Przekształcenia kanoniczne - Dynamika układów hamiltonowskich

Dynamika układów hamiltonowskich

2.3 Przekształcenia kanoniczne

Przy opisie Lagrange’a układu dynamicznego ( tj. z uŜyciem pojęć współrzędnych uogólnionych i prędkości (qi ,q• i ) ) W pewnych przypadkach wygodnie jest przejść do pewnego nowego zbioru współrzędnych uogólnionych :

Qi = Qi ( q1, .. , qn ) (2.3.1)

To wielokrotnie pozwala uprościć całkowanie równań ruchu ( jak przykład moŜe słuŜyć przejście od współrzędnych kartezjańskich do współrzędnych sferycznych )

W formalizmie Hamiltona mamy dwa zbiory zmiennych niezaleŜnych pi ,qi ; i = 1, ... n , które jak juŜ mówiłem są równouprawnione. Zatem, wynika konieczność rozpatrzenia moŜliwości przejścia od jednego zbioru zmiennych fazowych ( pi ,qi ) do drugiego ( Pi ,Qi ) tj. :

Pi = Pi ( q1, … ,qn , p1, … , pn ) (2.3.2)

Qi = Qi ( q1, … ,qn , p1, … , pn ) (2.3.2)

Podkreślmy, ze kaŜda z nowych współrzędnych Pi i Qi moŜe , w ogólnym przypadku zaleŜeć od wszystkich pi i qi.

Przekształcenia, które pozwalają wyrazić nowe Pi tylko przez stare pi , a nowe Qi – tylko przez stare qi ( tak jak w równaniu (2.3.1) ), nazywają się „przekształceniami punktowymi”. Przekształcenia postaci (2.3.2) nie naruszające struktury symplektycznej układu nazywamy „przekształceniami kanonicznymi”. Mówiąc niezbyt ściśle ( ściślejsza , geometryczna interpretacja zostanie podana później ) to oznacza, Ŝe kanoniczna forma równań Hamiltona pozostaje niezmieniona tj. :

Fundamentalną własnością przekształceń kanonicznych jest zachowanie objętości fazowej (* W rzeczywistości objętość fazowa wchodzi do całej hierarchii wielkości zachowujących się pod działaniem przekształcenia kanonicznego , a które ogólnie nazywamy inwariantami Poincarego. Pierwszy z takich inwariantów :

n n

∫ ∫ ΣΣΣΣ

dpi dqi =

∫ ∫ ΣΣΣΣ

dPi dQi i=1 i=1

przedstawia sobą sumę powierzchni rzutów ( obszaru przestrzeni fazowej )na zbiór (pi , qi ) płaszczyzn. W języku geometrycznym wyraŜamy to zazwyczaj uŜywając pojęcia „2-formy róŜniczkowej” :

n n

ΣΣΣΣ

dpi ∧ dqi =

ΣΣΣΣ

dPi ∧ dQi

i=1 i=1

gdzie ∧ oznacza tzw. Iloczyn zewnętrzny. Takie podejście pozwala ściśle geometrycznie określić przekształcenia kanoniczne. Wszystkie pozostałe inwarianty, włączając (2.3.4) mogą być otrzymane właśnie w taki sposób ( zobacz zastosowanie 2.2) – przypis autora *)

gdzie całkowanie wykonujemy względem zadanej 2n-wymiarowej objętości w przestrzeni fazowej. Całki te związane są między sobą za pośrednictwem jakobianu :

n n

∫ Π Π Π Π

dPi dQi = =

∫

_{[ ∂} (P1, ... , Pn , Q1, ... ,Qn ) / ∂ ( p1, ... , pn , q1, ... ,qn ) ]

Π Π Π Π

dpi dqi (2.3.5) i=1 i=1

Z czego wynika, ze jakobian przekształcenia zachowującego objętość powinien być równy jeden :

∂ (P1, ... , Pn , Q1, ... ,Qn )/ ∂( p1, ... , pn , q1, ... ,qn ) = ∂(p1, ... , pn , q1, ... ,qn )/ ∂( P1, ... , Pn , Q1, ... ,Qn ) = 1 (2.3.6)

Skąd wynika, Ŝe przekształcenie (2.3.7) zachowuje objętość ( jest kanoniczne ). Przekształcenie to ilustruje stopień równowaŜności zmiennych p i q – moŜna je zamienić miejscami jednak przy tej zamianie naleŜy zmienić znak.

Podkreślmy, Ŝe bez zmiany znaku ( tj. jeśli Q = p i P =q ) jakobian będzie równy –1. W rzeczy samej konieczność zmiany znaku nie powinna dziwić, poniewaŜ jest ona konieczna dla zachowania formy równań Hamiltona (2.3.3), kiedy P i Q zmieniają się miejscami.

Przykładem przekształcenia nie kanonicznego jest przejście od współrzędnych biegunowych do kartezjańskich :

q = P cos (Q) ; p = P sin(Q) (2.3.9)

PoniewaŜ :

∂(q, p) / ∂(Q, P) = | -Psin(Q) , P cos(Q) | = - P (2.3.10) | cos(Q) , sin(Q) |

to objętość fazowa nie jest zachowana.

Twierdzenie Liouville’a mówi, Ŝe objętość fazowa w potoku hamiltonowskim jest zachowana, otrzymaliśmy je w rozdziale 2.2.b jako oczywisty praktyczny warunek nieściśliwości, który wynika z formy równań Hamiltona. W języku przekształceń kanonicznych moŜemy sformułować to twierdzenie w następujący sposób.

Rozpatrzmy w przestrzeni fazowej pewną trajektorie, wzdłuŜ której wartości początkowe p0, q0 – odpowiadające chwili początkowej t0, zmieniają się w ( krótkim) odcinku czasu δt do wartości p1, q1 :

q1 = q( t0 + δt ) = q0 + δt (∂q/dt) | t = t0 + O (δt2 ) = q0 + δt (∂/dp0) H (q0, p0, t0 ) + O (δt2 ) p1 = p( t0 + δt ) = p0 + δt (∂p/dt) | t = t0 + O (δt2 ) = p0 + δt (∂/dq0) H (q0, p0, t0 ) + O (δt2 )

Jeśli przejście od q0, p0 do q1, p1 przedstawia sobą w rzeczywistości przekształcenie kanoniczne jednego zbioru zmiennych w drugi, to jakobian ∂( q1, p1) / ∂(q0, p0) powinien być równy jeden. Obliczmy go zatem :

) , 1 - δt ( ∂2H/∂ q0∂p0 ) |

ZauwaŜmy, Ŝe zeruje się człon O (δt2 ), a nie O (δt ). Z tego, Ŝe rozpatrywana zmiana jest proporcjonalna do O (δt2 ) , wynika, Ŝe ogólna zmian powierzchni za dowolny skończony odcinek czasu ( krotność δt ) zachowuje się jak O (δt ), tj.

zeruje się w granicy δt → 0. Zatem „infinitezymalne przekształcenie” wynikłe z samego hamiltonianu, jest kanoniczne.

Fazowa objętość w zmiennych p0, q0 jest zachowana przy przejściu ( w potoku hamiltonowskim ) do „nowych”

zmiennych p1, q1 – co właśnie jest istota twierdzenia Liouville’a.

2.3.b Przekształcenie optymalne.

Praktyczne wykorzystanie przekształceń kanonicznych ( oprócz tego, Ŝe same one posiadają nadzwyczaj finezyjną strukturę ), polega na wyszukaniu tych z nich, które pozwalają w sposób maksymalny uprościć całkowanie równania Hamiltona. Optymalnym jest przypadek, kiedy wszystkie Qi są cykliczne ; przy tym przekształcenia Hamiltona zaleŜne są tylko od nowych pędów Pi :

H( p1, ... ,pn , q1, ... ,qn ) → H’( P1, ... , Pn ) (2.3.11)

Równanie Hamiltona przy tym przybiera szczególnie prostą postać , poniewaŜ :

P•

i = ∂H’ /∂Qi = 0 tj. Pi = const ; i = 1, ..., n (2.3.12a) Q•

i = ∂H’ /∂Pi = fi ( P1 , .. , Pn ) (2.3.12b) Gdzie fi – pewna nie zaleŜna od czasu funkcja zmiennych Pi. Równanie dla Qi moŜe być w takim przypadku scałkowane bezpośrednio :

Qi = fi t + δi ; i = 1, ... ,n

(2.3.12c)

Gdzie δi = Qi (0) – zbiór dowolnych stałych, określanych przez warunki początkowe.

Jest jasne, Ŝe nowe „pędy” Pi są całkami ruchu. Dlatego, jeśli moŜemy je uzyskać to tym samym moŜemy w sposób całkowity scałkować dane równania ruchu. Wielkości Pi i δi razem stanowią zbiór 2n całek; n wielkości Pi przedstawia nietrywialne stałe ruchu ( lub całki pierwsze ), pozwalające „zrealizować” całkowanie, a n wielkości δi – są to trywialne stałe całkowania, pozwalające „wykonać” całkowanie. ( W razie konieczności otrzymane rozwiązanie moŜna , w skrajnym przypadku, w zasadzie wyrazić ponownie wykorzystując stare zmienne pi , qi ). W tym celu powinniśmy umieć : (1) odzyskać te nowe zmienne i (2) prawidłowo przekształcić hamiltonian do nowej postaci.

2.3.c Funkcje tworzące.

Przekształcenia kanoniczne generowane są za pomocą tzw. „funkcji tworzących” (* WaŜne jest podkreślenie, Ŝe funkcje tworzące nie są formalizmem łatwym, jak mogłoby się wydawać przy pierwszym zapoznaniu. Są one nadzwyczaj poŜyteczne, poniewaŜ pozwalają znajdować jednocześnie zarówno nowe zmienne kanoniczne P , Q jak i zaleŜności łączące je ze starymi zmiennymi p, q. W rezultacie czego osiągamy dwa cele za jednym zamachem. Jeśli chcielibyśmy się obejść bez funkcji tworzących, rozpoczynając od pewnych zaleŜności Q = Q(q, p) to stracilibyśmy wiele

niepotrzebnego wysiłku w celu znalezienia zmiennych kanonicznych P = P(q, p) – przypis autora *)

Jeden ze sposobów wprowadzenia funkcji tworzących polega na wykorzystaniu zasady wariacyjnej. ChociaŜ sposób ten jest dosyć elegancki prościej jest dla zagadnień nie zaleŜnych od czasu wprowadzić to pojęcie w prostszy sposób, wykorzystując zasadę zachowania objętości fazowej. ( Wykorzystamy tu podejście [6] ).

Na początek będziemy zakładali, Ŝe układ posiada jeden stopień swobody i dany zbiór zmiennych kanonicznych (p, q) i (P, Q). W takim przypadku uwzględniając twierdzenie o zachowaniu objętości przestrzeni fazowej :

∫ ∫

_{dp dq =}

∫ ∫

_{dP dQ} (2.3.13)

R R

Gdzie całkowanie prowadzimy względem pewnego zamkniętego obszaru R. Zgodnie z twierdzeniem Stokesa moŜemy przejść od całki podwójnej do całki po konturze K, zawierającym w sobie R :

∮

p dq =

∮

P dQ (2.3.14)

K K

Teraz załoŜymy, Ŝe P i Q przedstawiają sobą pewne funkcje zmiennych p, q ( tj. P =P(q, p) , Q = Q(q, p) ) nic jednak nie zabrania nam przedstawić te zaleŜności w formie mieszanej tj. P =P(Q, p) , p = p(Q, p) gdzie teraz zmiennymi

niezaleŜnymi są Q, q. To pozwala nam przedstawić (2.3.14) w postaci :

∮

[ p(Q, q) dq – P(Q, q) dQ ] = 0 (2.3.15) K

Z czego wynika, ze wyraŜenie podcałkowe powinno być róŜniczką zupełną pewnej funkcji – oznaczmy ją F1 (Q, q).

MoŜna zatem napisać :

Równanie (2.3.17a) daje zaleŜność między p i (q, Q), którą naleŜy obrócić

( co jest moŜliwe przy warunku ∂2F1/∂q∂Q ≠ 0 ), aby otrzymać zaleŜność Q = Q(q, p ).

Podstawienie jej do (2.3.17b) daje drugą z wymaganych zaleŜności P = P(q, p).

W powyŜszym przykładzie w charakterze zmiennych niezaleŜnych wybraliśmy parę ( q, Q) oczywiste jest, ze moŜliwe jest inny wybór zmiennych np. (P, q), (Q, p), (P, p) mieszający oba zbiory zmiennych.

Rozpatrzmy pierwszy z nich tj. kombinację (P, q). Aby otrzymać wymagany rezultat, zapiszemy następująca toŜsamość :

∮

d (pQ ) =

∮

p dQ +

∮

Q dp (2.3.18) podstawiając ją do (2.3.15) oraz wprowadzając nową róŜniczkę dF2 (Q, q), otrzymamy : analogicznie do (2.3.16) :

∮

[ p dq – Q dp ] =

∮

dF2 (P, q) =

∮

_{[ (dF2 /}∂P ) dP + (dF2 /∂q ) dq ] (2.3.19) K K K

Z czego wynika para zaleŜności :

p = ∂/∂q F2 (P, q) (2.3.20a)

Q = - ∂/∂P F2 (P, q) (2.3.20b)

Jednym z prostszych przykładów funkcji tworzącej F2 jest funkcja o postaci : F2 (P, q ) = Pq, która jak wynika bezpośrednio z (2.3.20) prowadzi do przekształceń toŜsamościowych :

p = ∂F2 /∂q = P ; Q = ∂F2 /∂O = q (2.3.21) Z wyłoŜonego powyŜej tematu wynika jasno, Ŝe istnieją jeszcze dwie funkcje tworzące : F3 (Q, p) i F4 (P, p). Dla naszych celów największe znaczenie ma funkcja F2. Omówienie ogólnych własności i zaleŜności między

Fi , i = 1, .. ,n moŜna znaleźć w dowolnym podręczniku do mechaniki.

Jeśli przekształcenie kanoniczne nie zaleŜy od czasu, to przejście do „starego” hamiltonianu H(p, q) do „nowego”

hamiltonianu H’ (P, Q) przedstawia sobą bezpośrednią zamianę zmiennych :

H’ = H’( P, Q) = H( p (P, Q), q(P, Q ) ) (2.3.22)

Wykorzystując prawo róŜniczkowania funkcji złoŜonych oraz własność jakobianu ∂(P, Q)/∂(p, q) = 1, nie trudno otrzymać , Ŝe :

Q• = ∂H’ /∂P = ∂H/∂P (2.3.23) P• =- ∂H’ /∂Q = - ∂H/∂Q (2.3.24) Dokładny wywód pierwszej z tych zaleŜności ma postać następującą :

∂H/∂P = Q• = (∂Q/∂q) q• + (∂Q/∂p) p• = (∂Q/∂q)(∂H/∂p) – (∂Q/∂p)(∂H/∂q) =

= (∂Q/∂q)[ (∂H/∂Q)(∂Q/∂p)+ (∂H/∂P)(∂P/∂p) ] - (∂Q/∂p) [ (∂H/∂Q)(∂Q/∂q) + (∂H/∂P)(∂P/∂q) ] =

= (∂H/∂P) [ (∂Q/∂q)(∂P/∂p) - (∂Q/∂p) (∂P/∂q) ] = ∂H/∂P

gdzie w drugim wierszu wykorzystano zasadę róŜniczkowania funkcji złoŜonej, a w trzecim – podaną własność jakobianu. Równanie (2.3.24) otrzymujemy w analogiczny sposób .

W przypadku przekształceń zaleŜnych od czasu ( kiedy przykładowo F2 = F2 (P, q, t ), hamiltonian przekształca się nie tak prosto jak wcześniej. ChociaŜ wymagane przekształcenie moŜe być otrzymane za pomocą metod wykorzystywanych w tym punkcie, bardziej dogodnym jest sposób oparty na zasadzie wariacyjnej. Idea tego sposobu polega na tym , aby ( formalnie) rozpatrzyć zasadę Hamiltona w przestrzeni fazowej tj. zapisać całkę działania z uŜyciem hamiltonianu i zaŜądać aby ( zobacz ( 2.1.2) ) :

∫

( p q• - H(p,q, t) ) dt = 0 (2.3.25) t1

( Przy tym juŜ na początku pojawia się kilka niuansów. Przykładowo – naturalnym wymaganiem przy wariowaniu (2.1.2) jest zerowanie się wkładu punktów końcowych w przestrzeni konfiguracyjnej ( tj. δ q(t1) i δq(t2) ).

W przypadku (2.3.25) naleŜy rozpatrzy równieŜ w jaki sposób postąpi z wariacjami w punktach końcowych ; okazuje się bowiem , Ŝe zaleŜność (2.3.25) moŜe by wykorzystana w celu wyprowadzenia równań Hamiltona bez uściślenia tych warunków. Dokładnie te niuanse omawiane są w podręczniku Goldsteina [3] ).

Dla naszych celów wykorzystamy zaleŜność : q•dt = dq i przedstawimy (2.3.25) w postaci : t2

∫

( p dq - H(p,q, t) ) dt = 0 (2.3.26) t1

Zasada ta powinna by spełniona równieŜ dla drugiej pary zmiennych kanonicznych ( P, Q), co pozwala napisać : (* Wielkość „pdq – H dt” znana jest jako inwariant Poincarego-Cartana. Z geometrycznego punktu widzenia

przedstawia przykład „1-formy róŜniczkowej”. Taka 1-forma jest inwariantna względem przekształceń kanonicznych – przypis autora *)

∫

( P dQ – H’(P,Q, t) ) dt = 0 (2.3.27) t1

Te dwie całki mogą róŜnić się tylko o róŜniczkę zupełną pewnej funkcji zmiennych kanonicznych oraz czasu t ( co zapewnia zerowanie się wkładu punktów końcowych w przestrzeniach, odpowiednio (p, q) i (P, Q) ).

Oznaczając ta pochodną zupełną przez dF, moŜemy zapisać :

p dq – H dt = P dQ – H’ dt + dF (2.3.28) Skąd łatwo zauwaŜyć, Ŝe :

H’(P, Q, t) = H(p,q, t) + ∂F/∂t (2.3.29) Jeśli określimy F jako funkcję tworzącą, to otrzymamy szukaną zasadę dla przekształcenia hamiltonianów zaleŜnych od czasu.

Kończąc ten punkt, rozpatrzymy w charakterze F funkcję q, Q tj. pierwszy typ funkcji tworzącej F = F1( Q, q, t). W tym przypadku z (2.3.28) w oczywisty sposób wynikają, oprócz (2.3.29) zaleŜności :

p = ∂/∂q F1( Q, q, t) (2.3.30a)

P= - ∂/∂Q F1( Q, q, t) (2.3.30b)

JeŜeli w charakterze F wybierzemy funkcje drugiego typu ( tj. funkcję ( P, q, t) ), to (2.3.28) przepisujemy do postaci :

d( F + PQ ) = p dq + Q dP + ( H’ – H ) dt (2.3.31)

( zakładając : F + PQ ≡ F2( P, q, t), gdzie Q jest przedstawiona jako funkcja P, q, t ), znajdujemy :

p = ∂/∂q F2( P, q, t)

(2.3.32a)

Q = ∂/∂P F2( P, q, t) (2.3.32b)

Jak równieŜ zaleŜność (2.3.29). Analogiczne rachunki zastosowane dla wszystkich czterech typów funkcji tworzących prowadza do ogólnego wyniku :

H’ (P, Q, t) = H(p, q, t) + ∂Fi/∂t , i= 1,2,3 .... (2.3.33)

W następnym rozdziale pokaŜemy, w jaki sposób wprowadzony formalizm kanoniczny moŜe być wykorzystany w celu całkowania w sposób jawny waŜnej klasy układów hamiltonowskich.

W dokumencie Chaos i całkowalność w dynamice nieliniowej M. Tabor (Stron 37-41)