Pole przekroju

W poprzednich rozdziałach dosyć duŜo mówiliśmy o ewolucji trajektorii w ( wielowymiarowej ) przestrzeni fazowej.

Przy tym, jeśli nie uwzględniać omówionych w rozdziale pierwszym rysunków, przedstawiających płaszczyznę fazową układu z jednym stopniem swobody, praktycznie niczego nie mówiliśmy o tym w jaki sposób moŜemy przedstawić poglądowo. Jest zrozumiałe, Ŝe podstawowe trudności związane są wymiarem układu. Dla układów dwu wymiarowych ( hamiltonowskich ) przestrzeń fazowa jest czterowymiarowa i w przypadku zachowawczym powierzchnia energetyczna jest trójwymiarowa.

Śledzenie ruchu, nawet w przypadku takiej trójwymiarowej powierzchni jest trudne – zwłaszcza kiedy mamy do dyspozycji dwu wymiarową kartkę papieru na której chcemy go narysować.

Z rozwiązaniem tego problemu związana jest bardzo cenna metoda , znana jako metoda „przekrojów Poincarego” [9]

Jest ona bardzo uŜyteczna zwłaszcza dla zachowawczych układów hamiltonowskich o dwóch stopniach swobody – chociaŜ stosowana by moŜe dla układów o większej liczbie stopni swobody. Z punktu widzenia rozwijanej teorii dynamiki nieliniowej, metoda ta przedstawia nic innego jak jedna z pierwszych – do tej pory nie tracąca swojego znaczenia – metod numerycznych analizy powierzchni przekroju dla niecałkowalnych hamiltonianów, które zaczęły pojawiać się prawie jednocześnie z twierdzeniem KAM. Taka komputerowa analiza odegrała waŜną rolę zarówno w rozszerzeniu bazy teoretycznej omawianych problemów jak i przyspieszyła proces ich rozwiązywania.

4.1.a Powierzchnie przekroju dla hamiltonianów o dwóch stopniach swobody.

Rozpatrzmy hamiltonian układu zachowawczego o dwóch stopniach swobody :

E = H = (1/2m) ( px2 + py2 ) + V(x, y) (4.1.1) Badanie ruchu trajektorii tego układu moŜe być sprowadzone do zagadnienia dwu wymiarowego w następujący sposób.

Bierzemy na danej powierzchni energetycznej „cięcie” przestrzeni fazowej, odpowiadające pewnemu zadanemu punktowi np. y =0.

Dalej, podąŜamy wzdłuŜ określonej trajektorii ( otrzymanej przez całkowanie numeryczne równania Hamiltona ) notując wartości : px i x za kaŜdym razem kiedy przechodzi przez punkt y = 0. Jeśli potencjał V(x, y) zadaje ograniczony ruch, trajektoria co raz będzie przechodziła przez wybrane „cięcie” przestrzeni fazowej. Zatem , jak pokazuje rysunek 4.1 moŜemy zbudować „odwzorowanie” składające się z kolejnych wartości ( px , x). Przedstawia ono powierzchnię przecięcia, punkt na tej powierzchni określa stan układu z dokładnością do znaku.

Rys. 4.1 Budowa powierzchni przekroju Poincarego.

Wynika to z tego, Ŝe przy danym E i y mamy :

py = ± sqrt { 2m [ E – (1/2m) px2 - V(x, 0)] } (4.1.2)

Zwykle powierzchnię przekroju budujemy w ten sposób aby py miało jednoznacznie określony znak np. py > 0 JeŜeli warunki początkowe dla danej trajektorii tj. zbiór wartości px , x , E, y = 0, oznaczymy na powierzchni przekroju jako punkt X0 to kolejne przekroje X1, ... , Xn obrazują pewne „odwzorowanie” ruchu w przestrzeni fazowej.

Jest to waŜne pojęcie, które omówimy dokładniej nieco później. Teraz zauwaŜymy tylko odcinki czasu między kolejnymi przekrojami X1, ... , Xn nie koniecznie muszą by równe. JeŜeli warunki początkowe zostaną wybrane w ten sposób aby odpowiednia trajektoria leŜała na torusie, to zbiór kolejnych punktów X1, ... , Xn będzie leŜał na pewnej krzywej gładkiej, określonej przez cięcie tego torusa płaszczyzną przekroju. ( zobacz rysunek 4.2 )

Rys. 4.2 Kolejne cięcia trajektorii na torusie przez powierzchnie przekroju Poincarego.

JeŜeli stosunek częstości ω1/ ω2 na wybranym torusie jest niewymierny, trajektoria jak wiemy pokrywa go w sposób ergodyczny. Na powierzchni przekroju przejawia się to w tym, Ŝe kolejne punkty Xi będą układały się w krzywą gładką.

Z drugiej strony przy wymiernym stosunku częstości trajektoria będzie krzywą zamkniętą i liczba punktów Xi będzie skończona ( i = 1, 2, ... , n )przy czym : X0 = Xn n w tym przypadku określone jest przez stopień wymierności stosunku ω1/ ω2.

W poprzednim rozdziale mówiliśmy, Ŝe zgodnie z twierdzeniem KAM większość torusów w przypadku słabo zaburzanego hamiltonianu całkowalnego zostaje zachowana. O pozostałych torusach mówiliśmy, Ŝe w pewnym sensie zostają one „rozruszane”. Pewne trajektorie mogą zatem swobodnie błądzić w szerszych obszarach przestrzeni fazowej , co na przekroju Poincarego przejawia się w postaci „pyłu” punktów, które wyglądają na przypadkowe i poprzez które nie moŜemy poprowadzić krzywej gładkiej. Trudno jest jednak obiektywnie ocenić, na oko stopień „przypadkowości rozkładu” , jedynie co to, obraz pojawiający się przy dostatecznie długim ruchu w sposób widoczny róŜni się od obrazu jakiejkolwiek krzywej gładkiej. MoŜna mieć jedynie nadzieję, Ŝe w końcu na przekroju pewne małe obszary pokryją się zupełnie punktami.

Mimo takich trudności istnieją pewne numeryczne testy ( numeryczny rozkład spektrum, wykładnik Lapunowa ), opisywane dokładniej w podrozdziale 4.5 , które pozwalają obiektywnie rozróŜnić trajektorie „regularne”, leŜące na krzywych gładkich przekroju oraz trajektorie „nieregularne” ( lub chaotyczne), które prowadzą do pojawienia się przypadkowości rozkładu punktów. We wszystkich przypadkach przekrój Poincarego jest niezwykle cennym narzędziem ,pozwalającym otrzymać bezpośrednio obraz ruchu w przestrzeni fazowej o złoŜonej strukturze dla układów

niecałkowalnych, oraz w przypadkach kiedy prowadzimy rachunki dla większej ilości warunków początkowych na jednej powierzchni energii.

4.1.b Hamiltonian Henona-Heilesa.

Jedną z bardziej znanych i częściej cytowanych prac dotyczących przekrojów Poincarego była praca napisana w latach 60-tych XX wieku przez Henona i Heilesa [13]. Jest ona przykładem jasności naukowego wyjaśniania i w której nie ma niczego niepotrzebnego.

Rozpatrzony w tej pracy hamiltonian ma postać :

H = ½ ( px2 + py2 + x2 + y2 ) + x2 y - 1/3 y3 (4.1.3) Był on wybrany w charakterze prostego modelu opisującego ruch gwiazdy w cylindrycznie symetrycznym,

grawitacyjnie gładkim potencjale. Hamiltonian ten moŜe równieŜ modelować parę nieliniowo oddziałujących układów molekularnych. Funkcja energii potencjalnej : V(x, y) = ½ ( px2 + py2 + x2 + y2 ) + x2 y - 1/3 y3 , przedstawiona schematycznie na rysunku 4.3 utrzymuje ruch związany aŜ do wartości energii : E = 1/6.

Rys. 4.3 Linie równej energii potencjalnej układu Henona-Heilesa. Po przekroczeniu zewnętrznego trójkątnego konturu ( E = 1/6 ), ruch staje się nieograniczony.

Przy małych przemieszczeniach ruch praktycznie jest liniowy wraz ze wzrostem energii ruch punku, który jest opisywany omawianym hamiltonianem sugestywnie demonstruje nieliniowość potencjału i wynikające z tego interesujące własności.

Na rysunku 4.4 przedstawiono przekroje dla E = 1/12, 1/8, 1/6 ( dla róŜnych wartości warunków początkowych ) Przy E = 1/12 ruch jest całkowalny i wszystkim warunkom początkowym odpowiadają trajektorie układające się w krzywe gładkie. Krzywa samoprzecinająca się na której przekroje ( punkty A, B, C na rys. 4.4a ) wydają się ( tylko wizualnie ) gładkimi – jest pewnym rodzajem separatysy, którą omówimy dokładniej później.

Przy E =1/8 przekrój zaczyna się zmieniać. Niektóre krzywe gładkie pozostają niezmienione, podczas gdy inne

„rozruszają „ się w róŜny sposób. Dla pewnej rodziny krzywych połoŜonych po prawej stronie rys. 44b pojawia się

„łańcuszek” złoŜony z pięciu „wysp”. Ten obraz buduje jedna trajektoria , która kolejno przenosi się od wysepki do wysepki. Z drugiej strony istniejąca przy E = 1/12 struktura z samoprzecięciami znika a na jej miejsce pojawiają się punkty rozłoŜone w sposób przypadkowy ( które są „produkowane” przez jedną trajektorię ), przez te punkty nie moŜna przeprowadzić Ŝadnej krzywej gładkiej. Przy E =1/6 znikają praktycznie wszystkie krzywe gładkie za wyjątkiem małych ich wysepek. Zbiór punktów które zapełniają większą część dostępnej powierzchni energii tworzony jest przez jedna trajektorię.

Rys. 4.4 Przekrój Poincarego układu Henona-Heilesa przy a) E = 1/12 , b) E = 1/8, c) E = 1/6. [4]

Pokazane rysunki dają jasny obraz tego w jaki sposób ruch, opisany niecałkowalnym hamiltonianem ( za wyjątkiem całki energii nie ma Ŝadnych innych całek pierwszych ) moŜe zmieniać się od całkowicie regularnego do całkowicie chaotycznego.

4.1.c Łańcuch Tody

Zanim opiszemy w detalach naturę przejścia od ruchu regularnego do chaotycznego, przytoczymy pewne interesujące wyniki badania innego rodzaju przekroju.

Zajmiemy się przedstawionym przez Forda i współpracowników trójcząsteczkowym łańcuchem Tody, który

reprezentuje trzy wykładniczo oddziałujące cząsteczki, rozłoŜone na pierścieniu. Dla tego zagadnienia hamiltonian ma postać :

H = ( p12 /2m1) + (p22 /2m2) + (p32 /2m3) + e-ν1 (q1- q3 ) + e-ν2 (q2- q1 ) + e- (q3- q2 )- 3 (4.1.4) i uwzględniając, Ŝe : p1 + p2 + p3 = 0 (* Z inwariantności hamiltonianu względem obrotu układu wynika :

P ≡ p1 + p2 + p3 = const. Bez utraty ogólności moŜemy załoŜyć P = 0, co odpowiada wyborowi obracającego się układu w którym moment całkowity jest równy zeru – przypis redaktora *) moŜe być sprowadzony ( proszę to sprawdzić ) do równowaŜnego, dwu wymiarowego wariantu :

H = ( px2 /2mx) + (py2 /2my) + (1/24) ( e2y + 2 sqrt(3)x + e2y – 2sqrt(3)x + e-4y ) – 1/8 (4.1.5) Przy małych przemieszczeniach ruch dla tego przypadku będzie praktycznie liniowy; jeŜeli przy rozkładzie wykładnika w szereg ograniczymy się do wyrazów trzeciego rzędu człon energii potencjalnej będzie taki sam jak w układzie

Henona-Heilesa (* Systematyczne badania kolejnych przekrojów dla łańcucha Tody przedstawia praca [11] – przypis autora *). Jednak w odróŜnieniu od poprzedniego przypadku, ruch jest ograniczony dla wszystkich wartości energii układu. W przypadku równych mas : mx = my moŜna pokazać, Ŝe przekrój Poincarego zawiera tylko krzywe gładkie przy E =1, E =256 i E =56000 (włącznie). W tej granicy nie zaobserwowano absolutnie Ŝadnych oznak chaosu, wyniki te są silnym dowodem tego, Ŝe układ (4.1.5) jest w istocie całkowalny. Zainspirowany tymi numerycznymi

eksperymentami , Henon [14] znalazł inną całkę pierwszą :

F = 8px (px2 - 3py2 ) + [ px + sqrt(3)py ]e2y + 2 sqrt(3)x + [ px + sqrt(3)py ]e2y + 2sqrt(3)x + 2px e-4y (4.1.6) Który w granicy małych przemieszczeń dąŜy do :

F → 12( ypx - xpy ) (4.1.7)

Co jest niczym innym jak momentem pędu układu. Jednocześnie w pracy [10] dla przypadku nierównych mas tj.

mx ≠ my ujawniono zachowanie chaotyczne układu na przekroju Poincarego.

Wyniki te stanowią wyraźną ilustracje wzajemnego wpływu eksperymentów numerycznych i teorii, pokazują one ponownie zasadność pytania w jaki sposób całkowalność układu (4.1.5) moŜe być uwidoczniona bez opisanych analitycznych wysiłków. Dokładnie temat ten omówimy w rozdziale 8.

4.1.d Przekrój jako odwzorowanie symplektyczne.

Podstawową własnością przekroju dla przypadku układu hamiltonowskiego jest jego odpowiedniość z odwzorowaniem

„zachowującym pole powierzchni” lub dokładniej z odwzorowaniem „symplektycznym”. Aby zrozumieć co mamy na myśli mówiąc o takiej odpowiedniości poŜytecznie będzie przypomnieć sobie, pewne juŜ wcześniej rozpatrywane zagadnienia. W pierwszej kolejności będzie to twierdzenie Liouville’a ( podrozdziały 2.2 , 2.3 ) zgodnie z którym objętość fazowa potoku hamiltonowskiego pozostaje zachowana. W przypadku układu z jednym stopniem swobody odpowiada to zachowaniu pola powierzchni na płaszczyźnie fazowej (p, q).

Dla pewnego obszaru A, ograniczonemu krzywa zamkniętą, moŜemy zapisać : ( wykorzystując twierdzenie Stokesa :

∮

p dq =

∫ ∫

dp dq )

∮

p dq =

∮

p dq (4.1.8)

K1 K2

Gdzie : K1- krzywa po przetransformowaniu przez potok w czasie t.

Obraz ten moŜemy rozszerzyć na przypadek większej liczby stopni swobody. W przypadku potoku w 2n-wymiarowej przestrzeni fazowej zawartego w pewnym konturze zamkniętym moŜemy zapisać :

∮

p dq =

∮

p dq (4.1.9)

K1 K2

Gdzie : p = p1, ... , pn , q = q1 , ... , qn .

Oczywiście w (4.1.9) całki nie wyraŜają juŜ powierzchni ( tak jak w przypadku n=1). Odpowiadają one sumie

powierzchni rzutu obszarów na zbiór ( pi , qi )-płaszczyzn (rys. 4.5 ). Właśnie w tym sensie nazwaliśmy odwzorowanie symplektycznym ( a nie zachowującym pole powierzchni ) i jest to w istocie jednym z wyraŜeń tego, Ŝe potok

hamiltonowski przedstawia przekształcenie kanoniczne.

Rys. 4.5 Symplektyczne zachowanie pola powierzchni. Powierzchnia ograniczona jest przez przetransformowany kontur i jest suma rzutów Ax i Ay. W potoku hamilonowskim suma ta jest zachowana.

Dla układów zachowawczych o dwóch stopniach swobody ( typu omówionych wcześniej ), moŜna pokazać ( zobacz zastosowanie 4.1 ), Ŝe obszar zamknięty na przekroju tj. :

∮

px ( x, y = 0, E )dx

pod działaniem potoku jest zachowywany.

Metoda przekrojów Poincarego moŜe być zastosowana dla układów hamiltonowskich zaleŜnych od czasu. Szczególnie łatwo realizuje się to dla układów periodycznie perturbowanych o jednym stopniu swobody.

Dla specjalnego typu hamiltonianu, który charakteryzuje się tym, Ŝe :

H( p, q, t + T) = H(p, q, t) (4.1.10)

Gdzie T – okres części układu zaleŜnej od czasu

przestrzeń fazowa przedstawia sobą przestrzeń trójwymiarową zmiennych p, q, t. Przekrój Poincarego zachowujący powierzchnię, otrzymuje się prosto jako kolejne stroboskopowe ( migawkowe ) płaszczyzny (p, q) wyznaczane w chwilach nT , n = 1, 2, ... Zbiór punktów Xi = ( p(t + iT) , q(t + iT) ) obrazuje wymagane przekroje ( rysunek 4.6).

Oczywiście, Ŝe w tym przypadku – w przeciwieństwie omówionych wcześniej układów autonomicznych – chwile czasu między kolejnymi cięciami są równe.

Rys. 4.6 Trójwymiarowa przestrzeń fazowa układu periodycznie perturbowanego. Powierzchnie przekroju konstrułowane są z cięć stroboskopowych przy t = nT.

Czytelnik nie mógł zapewne nie zwrócić uwagi , Ŝe przy omawianiu metody przekrojów Poincarego pojęcie

„odwzorowanie” pojawia się bardzo często. Jednak do tej pory termin ten wykorzystywaliśmy w niezbyt ścisłym sensie , jako przekształcenie pojawiające się w wyniku działania potoku hamiltonowskiego, które przenosi punkt fazowy Xi w nowe połoŜenie Xi+1 tj. dla pewnego odwzorowania T mamy :

Xi = TXi (4.1.11)

Oprócz tego, przekształcenie to jest w pewnym sensie przekształceniem „zachowującym pole powierzchni” lub symplektycznym. W swej istocie pojęcie odwzorowania zachowującego pole jest niezwykle cenne dla badania układów hamiltonowskich. Jak pokaŜemy dalej takie odwzorowania – nawet o prostej postaci – mogą ujawniać wszystkie ogólne własności układów hamiltonowskich niecałkowalnych, co pozwoli w końcówce naszego wykładu, potraktować

równorzędnie te dwie klasy układów. Dzięki względnej prostocie odwzorowań wiele twierdzeń w ogólnym przypadku moŜemy dowodzić dla nich niŜ dla hamiltonianów, łatwiej równieŜ wykonać analizę numeryczną.

Dlatego naszym obecnym celem będzie nauka dokładnej analizy wszystkich zjawisk obserwowanych ( przykładowo ) dla przekroju Poincarego układu Henona-Heilesa, są to m.in. rozruszane torusy, pojawianie się łańcuchów wysepek oraz trajektorii chaotycznych.

Na początek zajmiemy się własnościami odwzorowań zachowujących pole powierzchni.

W dokumencie Chaos i całkowalność w dynamice nieliniowej M. Tabor (Stron 71-76)