Chaos i całkowalność w mechanice quasiklasycznej ( semiklasycznej)
6.3 Quasiklasyczne kwantowanie w przypadku większej liczby stopni swobody
W ramach starej teorii kwantów duŜe znaczenie przypisywano próbą uogólnienia zasad kwantowania
Bohra-Sommerfelda dla układów o wielu stopniach swobody ( N – stopniach swobody). Początkowo zakładano, Ŝe moŜliwe jest to tylko dla układów separowalnych ( zobacz podrozdział 2.5 ). W tym przypadku kaŜda ze zmiennych działania odpowiadająca jednemu stopniowi swobody, zakłada się równą krotności ħ :
Ik =
∮
pk dqk = nkħ (6.3.1) CkGdzie Ck – kontur zamknięty, ruch wzdłuŜ którego związany jest z k-tym stopniem swobody, nk – odpowiednia liczba kwantowa.
Przy załoŜeniu ,Ŝe przejście do zmiennych kąt-działanie znane jest w postaci jawnej, poziomy energetyczne określone są Przez warunek :
En1, n2 , ... ,nN = H( I1= n1ħ , I2 = n2ħ , ... , IN = nNħ ) (6.3.2) ZauwaŜmy, Ŝe ilość liczb kwantowych pokrywa się z ilością stopni swobody i, Ŝe w „starej” teorii kwantów nie ma poprawek, uwzględniających energię drgań zerowych.
6.3.a Warunek kwantowania Einsteina.
Stosunkowo szybko stało się jasne [8], Ŝe powyŜsza procedura jest niejednoznaczna dla układu, który jest separowalny w róŜnych układach współrzędnych ( przykładowo – trójwymiarowy izotropowy oscylator harmoniczny, jest układem separowalnym zarówno w układzie kartezjańskim jak i biegunowym ), w układach takich moŜna otrzymać wyniki nierównowaŜne. Problem ten znalazł swoje rozwiązanie w znakomitej pracy Einsteina [9], w której pokazano, Ŝe zaleŜność (6.3.2) moŜe być wykorzystana w celu uzyskania wartości własnych tylko w tym przypadku jeśli zmienne działania zdefiniowane są zgodnie z równaniem (2.5.13) :
N
Ik = (1/2π)
∮
ΣΣΣΣ
pm dqm (6.3.3)Ck m=1
tj. w terminach inwariantnych torusów. W związku z tym faktem Einstein zauwaŜył, Ŝe Ck mogą być zdefiniowane nie dla wszystkich przypadków i jeśli ruch w określonym sensie jest ergodyczny, to moŜe wyniknąć konieczność
wprowadzenia „nowego” typu warunków kwantowania.
Warunki kwantowania w starej teorii kwantów ( w której kaŜda zmienna działania zakładana była jako krotność ħ ) zawierały „energię drgań zerowych” tylko w postaci empirycznej poprawki. Przy rozpatrywaniu jednowymiarowych funkcji falowych WKB widzieliśmy , Ŝe człon ten pojawia się w naturalny sposób jako utrata fazy na kaustykach. Dla zagadnień wielowymiarowych uogólnienie jest moŜliwe przy warunku, Ŝe odpowiednia funkcja falowa jest określona w sposób poprawny.
6.3.b EBK-kwantowanie
Będziemy znowu poszukiwać funkcji falowej w postaci : ψ = A exp( iS/ħ ) i na początku rozpatrzymy zupełnie całkowalny, nie zaleŜny od czasu układ hamiltonowski o N stopniach swobody ( opisany w rozdziale 2 ), który charakteryzuje się funkcją działania S :
q
S( q, I ) =
∫
p( q’ , I ) dq’ (6.3.4) q0gdzie : q0 – pewien (dowolny ) punkt początkowy.
Wychodząc z (6.3.4) otrzymamy standardowe zaleŜności między zmiennymi sprzęŜonymi :
θθθθ = ∇I S( q, I ) i p = ∇q S( q, I ) (6.3.5)
Na klasycznym torusie z działaniem I klasyczne trajektorie rozłoŜone są równomiernie względem θθθθ dlatego
odpowiadająca temu rozkładowi gęstość punktów w przestrzeni konfiguracyjnej q przedstawia rzut gęstości na torusie na przestrzeń q tj. :
dθθθθ / dq = det | ∂2S /∂qj ∂Ik | , j, k = 1, ... , N
Uwzględniając, Ŝe gęstość prawdopodobieństwa funkcji falowej jest równa | ψ |2 , znajdujemy wyraŜenie dla amplitudy A :
A = sqrt [ det | ∂2S( q, I )/∂qj ∂Ik | ] (6.3.6)
Po raz pierwszy wynik ten uzyskał Van Vleck w 1928 roku [10]. Łatwo zauwaŜyć, Ŝe jeŜeli układ posiada jeden stopień swobody , to A ∝ 1/ √p , jest to zgodne z wynikami metody WKB. Najistotniejszym jest tu rozumienie faktu, Ŝe S jest wieloznaczną funkcją q. Wynika to z wieloznaczności p, przykładowo w przypadku ruchu jednowymiarowego i ograniczonego ( zobacz rys. 6.1 ) p, przedstawia sobą dwuznaczną funkcję q :
p( q, I ) = ± sqrt [ 2m( H(I) – V(q) ] (6.3.7)
Rys. 6.1 a) Na płaszczyźnie fazowej jednowymiarowego ograniczonego ruchu przedstawiono typową krzywą stałej energii C. Pęd p jest dwuznaczną funkcją q; gałęzie p1(q) i p2(q) pokrywają się w klasycznych punktach powrotu q0. Punkty powrotu określone są jako punkty na C w których styczne są równoległe do osi p.
b) Rzut C ( zadany przez ∂θ/∂q ) na oś q, obrazuje tworzącą gładką funkcji | ψ(q) |2 , rzut jest osobliwy w klasycznych punktach powrotu.
Dlatego funkcja falowa postaci ψ(x) = A exp ( iS/ħ ) powinna być zsumowana po wszystkich moŜliwych gałęziach S : ψ(q) =
ΣΣΣΣ
sqrt[ det | ∂2Sr /∂qj ∂Ik | ] exp [ iSr ( q, I )/ ħ ] (6.3.8) rgdzie suma po r oznacza sumowanie po gałęziach. ( funkcja falowa WKB (6.2.10) przedstawia właśnie sumę po dwóch gałęziach i odnosi się do ruchu jednowymiarowego, ograniczonego )
Aby funkcja falowa (6.3.8) była jednoznaczna, całkowita zmiana fazy po wykonaniu jednego klasycznego „obrotu”
powinna być równa krotności 2π. Na n-wymiarowym torusie istnieje N topologicznie róŜnych, zamkniętych konturów Ck, ( k = 1, ..., N ) ruch wzdłuŜ których prowadzi do tego samego punktu wejściowego. Oprócz tego ruch po Ck moŜe być związany z przechodzeniem przez kaustyki, kaŜde takie przejście prowadzi do utraty fazy o π/2. Dlatego warunek jednoznaczności ma postać :
(1/ħ)
∮
p ( q’ , I ) dq’ – (π/2) αk = 2nk π (6.3.9)Ck
Gdzie : αk – liczba przechodzonych kaustyk.
Wielkości αk zwykle nazywają się „indeksami Masłowa” Zatem, ogólny warunek kwantowania w przypadku wielowymiarowym ma postać :
Ik =
∮
p dq’ = 2πħ ( nk + ¼ αk ) (6.3.10)Ck
Warunki te nazywamy zasadą kwantowania Einsteina-Briillouina-Kellera ( EBK) 6.3.c Quasiklasyczne pakiety falowe*
Interesujące jest to, Ŝe funkcje falowe postaci (6.3.8) mogą opisywać nie tylko stany stacjonarne. Funkcja falowa moŜe być zbudowana na dowolnej gładkiej N-wymiarowej powierzchni ( oznaczmy ją Σ ) zanurzonej w 2N-wymiarowej przestrzeni fazowej ( zobacz rys. 6.2 ). Taką powierzchnię w przestrzeni ( p, q) moŜna przedstawić jako pewną funkcję p(q). Jedynym ograniczeniem jest konieczność przedstawienia tej zaleŜności w postaci gradientu :
p(q) = ∇q S (6.3.11)
gdzie S – jest pewną funkcją, którą wkrótce zdefiniujemy.
Zbudowana w ten sposób, dla dowolnej gładkiej funkcji S, rozmaitość Σ nazywana jest „rozmaitością Lagrange’a”.
Z (6.3.11) wynika, Ŝe Σ posiada następującą własność :
∂pi /∂qj = ∂pj/ ∂qi (6.3.12)
Analogicznie do tego jak zmienne kątowe wykorzystywane są dla określenia połoŜenia na torusach, wprowadzimy zbiór zmiennych Q1 , ... , QN w celu opisania połoŜenia punktów na rozmaitości Lagrange’a. Pozwoli nam to wprowadzić zbiór kanonicznych „pędów” Pi i= 1,... , N, sprzęŜonych z Qi a następnie określić funkcje S w (6.3.11) jako funkcje tworząca przekształceń kanonicznych zmiennych (p, q ) i (P, Q ) jedne w drugie tj. :
p = ∇q S(q, P ) i Q = ∇p S(q, P ) (6.3.13)
Wykorzystując wszystko to co powiedzieliśmy do tej pory przy definicji gęstości cząstek w przestrzeni q ( chodzi o projekcje | dQ/dq | ), funkcja falowa związana z rozmaitością Lagrange’a Σ ma postać :
ψ(q) = sqrt[ det | ∂2S /∂qi ∂Pj | ] exp [ iSr ( q, P )/ ħ ] (6.3.14)
gdzie na danym etapie p zakładamy jako jednoznaczną funkcję Q.
Rys. 6.2 a) rozmaitość Lagrange’a Σ w przestrzeni ( p, q). Punkty na Σ umieszczone są z pomocą nowych zmiennych kanonicznych Q. b) Ewoluująca rozmaitość Lagrange’a Σt demonstrułująca pojawienie się dwóch kaustyk q*1 , q*2 .
ZauwaŜmy, Ŝe wprowadzona postać funkcji falowej wyklucza moŜliwość zidentyfikowania rozmaitości Lagrange’a, która nie ogranicza się tylko do układów całkowalnych (* Inwariantne torusy układów całkowalnych są rozmaitościami Lagrange’a – jednak tylko przy warunku, Ŝe są one stacjonarne *)
Zwykle Σ nie są rozmaitościami stacjonarnymi i ewoluują w czasie. Ewolucja Σ ( oznaczmy ją jako Σt ) pod działaniem potoku hamiltonowskiego jest oczywiście bardzo złoŜona. W dwuwymiarowej przestrzeni fazowej ewolucja Σt przejawia się w postaci wąsów i zapętleń, w raz ze wzrostem wymiaru jej złoŜoność moŜe tylko rosnąć. Oprócz tego p zwykle przedstawia wieloznaczną funkcję q ( rys. 6.2 b) zatem pojawia się wiele kaustyk. Stopniowe zwiększanie się liczby takich kaustyk prowadzi do tego, Ŝe wyraŜenie (6.3.14) dla funkcji falowej staje się zawiłe.
To waŜne zagadnienie będziemy jeszcze omawiali w podrozdziale 6.6