Spektrum regularne i nieregularne – własności związane z wektorami własnymi

W tym podrozdziale rozpatrzymy róŜne własności funkcji falowych stanów regularnych i nieregularnych.

6.5.a Funkcję falowe związanych stanów regularnych.

W przypadku regularnych quasi-klasycznych stanów, funkcja falowa określona jest wyraŜeniem (6.3.8). Zatem

ψn(q) =

ΣΣΣΣ

sqrt[ det | ∂2Sr ( q, In) /∂qj ∂In | ] exp [ i Sr ( q, In )/ ħ ] (6.5.1) r

gdzie : In – określa w przestrzeni fazowej torus o działaniu I = ħ ( n + ¼ α).

Określona wzorem (6.5.1) gęstość prawdopodobieństwa | ψn |2 będzie zawierała pewne drgające człony, odpowiadające wpływowi róŜnych gałęzi S. Człony te moŜna wykluczyć za pomocą lokalnego uśrednienia względem pewnej szerokości

∆, która przy ħ → 0 dąŜy do zera wolniej niŜ ħ. Dal zadanej funkcji f(q) prowadzi to do „gruboziarnistości” o postaci :

q + ½ ∆ (* przypominam, Ŝe symbolem ( . ) - - oznaczyliśmy średnią – przypis własny *)

Geometrycznie odpowiada to rzutowi torusa, związanego z n-tym stanem na płaszczyznę współrzędnościową ( zobacz podrozdział 6.3 ). W charakterze prostego przykładu rozpatrzmy ruch jednowymiarowy i ograniczony dla którego : ( | ψ(q) |2 ) - = | ∂2Sr /∂q∂I | = | dθ/dq | (6.5.4) Taka gruboziarnista gęstość prawdopodobieństwa ( | ψ(q) |2 ) – schematycznie przedstawiona jest na rysunku 6.1(b), posiada ona w klasycznych punktach powrotu osobliwości, którym odpowiadają, jak pokazano w poprzednim rozdziale, kaustyki. Jednocześnie taka postać ( | ψ(q) |2 ) – zadaje w granicy ħ → 0 wyginające się oscylacje właściwej kwantowej gęstości prawdopodobieństwa.

Wszystko co powiedzieliśmy do tej pory odnosi się tylko do funkcji falowych stanów regularnych. Znacznie trudniejsze jest określenie w ramach quasi-klasycznego przybliŜenia postać funkcji falowej dla stanów nieregularnych.

Trudności polegają na tym ,Ŝe w przypadku trajektorii nieregularnych p jako wieloznaczna funkcja q posiada nieskończenie wiele gałęzi ( To samo moŜe być sformułowane w postaci stwierdzenia, Ŝe w reŜimie chaotycznym nie istnieje ani jedno globalne rozwiązanie równania Hamiltona-Jakobiego )

6.5.b Funkcja Wignera.

Wskazano pewne przypuszczenie, Ŝe z punktu widzenia moŜliwości zbudowania stanów regularnych i nieregularnych w przybliŜeniu quasi-klasycznym odpowiedniej alternatywy dla badania funkcji falowych mogą dostarczyć funkcje Wignera. Przedstawia ona kwantowy analog klasycznej gęstości przestrzeni fazowej i ma postać :

W(p, q ) = [ 1/ (πħ )N ]

∫

dx exp ( -2i px / ħ ) ψ( q + x ) ψ*( q – x ) (6.5.5) Zachowanie funkcji W(p, q ) na konkretnej płaszczyźnie fazowej ( pi, qi ) słuŜy jako kwantowy analog przekroju

Poincarego. Ze zbioru interesujących nas własności które posiada funkcja Wignera, najwaŜniejszą dla naszego wykładu jest ta , Ŝe jej rzut na płaszczyznę współrzędnych przedstawia sobą kwantową gęstość prawdopodobieństwa tj. :

∫

W(p, q ) dp = | ψ(q) |2 (6.5.6) W przypadku stanów regularnych quasi-klasyczne wyraŜenie dla funkcji falowej ψm(q) moŜe być wykorzystane dla określenia odpowiedniego stanu czystego funkcji Wignera Wn(p, q). przy tym moŜna pokazać [24], Ŝe w przedziale klasycznym ħ = 0 wyraŜenie dla Wn(p, q) sprowadza się do :

( Wm(p, q) ) - = [ 1/ (2π )N ] δ ( I( p, q) - Im ) (6.5.7)

tj. na torusie klasycznym związanym z m-tym stanem zostaje tylko δ-funkcja.

Jak juŜ mówiliśmy, rzut tego torusa na płaszczyznę współrzędnych daje graniczne wyraŜenie dla gęstości

prawdopodobieństwa. Wynik takiego rzutowania zaleŜy od „orientacji” torusa w przestrzeni fazowej. MoŜe to prowadzić do całego zbioru róŜnorodnych struktur kaustyk. Istnieją równieŜ róŜnicę w wynikach otrzymanych dla układów

całkowalnych - separowlnych i nieseparowalnych.

Przy wymaganych wartościach ħ ( tj. w przedziale quasi-klasycznym ) zachowanie funkcji Wignera ujawnia regularną strukturę „smug dyfrakcyjnych”. W tym przypadku wynikiem rzutowania Wm(p, q) na płaszczyznę współrzędnych jest pewne oscylacyjne zachowanie | ψ(q) |2. Porównanie klasycznego i quasi-klasycznego zachowania wyraŜeń dla

Wm(p, q) pokazuje, Ŝe w przypadku stanów regularnych rola ħ sprowadza się do nałoŜenia struktury regularnej ( drgania kwantowe ) na gładkie klasyczne „tło”. Na rysunku 6.3 pokazano powierzchnię przekroju Wignera dla stanu regularnego układu typu Henona-Heilesa otrzymana w [27].

MoŜe okazać się ,Ŝe w przypadku stanów nieregularnych nie wystarczająco ścisłe określenie postaci quasi-klasycznej funkcji falowej okazuje się problematyczne równieŜ dla badania funkcji Wignera.

Pewien postęp moŜemy osiągnąć przyjmując troszkę inny punkt widzenia. W przypadku stanów regularnych, klasyczny przedział funkcji Wignera przedstawia w przestrzeni fazowej rozmaitość ( torus )z którą związany jest dany stan. W ekstremalnie chaotycznym reŜimie stan nieregularny związany jest, oczywiście, z znaczną częścią powierzchni energetycznej. Uwzględniając to, wydaje się rozsądnym załoŜenie o tym ,Ŝe w klasycznym przedziale funkcja Wignera przedstawia sobą ( normalizowany) rozkład mikrokanoniczny ( zobacz rozdział 6.5.h ) tj. :

W(p, q ) = δ( E – H(p, q) ) /

∫

dp

∫

dq δ( E – H(p, q) ) (6.5.8) Przy skończonych wartościach ħ moŜna oczekiwać – chociaŜ nie znamy dokładnego wyraŜenia dla W – Ŝe gęstość

fazowa będzie rozłoŜona na powierzchni przekroju W przypadkowy sposób. Jest to analogiczne do tego, co obserwuje się w przypadku trajektorii nieregularnych na powierzchni przekroju Poincarego. Operując wprowadzonym wyŜej

wyraŜeniem dla W, moŜna przeanalizować zachowanie tego wyraŜenia dla odpowiadającej mu funkcji | ψ(q) |2, wykorzystując przy tym (6.5.6). Analizę taką wykonał Berry [25], pokazując, Ŝe dla układów o dwóch lub więcej stopni swobody | ψ(q) |2 zeruje się na granicy klasycznej. Taka „antykaustyczna” struktura w sposób istotny róŜni się od struktury kaustyk znalezionej dla stanów regularnych.

Rys. 6.3 ( px , x) – płaszczyzna rozkładu Wignera dla 10-tego stanu własnego hamiltonianu H = ½ ( px2 + py2 + 0,49x2 + 1,69y2 ) + 0,1 (xy2 - x3 )

a) Przedstawienie w perspektywie. b) Kontury, które demonstrują gładką koncentryczną strukturę gęstości fazowej [ 27]

6.5.c Przestrzenne korelacje funkcji falowej.

Z pomocą funkcji Wignera moŜemy otrzymać informacje nie tylko dotycząca kwadratu modułu funkcji falowych, ale moŜemy równieŜ dowiedzieć się o nich samych. Przestrzenna funkcja autokorelacyjna dla stanu ψ(q) moŜe być wyraŜona następująco :

C(x, q ) = (ψ( q + x ) ψ*( q – x ) ) - / ( | ψ(q) |2 ) – (6.5.9) Między C(x, q ) i W(p, q ) istnieje prosta zaleŜność :

C(x, q ) = {

∫

dp ( W(p, q ) ) – exp ( -2i px / ħ ) } / ( | ψ(q) |2 ) – (6.5.10) Gdzie ( W(p, q ) ) – - gruboziarnista funkcja Wignera tj. jej graniczne klasyczne wyraŜenie.

Zachowanie C(x, q ) zostało zbadane zarówno dla stanów regularnych jak i nieregularnych. Okazało się, Ŝe w przypadku stanów regularnych C(x, q ) jest anizotropowa podczas gdy dla stanów nieregularnych – jest izotropowa i przy

określonych wyraŜeniach dla potencjału przyjmuje postać funkcji Bessela. Globalnie, naleŜy oczekiwać, Ŝe dla regularnych stanów będą charakterystyczne silne anizotropowe interferujące oscylacje, przejawiające się tylko w pewnych skalach.

W przypadku stanów nieregularnych oscylacje tego typu powinny być bardziej umiarkowane oraz przestrzennie jednorodne o ciągłym spektrum wektorów falowych (p/ ħ ) tj. powinny przejawiać się dla wszystkich skal.

Stąd moŜemy wnioskować , Ŝe ψ(q) przedstawia sobą przypadkową funkcje Gaussa zmiennych q.

Rola ħ jest istotnie odmienna dla reŜimów chaotycznych i regularnych. W chaotycznej dynamice klasycznej struktura zostaje zachowana aŜ do skal dowolnie małych. W tym przypadku ħ „wygładza” tą subtelną strukturę i stany

nieregularne posiadają strukturę tylko do skal rzędu ħ. NaleŜy podkreślić jeszcze raz to, Ŝe mówimy o quasi-klasycznych pojęciu „stanu nieregularnego” tj. o sytuacji w której ħ→ 0. Jeśli ħ nie będzie dostatecznie „mała” stany nieregularne nie będą obserwowane, jakiekolwiek nie było by silne zaburzenie niecałkowalne. W rzeczywistości związek wzajemny między granicami ħ→ 0 i ε→ 0 , ε – parametr ( niecałkowalnego) zaburzenia, jest nietrywialny i moŜe prowadzić do szeregu róŜnych reŜimów widm regularnych i nieregularnych.

6.5.d Pewne wyniki numeryczne.

Rozpatrzmy, uwzględniając powyŜej omówione pojęcia, pewne wyniki badań numerycznych funkcji falowych w reŜimach regularnych i nieregularnych. Noid [30] i współpracownicy dokładnie zbadali gęstość kwantową

prawdopodobieństwa dla stanów układu typu Henona-Heilesa( zaleŜności częstości fundamentalnychmiały postać 2 : 1 a nie 1 : 1 )Wyniki obliczenia | ψ(q) |2 dla stanu regularnego przedstawiono na rysunku 6.4. Pokazano tam równieŜ klasyczną trajektorię leŜąca na odpowiednim ( EBK) torusie. Z rysunku jasno widać, Ŝe obszar lokalizacji gęstości prawdopodobieństwa odpowiada kaustycznej strukturze odpowiadającego mu torusa. Z regularności drgań | ψ(q) |2 wynika, Ŝe układ linii węzłów ψ(q) będzie regularny. Na rysunku 6.5 przedstawiono wyniki obliczeń | ψ(q) |2 dla stanu o wyŜszej energii, dla którego nie jest moŜliwe kwantowanie zgodnie z zasadami EBK. Pokazano równieŜ , typową dla danej wartości energii trajektorię nieregularną. W tym przypadku funkcja | ψ(q) |2 tak jak trajektoria zajmuje większą

część klasycznie rozwiązywalnej przestrzeni konfiguracyjnej. Globalnie struktura funkcji falowej jest istotnie mniej regularna niŜ dla poprzedniego przypadku.

Rys. 6.4 a) Kwantowa gęstość prawdopodobieństwa | ψ(q) |2 „stanu regularnego” hamiltonianu H = ½ ( px2 + py2 + 1,96x2 + 0,49y2 ) + 0,08 (xy2 – 0.08y3 ) o wartości własnej E = 4.265 b) Trajektoria, leŜąca na odpowiednim EBK-torusie [30]

Rys. 6.5 a) Kwantowa gęstość prawdopodobieństwa | ψ(q) |2 „stanu regularnego” o energii E = 8.0 , hamiltonian taki jak dla rys. 6.4

b) Typowa nieregularna trajektoria przy wspomnianej wartości energii [30]

Rys. 6.6 a) Perspektywiczne przedstawienie jednej z kwadratów amplitud funkcji falowej ψ(q) dla stanu „stadionu” o wartości własnej k = 65.38142 i parametrem formy γ = 0 ( tj. dla okręgu )

b) Węzłowa struktura tego stanu. [29]

Inne interesujące badanie zostało przeprowadzone w pracy [29] dla funkcji falowych „stadionu”. NaleŜy przy tym zauwaŜyć, Ŝe potencjał takiego układu na granicach klasycznych jest nieskończony i dlatego ψ(q) powinna zerować się.

( tj. „antykaustyczne” załoŜenie nie moŜe być sprawdzone ). Przy γ = 0 „stadion” redukuje się do okręgu.

Wyniki obliczeń funkcji falowej, wykonane przez McDonalda i Kauffmana dla tego przypadku pokazano na rysunku 6.6

Amplitudy oscylacyjne są regularne, ściśle zorientowane i osiągają maksimum wzdłuŜ wewnętrznego okręgu, odpowiadającego kaustyce dla przypadku klasycznego. Przecinające się węzłowe linie obrazują strukturę regularną.

Wyniki są przedstawione na rys. 6.7, otrzymane są dla stanu o wartości energii praktycznie takiej jak w przypadku

„stadionu” o γ =1 – jak widać z porównania rysunków róŜnice są zasadnicze. Rozkład amplitud jest jednorodne dla całego klasycznie rozwiązywalnego obszaru; struktura węzłowa jest skrajnie nieregularna, linie węzłowe praktycznie nie przecinają się.

Rys. 6.7 a) Perspektywiczne przedstawienie jednej z kwadratów amplitud funkcji falowej, stanu typu „stadion”

o wartości własnej k = 65.036 i γ =1

b) Struktura węzłowa tego stanu – w tym przypadku linie węzłowe w istocie nie przecinają się [29]

6.5.e Struktury węzłowe.

Określony interes stanowi omówienie zagadnienia dotyczącego zaleŜności między zmianami struktury węzłowej i pojawianiem się ruchu chaotycznego. Brak przecięć linii węzłowych rozpatrywano dokładnie w kontekście układów nieseparowalnych tj. układów hamiltonowskich które nie mogą być rozdzielone we współrzędnych ortogonalnych [32]

W chwili obecnej zrozumiano, Ŝe zmiana struktury węzłowej jest uwarunkowana zwiększeniem „nieseparowalności”

( nie zakładającej oczywiście niecałkowalności ), układy w przestrzeni współrzędnościowej, w której wyraŜono funkcję

falową, nie mogą być rozpatrywane w charakterze przejawu pewnego rodzaju chaosu. Potwierdzone jest to moŜliwością budowy układów całkowalnych, których funkcje falowe posiadają dowolnie złoŜoną strukturę węzłową.

6.5.f Twierdzenia lokalizacyjne*

Zmiany funkcji falowych w obu przypadkach rozpatrzonych w podrozdziale 6.5.d są związane w pewnym stopniu z odpowiadającymi jej zmianami leŜącymi u podstaw ich dynamiki klasycznej. Nadto, w obu przypadkach nie jest łatwo ustanowić bezpośrednio jednoznaczną zaleŜność między ich zmianami w przypadkach kwantowym i klasycznym. W przypadku regularnym jest to moŜliwe na skutek tego, Ŝe znane jest quasi-klasyczne wyraŜenie dla funkcji falowej. Dla ruchu nieregularnego wykonanie prostego przyrównania jest bardziej złoŜone , co jest oczywiście odbiciem

niewystarczającego zrozumienia mechaniki quasi-klasycznej dla tego przypadku. Jedynym, na dzień dzisiejszy ścisłym wynikiem są w tej materii twierdzenia lokalizacyjne, z których wynika, Ŝe lokalizacja kolejno następujących stanów kwantowych w granicy ħ→ 0 określona jest przez obszary klasycznej przestrzeni fazowej posiadającymi inwariantną miarę [33, 26].Oczywiście w przypadku stanów regularnych w charakterze inwariantnego zbioru występuje inwariantny torus. Jednym z moŜliwych inwariantnych zbiorów dla układów nieregularnych jest powierzchnia energetyczna o mierze Liouville’a δ( E – H). Oprócz tego w charakterze moŜliwych kandydatów mogą wystąpić i inne inwariantne zbiory.

6.5.g Eksperymenty związane z jonizacją mikrofalową.

Badanie widm regularnych i nieregularnych jest interesujące samo w sobie, nawet jeśli postęp w eksperymentalnej weryfikacji róŜnych przewidywań teoretycznych jest niewielki.

Ostatnio przeprowadzone eksperymenty dają bezpośrednie wyobraŜenie o związku między mechanika kwantową i chaosem klasycznym. Mówimy tu o jonizacji mikrofalowej atomów wodoru. W tym przypadku promieniowanie mikrofalowe moŜe być wykorzystane w celu oderwania elektronu, od atomu znajdującego w stanie silnie pobudzonym o liczbach kwantowych rzędu wielkości 80 tj. reŜimie dla którego słuszne jest przybliŜenie quasi-klasyczne. Z klasycznego punktu widzenia omawiany atom przedstawia oscylator, wykonujący drgania wymuszone, jego dynamika moŜe być do dynamiki odwzorowania Czirikowa. Wydaje się , Ŝe początek intensywnej jonizacji powinien dosyć dobrze korelować z pojawieniem się globalnego chaosu klasycznego. Otrzymane wyniki tych pięknych eksperymentów mogą być

porównane z klasycznymi, quasi-klasycznymi i kwantowymi obliczeniami zarówno teoretycznymi jak i eksperymentalnymi. Znaczna część z tych zagadnień została niedawno rozpatrzona z [28].

W dokumencie Chaos i całkowalność w dynamice nieliniowej M. Tabor (Stron 150-154)