | q0> do | qn> ) naleŜy obliczyć (n-1)-wymiarową całkę :

< qn | U^ | q0 > =

∫

dq1 < q0 | U^ | q1 > < q1 | U^ | q2 >

∫

dq2 < q2 | U^ | q3 > ....

∫

dqn-1 < qn-1 | U^ | qn > (6.7.17) W granicy ħ → 0 moŜna to wykonać za pomocą znanej metody „stacjonarnej fazy“. Jest to jedna z waŜniejszych metod dla zagadnień quasi-klasycznych dlatego proponuje czytelnikowi zaglądnąć do zastosowania 6.1, w którym wyłoŜono pewne jej podstawy. Aby pojąć, w jaki sposób metoda ta jest wykorzystywana w celu obliczenia (6.7.17) rozpatrzymy na początku propagator „2-krokowy”.

< q2 | U^ | q0 > = (i/2πħ)

∫

_{dq1{ [}_{∂2 W(q}_{2, q1) /}_∂_q2_∂_{q1) ] [}_{∂2 W(q}_{1, q0) /}_∂_q1_∂_{q0) ] }}_{1/2 ×}

exp (i/ ħ) [ W(q2, q1) + W(q1, q0) ] (6.7.18) W granicy ħ → 0 człon eksponencjalny silnie oscyluje wszędzie za wyjątkiem punktu stacjonarnej fazy, określonej

warunkiem :

∂/∂q1 [ W(q2, q1) + W(q1, q0) ] = - p1 (q2, q1) + p1(q1, q0) = 0 (6.7.19) w którym wykorzystaliśmy zaleŜności „tworzące” (6.6.5).

Warunek ten spełniony jest w tym przypadku jeśli punkt q1naleŜy do klasycznej drogi, łączącej punkty q2 i q0.

Oznaczmy ten punkt jako : q1= q1c. Następny krok dla przybliŜenia stacjonarnej fazy polega na obliczeniu amplitudy ( zobacz zastosowanie 6.1 ) :

A20 = { [ ∂2/∂q2∂q1W(q2, q1) ∂2/∂q1∂q0W(q1, q0) ] / [ -∂/ ∂q1( p1(q2 ,q1) - p1(q1 ,q0) ] }q1 =q1c (6.7.20) RóŜniczkując zaleŜność p1(q2 ,q1) - p1(q1 ,q0) = 0 względem q0 otrzymujemy zgodnie z zasadą róŜniczkowania funkcji złoŜonej :

-∂/ ∂q1[ p1(q2 ,q1) - p1(q1 ,q0) ] = [ ∂/∂q0 p1(q1 ,q0) ] / ( ∂q1/∂q0 ) = ∂2/∂q0∂q1W(q1, q0) / ( ∂q1/∂q0 ) stąd :

A20 = [ - ∂2/∂q2∂q1W(q2, q1) (∂q1/∂q0) ]q1 =q1c = [ - ∂2/∂q2∂q0W(q2, q0) (∂q1/∂q0) ]q1 =q1c (6.7.21) Wykorzystaliśmy tutaj klasyczną zasadę, opartą na addytywności działania wzdłuŜ drogi klasycznej :

W( q2 , q1c ) + W( q1c , q0 ) = W( q2 , q0 ) (6.7.22)

Wykorzystując otrzymane wyniki, moŜemy znaleźć quasi-klasyczne przybliŜenie dla (6.7.18) :

< q2 | U^ | q0 > = (i/2πħ)1/2 [ ∂2/∂q2∂q0W(q2, q0) ]1/2 exp [ iW(q2, q0) / ħ ] (6.7.23) gdzie : W(q2, q0) – klasyczne działanie wzdłuŜ ( klasycznej) drogi od q0 do q2.

Powtórne zastosowanie metody stacjonarnej fazy do (6.7.17) daje quasi-klasyczne przybliŜenie dla propagatora n-krokowego :

< qn | U^ | q0 > = (i/2πħ)1/2 [ ∂2/∂qn∂q0W(qn, q0) ]1/2 exp [ iW(qn, q0) / ħ ] (6.7.24) Przy tym zakładamy, Ŝe droga klasyczna nie przechodzi przez kaustyki tj. Ŝe nie występują uzupełniające mnoŜniki fazowe.

6.7.d Obliczenie śladu propagatora.

W celu omówienia zagadnień związanych z obliczeniem śladu propagatora, wygodnie jest wprowadzić następujące oznaczenie :

K(qn, q0, τ ) ≡ < qn | U^ | q0 > (6.7.25)

Gdzie : τ = nT – czas ewolucji od q0 do q0 . Ślad określony następująco :

Tr (K) =

∫

dq K(q, q, τ ) (6.7.26)

Składa się z wkładów róŜnych dróg, które rozpoczynają się i kończą w jednym i tym samym punkcie. RozróŜnić moŜemy dwa typy takich wkładów :

1) droga o zerowej długości q= q przy τ = 0

2) droga o długości „n-kroków” q = qn , q = q0 przy τ = nT Nietrywialny wkład do śladu daje tylko droga drugiego typu.

W dalszej kolejności musimy wykorzystać quasi-klasyczne wyraŜenie dla K (6.7.24) i obliczyć :

Tr(K) = (i/2πħ)1/2

∫

_{dq [ ∂2/∂}_qn_∂q0W(qn, q0) ]1/2 exp [ iW(qn, q0) / ħ ] (6.7.27) Przy czym zrozumiałe jest, Ŝe : qn = q0 = q.

Dalej ponownie wykorzystamy metodę stacjonarnej fazy, punkty stacjonarności fazy określone są przez te drogi, które spełniają warunek :

[ ∂/∂qnW(qn, q0) + ∂/∂q0 W(qn, q0) ]qn = q0 = 0 = [ pn(qn, q0) – p0(qn, q0) ]qn = q0 = 0 = pn(q , q) – p0(q, q) (6.7.28) Drogi te odpowiadają „zamkniętym trajektorią” układu, co wynika z tego, Ŝe zaczynają się i kończą w jednym punkcie zarówno w q-przestrzeni ( zgodnie z (6.7.28) ) jak i p-przestrzeni. Obliczenia są moŜliwe przy warunku, Ŝe kaŜda zamknięta jest izolowana ( do tego warunku powrócimy później .

Obliczenie amplitudy jest dalece nietrywialne. Ma ona bowiem postać : { [ ∂2/∂qn∂q0W(qn, q0) ] / [ ∂2/∂qn2

W(qn, q0) + 2∂2/∂qn∂q0W(qn, q0) + ∂2/∂q02

W(qn, q0) ] }qn = q0 = q i jak moŜe być pokazane [42] jest ona wprost proporcjonalna do ( określonego w podrozdziale 4.6 ) residuum R trajektorii. W wyniku tego stwierdzamy, Ŝe wkład kaŜdej zamkniętej trajektorii do Tr(K) określony jest zaleŜnością : Tr(K) = ½ (1/ √ R) exp [ iW- (τ) / ħ ] (6.7.29) Gdzie W-(τ) - oznacza działanie wzdłuŜ zamkniętej trajektorii.

Zamknięte trajektorię dzielą się na trzy kategorię :

1) 0 < R < 1 – trajektorie stabilne, na płaszczyźnie fazowej odwzorowania przejawiają się w postaci punktów stałych eliptycznych. Residuum moŜemy przedstawić w postaci :

R = sin2 ( ν/2) (6.7.30)

Gdzie : ν – tzw. „kąt stabilności”

2) R < 0 – trajektorie niestabilne, którym odpowiadają punkty stałe hiperboliczne. W tym przypadku : ν = iu oraz :

R = sh2 ( u/2) (6.7.31)

3) R > 1 – trajektorie równieŜ są niestabilne, jednak w tym wypadku odpowiadają im punkty stałe hiperboliczne z odbiciem. Mamy teraz : ν = π + iu oraz :

R = ch2 ( u/2) (6.7.32)

Powracając do otrzymanej metodą stacjonarnej fazy, zaleŜności (6.7.29) naleŜy uwzględnić jeszcze wkład od powtórnych przejść kaŜdej trajektorii. Dlatego końcowy wynik dla zadanej stabilnej trajektorii ma postać : ∞

Tr(K) =

ΣΣΣΣ

[ 1 / sin ( Nν/2) ] exp [ iW- (τ) / ħ ] (6.7.33) N=1

Gdzie : N – odpowiada liczbie powtórnych przejść trajektorii, czynnik ½ w (6.7.29) znika na skutek tego, Ŝe uwzględniane są wkłady przejść zarówno „na wprost” jak i „z powrotem”. Wynik odpowiadający punktom stałym hiperbolicznym ma postać :

W kaŜdej z tych trzech powyŜszych zaleŜności wykładnik W- (τ) odpowiada działaniu wzdłuŜ jednego pęku danej trajektorii.

W przypadku trajektorii stabilnych istotnym brakiem zaleŜności (6.7.33) jest jej rozbieŜność przy wszystkich wartościach Nν/2 będących krotnościami π. Wywołana jest ona pojawieniem się kaustyk w propagatorze klasycznym które nie pozwalają zastosować metody stacjonarnej fazy w celu obliczenia (6.7.29). W przypadku wyraŜenia (6.7.34) odpowiadającego trajektoriom hiperbolicznym, takŜe pojawiają się problemy rozbieŜności – jednak tylko przy wartości u = 0, co w praktyce zdarza się rzadko. Rozwiązanie tego problemu nie jest proste i w celu pozbycia się tych

rozbieŜności stosowane są róŜnorakie przybliŜenia „pierwszego rzędu” dla (6.7.33) i (6.7.34). W ostateczności cel moŜe

być osiągnięty kosztem zmiany przybliŜeń stacjonarnej fazy ( mamy na myli przybliŜenia jednorodne ), które pozwalają uwzględnić łączenie się punktów stacjonarności.

Podsumowując otrzymane wyniki, dochodzimy do quasi-klasycznego przedstawienia gęstości stanów (6.7.14) w pojęciach wkładów zamkniętych trajektorii. Ostatecznie otrzymujemy :

ρ(E) = ρ0 +

ΣΣΣΣ

_{[ pj}^{I (E) + p}_jII (E) + pj III (E) ] (6.7.36) j

gdzie : ρ0 – średnia gęstość stanów, ρ0 = T/2πħ ( jest to wkład dróg o zerowej długości ), suma po j oznacza sumowanie topologicznie róŜnych trajektorii.

Trzy składniki sumy (6.7.36) odpowiadają wkładom trajektorii odnoszących się do trzech róŜnych typów stabilności : ∞

Z praktycznego punktu widzenie kwantowanie za pomocą metody zamkniętych trajektorii nie jest najwygodniejsze, poniewaŜ musimy przy tym obliczać wszystkie zamknięte trajektorie oraz ich własności, co nawet dla prostych odwzorowań, nie mówiąc juŜ o hamiltonianach ogólnej postaci o dwóch lub więcej stopniach swobody - jest skomplikowanym zadaniem. Mimo tych trudności metoda ta pozwala zrozumieć „klasteryzacje” poziomów

energetycznych, co jest jej waŜną cechą. KaŜda zamknięta trajektoria wnosi do ρ(E) oscylujący wkład „długość fali”

którego ∆E określona jest w przestrzeni energetycznej zaleŜnością : ∆E (dW- /dE ) = 2πħ, gdzie W- - jest całkowitym działaniem wzdłuŜ trajektorii. (Wielkość ta zawiera moŜliwości powtórnych przejść danej trajektorii).

PoniewaŜ (dW- /dE ) przedstawia nic innego jak okres trajektorii T(E), widać, Ŝe ∆E = 2πħ/ T(E).

Zatem oscylujący wkład do ρ(E) kaŜdej zamkniętej trajektorii ma rząd O(ħ), co istotnie przewyŜsza ( w przypadku układu o więcej niŜ jednym stopniu swobody ) średnią odległość między liniami energetycznymi, mającymi rząd wielkości O(ħN).

MoŜemy to lepiej zrozumieć, rozpatrując „wygładzoną gęstość stanów”. Określona jest ona jako gęstość stanów, otrzymywana przy wygładzaniu ρ(E) (6.7.2) z pomocą ciągłej funkcji wagowej, tak jak powinno być- lorentzowskiego typu :

∞

ργ (E) =

∫

dE’ ρ(E’)(γ/π)[ 1 / ( E – E’)2 + γ2 ] (6.7.40) -∞

gdzie : γ – szerokość wygładzania.

Szerokość ta odpowiada dodaniu urojonej części iγ do energii w wyraŜeniu (6.7.5), poniewaŜ :

ργ (E) = - (1/π) Im

ΣΣΣΣ

[ 1/ ( E – En + iγ) ] = (γ/π)

ΣΣΣΣ

[ 1 / ( E – En )2 + γ2 ] (6.7.41) n n

Zatem, kaŜda z δ-funkcji w wyraŜeniu dla ρ(E) zamienia się w lorentzowski pik w wyraŜeniu dla ργ (E). Wraz ze wzrostem γ, rozkład Lorentza jest gubiony i w pewnym momencie ( który obliczamy za pomocą ργ (E) ) pokazują się tylko pewne klastry linii energetycznych w ρ(E). Łatwo jest zauwaŜyć związek z reprezentacją ρ(E) poprzez ujęcie w terminach zamkniętych trajektorii, określony jest on, Ŝe z dokładnością do członów pierwszego rzędu wynik dodania urojonej części do energii w czynniku fazowym, wyraŜony jest zaleŜnością :

W- ( E + iγ) ≅ W-(E) + iγ(dW- /dE ) = W- (E ) + iγT(E) (6.7.42)

Zatem, wkład kaŜdej z zamkniętych trajektorii do ργ (E) zmniejsza się przy danym γ o wielkość proporcjonalną do okresu danej trajektorii. Trajektoria taka lub jej powtórne przejścia wnoszą tylko wykładniczo mały wkład do ργ (E).

Stąd wynika, Ŝe niewiele periodycznych trajektorii moŜe dać przybliŜone przedstawienie ρ(E), przy tym oscylacje w ργ (E) odpowiadają róŜnym klastrom linii energetycznych.

W przeciwieństwie do tego, funkcja spektralnej sztywności ( omówiona w podrozdziale 6.4.e ), charakteryzująca wielkoskalowe korelacje w spektrum energetycznym, określona jest głównie, jak pokazała quasi-klasyczna analiza, przez najdłuŜsze zamknięte trajektorie układu.

Sformułowana metoda zamkniętych trajektorii odnosi się do układów niecałkowalnych, poniewaŜ zakładamy w nich, Ŝe wszystkie trajektorie zamknięte są izolowane. W przypadku układów całkowalnych warunek ten nie jest spełniony i trajektorie obrazują jednoparametryczne zbiory leŜące na torusie. Spektrum, w tym przypadku moŜna przedstawić równieŜ w ujęciu „trajektorii zamkniętych” wykorzystując podejście rozwinięte w pracach [39, 40].

W dokumencie Chaos i całkowalność w dynamice nieliniowej M. Tabor (Stron 160-165)